《2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何初步章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版必修2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何初步章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版必修2（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二章 平面解析幾何初步 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.熟練掌握直線方程的四種形式，并會(huì)判斷兩直線的位置關(guān)系.2.會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線的距離及兩平行線間的距離公式解決一些實(shí)際問題.3.理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)應(yīng)用． 1．直線傾斜角的范圍 直線傾斜角的范圍是0°≤α＜180°. 2．寫出直線的斜率公式 (1)直線l的傾斜角α滿足a≠90°，則直線斜率k＝________________. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直線l上兩點(diǎn)，且x1≠x2，則直線l的斜率為k＝________________. 3．直線方程的幾種形式 (1)

2、點(diǎn)斜式：________________. (2)斜截式：________________. (3)兩點(diǎn)式：________________(x1≠x2，y1≠y2)． (4)截距式：________________(a≠0，b≠0)． (5)一般式：________________. 4．兩直線平行與垂直的條件 直線方程 l1：y＝k1x＋b1， l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行的等價(jià)條件 l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2? 垂直的等價(jià)條件 l1⊥l2?k1k2＝－1 l1⊥l2?A1

3、A2＋B1B2＝0 由兩直線的方程判斷兩條直線是否平行或垂直時(shí)，要注意條件的限制；同時(shí)已知平行或垂直關(guān)系求直線的方程或確定方程的系數(shù)關(guān)系時(shí)，要根據(jù)題目條件設(shè)出合理的直線方程． 5．距離問題 類型 已知條件 公式 兩點(diǎn)間的距離 A(x1，y1)，B(x2，y2) d＝ 點(diǎn)到直線的距離 P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0 d＝ 兩條平行直線間的距離 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 (A，B不同時(shí)為0) d＝ 6.平行直線系和垂直直線系 (1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程為Ax＋By＋m＝0(m≠C)． (

4、2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程為Bx＋Ay＋n＝0. 7．圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：________________. (2)圓的一般方程：________________. 8．直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)直線l與圓C的圓心之間的距離為d，圓的半徑為r，則 (1)l與圓C相離?________. (2)l與圓C相切?________. (3)l與圓C相交?________. 9．圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)⊙O1的半徑為r1，⊙O2的半徑為r2，兩圓的圓心距為d. 當(dāng)|r1－r2|＜d＜r1＋r2時(shí)，兩圓相交； 當(dāng)r1＋r2＝d時(shí)，兩圓外切；當(dāng)|r1－r2|＝d時(shí)，

5、兩圓內(nèi)切； 當(dāng)r1＋r2＜d時(shí)，兩圓外離；當(dāng)|r1－r2|＞d，兩圓內(nèi)含． 10．空間直角坐標(biāo)系 空間兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)空間兩點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，兩點(diǎn)的距離公式是d(A，B)＝|AB|＝________________. 特別提醒：(1)計(jì)算直線被圓截得的弦長的常用方法 ①幾何方法 運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算． ②代數(shù)方法 運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式 |AB|＝|xA－xB|＝. 注：圓的弦長、弦心距的計(jì)算常用幾何方法． (2)對(duì)稱問題 ①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)Q的問題，

6、主要依據(jù)M是線段PQ的中點(diǎn)，即xP＋xQ＝2a，yP＋yQ＝2b. ②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：求直線l關(guān)于點(diǎn)M(m，n)的對(duì)稱直線l′的問題，主要依據(jù)l′上的任一點(diǎn)T(x，y)關(guān)于M(m，n)的對(duì)稱點(diǎn)T′(2m－x,2n－y)必在l上． ③點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱：求已知點(diǎn)A(m，n)關(guān)于已知直線l：y＝kx＋b的對(duì)稱點(diǎn)A′(x0，y0)的一般方法是依據(jù)l是線段AA′的垂直平分線，列出關(guān)于x0，y0的方程組，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程，即 ④直線關(guān)于直線的對(duì)稱：求直線l關(guān)于直線g的對(duì)稱直線l′，主要依據(jù)l′上任一點(diǎn)M關(guān)于直線g的對(duì)稱點(diǎn)必在l上． 類型一　兩直線的位置關(guān)系 例1　已知

7、兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且l1過點(diǎn)(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等． 　 　 　 　 反思與感悟　已知兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0 (1)對(duì)于l1∥l2的問題，先由A1B2－A2B1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程檢驗(yàn)這時(shí)的l1和l2是否重合，若重合，舍去． (2)對(duì)于l1⊥l2的問題，由A1A2＋B1B2＝0解出字母的值即可． 跟蹤訓(xùn)練1　已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(

8、a－1)y＋a2－1＝0. (1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行； (2)當(dāng)l1⊥l2時(shí)，求a的值． 　 　 類型二　直線的方程 例2　過點(diǎn)P(－1,0)、Q(0,2)分別作兩條互相平行的直線，使它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，求這兩條直線的方程． 　 　 反思與感悟　求直線方程時(shí)，要根據(jù)給定條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆匠蹋Ｓ靡韵聝煞N方法求解：(1)直接法：直接選取適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，寫出結(jié)果；(2)待定系數(shù)法：先以直線滿足的某個(gè)條件為基礎(chǔ)設(shè)出直線方程，再由直線滿足的另一個(gè)條件求出待定系數(shù)，從而求得方程． 跟蹤訓(xùn)練2　已知經(jīng)過點(diǎn)A(－2,0)和點(diǎn)B(1,3

9、a)的直線l1與經(jīng)過點(diǎn)P(0，－1)和點(diǎn)Q(a，－2a)的直線l2互相垂直，求實(shí)數(shù)a的值． 　 　 　 類型三　圓的方程 例3　已知圓經(jīng)過點(diǎn)A(2，－1)，圓心在直線2x＋y＝0上，且與直線x－y－1＝0相切，求圓的方程． 　 　 反思與感悟　(1)求圓的方程的方法 求圓的方程主要是聯(lián)想圓系方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，利用待定系數(shù)法解題． (2)采用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟 ①選擇圓的方程的某一形式． ②由題意得a，b，r(或D，E，F(xiàn))的方程(組)． ③解出a，b，r(或D，E，F(xiàn))． ④代入圓的方程． 跟蹤訓(xùn)練3　在平面直角坐標(biāo)系中

10、，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的圓記為M. (1)求BC邊的中線AD所在直線的一般式方程； (2)求圓M的方程． 　 　 類型四　直線與圓的位置關(guān)系 例4　已知點(diǎn)M(3,1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求過點(diǎn)M的圓的切線方程； (2)若直線ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值； (3)若直線ax－y＋4＝0與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2，求a的值． 　 反思與感悟　直線與圓位置關(guān)系的判斷方法主要有代數(shù)法和幾何法．一般常用幾何法，而不用代數(shù)法．因?yàn)榇?/p>

11、數(shù)法計(jì)算復(fù)雜，書寫量大，易出錯(cuò)，而幾何法較簡(jiǎn)單． 跟蹤訓(xùn)練4　與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________________________． 類型五　數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 例5　設(shè)點(diǎn)P(x，y)在圓x2＋(y－1)2＝1上． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 　 反思與感悟　(1)形如μ＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題． (2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題．

12、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 跟蹤訓(xùn)練5　當(dāng)曲線y＝1＋與直線y＝k(x－2)＋4有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 1．經(jīng)過兩點(diǎn)A(2,1)，B(1，m2)的直線l的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．m＜1 B．m＞－1 C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1 2．以點(diǎn)(－3,4)為圓心，且與x軸相切的圓的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16 C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝9 3．直線l：x－

13、y＋1＝0關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程為(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0 4．若直線mx－(m＋2)y＋2＝0與3x－my－1＝0互相垂直，則點(diǎn)(m,1)到y(tǒng)軸的距離為________． 5．已知直線x－my＋3＝0和圓x2＋y2－6x＋5＝0. (1)當(dāng)直線與圓相切時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值； (2)當(dāng)直線與圓相交，且所得弦長為時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值． 　 　 　 1．求直線的方程時(shí)需要充分利用平面幾何知識(shí)，主要求解方法有數(shù)形結(jié)合法、待定系數(shù)法、軌跡法等．在求解時(shí)，一定要注意直線方程的各種形式的局限性．平行與垂直是

14、平面內(nèi)兩條直線特殊的位置關(guān)系．高考一般考查平行或垂直的判斷、平行或垂直條件的應(yīng)用． 2．在求解圓的有關(guān)問題時(shí)，常使用幾何法．常使用的圓的幾何性質(zhì)如下： (1)圓的切線的性質(zhì)：圓心到切線的距離等于半徑；切點(diǎn)與圓心的連線垂直于切線；切線在切點(diǎn)處的垂線一定經(jīng)過圓心；圓心、圓外一點(diǎn)及該點(diǎn)所引切線的切點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)等等． (2)直線與圓相交的弦的有關(guān)性質(zhì)：相交弦的中點(diǎn)與圓心的連線垂直于弦所在直線；弦的垂直平分線(中垂線)一定經(jīng)過圓心；弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形的三邊，滿足勾股定理． (3)與直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)：直徑是圓最長的弦；圓的對(duì)稱軸一定經(jīng)過圓心；直徑所對(duì)的圓周角是直

15、角． 答案精析 知識(shí)梳理 2．(1)tan α (2) 3．(1)y－y0＝k(x－x0) (2)y＝kx＋b (3)＝ (4)＋＝1 (5)Ax＋By＋C＝0 7．(1)(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (2)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 8．(1)d＞r (2)d＝r (3)d＜r 10. 題型探究 例1　解　(1)∵l1⊥l2， ∴a(a－1)－b＝0.① 又l1過點(diǎn)(－3，－1)， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②，得 (2)∵l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直線l1的斜率也存在， ∴k1＝k2，即＝1－a.

16、③ ∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2， ∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)， 即＝－(－b)．④ ③④聯(lián)立，解得 或 經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)的l1與l2不重合，故所求值為 或 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)若l1∥l2， 則 ∴a＝－1， ∴當(dāng)a＝－1時(shí)，l1∥l2. (2)當(dāng)直線l2的斜率不存在時(shí)，a＝1. 則l2：x＝0，l1：x＋2y＋6＝0. 顯然l1與l2不垂直， 當(dāng)直線l2斜率存在時(shí)，a≠1. 則k2＝， k1＝－. ∵l1⊥l2， ∴k1·k2＝·＝－1. ∴a＝. 例2　解　(1)當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí)，兩條直線的方程分別為x＝－1，

17、x＝0，它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，符合題意； (2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則兩條直線的方程分別為y＝k(x＋1)， y－2＝kx. 令y＝0，得x＝－1，x＝－. 由題意，得|－1＋|＝1，即k＝1. ∴兩條直線的方程分別為y＝x＋1，y＝x＋2， 即為x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 綜上可知， 所求的直線方程為x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 跟蹤訓(xùn)練2　解　l1的斜率 k1＝＝a， 當(dāng)a≠0時(shí)，l2的斜率 k2＝＝. ∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1， 即a·＝－1，得a＝1. 當(dāng)a＝0時(shí)，P(0，－1)，Q(0,0)，

18、這時(shí)直線l2為y軸， A(－2,0)、B(1,0)，這時(shí)直線l1為x軸，顯然l1⊥l2. 綜上可知， 實(shí)數(shù)a的值為1或0. 例3　解　設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)． ∵圓心在直線2x＋y＝0上， ∴b＝－2a，即圓心為C(a，－2a)． 又圓與直線x－y－1＝0相切，且過點(diǎn)(2，－1)， ∴＝r， (2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2， 即(3a－1)2＝2[(2－a)2＋(－1＋2a)2]， 解得a＝1或a＝9， ∴或 綜上所述，所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2 或(x－9)2＋(y＋18)2＝338. 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1

19、)方法一　由B(2,0)，C(0，－4)知，BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，－2)． 又A(－3,0)，所以直線AD的方程為＝， 即中線AD所在直線的一般式方程為x＋2y＋3＝0. 方法二　由題意，得|AB|＝|AC|＝5， 則△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC. 因?yàn)橹本€BC的斜率kBC＝2，所以直線AD的斜率kAD＝－， 由直線的點(diǎn)斜式方程，得 y－0＝－(x＋3)， 所以直線AD的一般式方程為x＋2y＋3＝0. (2)設(shè)圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 將A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入圓的方程，得 解得 所以圓M的方程是x2

20、＋y2＋x＋y－6＝0. 例4　解　(1)由題意知，圓心C(1,2)，半徑為r＝2， ①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x＝3. 由圓心C(1,2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知， 此時(shí)，直線與圓相切； ②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0. 由題意知，＝2，解得k＝. ∴直線方程為y－1＝(x－3)， 即3x－4y－5＝0. 故過點(diǎn)M的圓的切線方程為x＝3或3x－4y－5＝0. (2)由題意有＝2，解得a＝0或a＝. (3)∵圓心到直線ax－y＋4＝0的距離為， ∴2＋2＝4，解得a＝－. 跟蹤訓(xùn)練4　(x－2)2＋(

21、y－2)2＝2 解析　曲線可化為(x－6)2＋(y－6)2＝18， 其圓心到直線x＋y－2＝0的距離為d＝＝5， 根據(jù)圖示可知， 所求的最小圓的圓心在直線y＝x上， 其到直線x＋y－2＝0的距離為， 所以圓心坐標(biāo)為(2,2)． 故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2. 例5　解　(1)式子的幾何意義是圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)(2,0)之間的距離．因?yàn)閳A心(0,1)與定點(diǎn)(2,0)的距離是＝，圓的半徑是1， 所以的最小值是－1. (2)式子的幾何意義是點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)(－1，－2)連線的斜率． 如圖，當(dāng)切線為l1時(shí)，斜率最?。? 設(shè)＝k， 即kx－y＋k－2＝0

22、， 由直線與圓相切， 得＝1， 解得k＝. 故的最小值是. 跟蹤訓(xùn)練5　C　[曲線y＝1＋是以(0,1)為圓心，2為半徑的半圓(如圖)，直線y＝k(x－2)＋4是過定點(diǎn)(2,4)的直線． 設(shè)切線PC的斜率為k0，則切線PC的方程為y＝k0(x－2)＋4，圓心(0,1)到直線PC的距離等于半徑2，即＝2，得k0＝. 又直線PA的斜率為k1＝， 所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是