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1、模塊復習課 一、空間幾何體 1．多面體及其結構特征 (1)棱柱： ①有兩個平面(底面)互相平行；②其余各面都是平行四邊形； ③每相鄰兩個平行四邊形的公共邊互相平行． (2)棱錐： ①有一個面(底面)是多邊形； ②其余各面(側面)是有一個公共頂點的三角形． (3)棱臺： ①上下底面互相平行、且是相似圖形； ②各側棱延長線相交于一點． 2．圓柱、圓錐、圓臺和球 圓柱、圓錐、圓臺和球可以看成以矩形的一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰、一個半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，將矩形、直角三角形、直角梯形、半圓分別旋轉一周而形成的曲面圍成的幾何體． 3．斜二

2、測畫法的意義及建系原則 (1)斜二測畫法中“斜”和“二測”： “斜”是指在已知圖形的xOy平面內與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與x′軸成45°或135°. “二測”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x′軸或z′軸的線段長度不變；平行于y′軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄? (2)斜二測畫法中的建系原則： 在已知圖中建立直角坐標系，理論上在任何位置建立坐標系都行，但實際作圖時，一般建立特殊的直角坐標系，盡量運用原有直線或圖形的對稱直線為坐標軸，圖形的對稱點為原點或利用原有互相垂直的直線為坐標軸等． 4．空間幾何體的表面積和體積 (1)多面體的表面積： 各個面的面積之和，也就是展開圖

3、的面積． (2)旋轉體的表面積： 圓柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)． 圓錐：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)． 球：S＝4πR2. (3)柱體、錐體、臺體的體積公式 ①柱體的體積公式：V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)． ②錐體的體積公式：V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)． ③臺體的體積公式：V臺體＝(S＋＋S′)h(S′，S分別為上、下底面面積，h為高)． ④球的體積公式：V球＝πR3. 二、點、線、面之間的位置關系 1．共面與異面直線 (1)共面：空間中的幾個點或幾條直線，如果都在同一平面內，我們就說它們共面． (2)異面直線：既不相交又不平

4、行的直線． 2．平行公理 過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行． 3．基本性質4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行．即如果直線a∥b，c∥b，那么a∥c. 4．直線與平面平行的判定與性質 (1)判定：如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行．那么這條直線和這個平面平行． (2)性質：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行． 5．平面與平面平行的判定 (1)文字語言：如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行． (2)符號語言：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α. (3)圖形語言：

5、如圖所示． 6．平面與平面平行的性質定理 (1)文字語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行． (2)符號語言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. (3)圖形語言：如圖所示． (4)作用：證明兩直線平行． 7．直線與平面垂直的判定定理 定理：如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直． 推論1：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面． 推論2：如果兩條直線垂直于同一平面，那么這兩條直線平行． 8．直線與平面垂直的性質 性質：如果—條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內的任意一條直線垂

6、直． 符號表示：?a⊥b. 9．面面垂直的判定定理 如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直． 10．面面垂直的性質定理 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直． 三、直線的方程 1．直線傾斜角的范圍[0°，180°)． 2．斜率公式 A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩點，且x1≠x2，則l的斜率為. 3．直線方程的幾種形式 (1)點斜式：y－y0＝k(x－x0)． (2)斜截式：y＝kx＋b. (3)兩點式：＝. (4)截距式：＋＝1. (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)． 4．兩

7、直線的位置關系 設l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)平行：A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A2C1－A1C2≠0. (2)垂直：A1A2＋B1B2＝0. 5．距離公式 (1)兩點間距離公式，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝. (2)點到直線的距離公式： 點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距離d＝. (3)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0)的距離d＝. 四、圓的方程 1．圓的方程 (1)標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r

8、2. (2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)． 2．直線與圓的位置關系 設直線l與圓C的圓心之間的距離為d，圓的半徑為r. 則(1)l與圓C相離?d＞r. (2)l與圓C相切?d＝r. (3)l與圓C相交?d＜r. 3．圓與圓的位置關系 設圓C1與圓C2的圓心距離為d，半徑分別為R與r，則兩圓 (1)外離?d＞R＋r. (2)外切?d＝R＋r. (3)相交?|R－r|＜d＜R＋r. (4)內切?d＝|R－r|. (5)內含?0≤d＜|R－r|. 五、空間直角坐標系 空間兩點間距離公式A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則

9、|AB|＝. 1．空間中兩直線沒有交點，則兩直線平行． (×) [提示]　還可以是異面． 2．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，所圍成的幾何體是棱柱． (×) [提示]　還要有每相鄰兩個四邊形公共邊平行． 3．棱錐是由一個面是多邊形，其余各面是三角形所圍成的幾何體． (×) [提示]　三角形必須有一個公共頂點． 4．圓臺也可以看作是一個圓錐截去一個小圓錐所形成的幾何體． (√) 5．三點確定一個平面． (×) [提示]　不共線三點才能確定平面． 6．球的表面積公式為S＝πR2.(×) 7．有兩個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺． (×) [提示]　棱臺側棱

10、延長后會交于一點． 8．一條直線平行于兩平行平面中的一個平面，也平行于另一個． (×) [提示]　可能直線在平面內． 9．一條直線平行于兩互相垂直的兩平面中的一個，就會垂直于另一平面． (×) [提示]　還可能相交、平行，在平面內． 10．若a∥b，b?α，則a∥α. (×) [提示]　還需要a?α. 11．如果一個平面內有兩條直線與另一個平面平行，那么兩平面平行． (×) [提示]　兩直線相交時才成立． 12．垂直于同一直線的兩直線平行． (×) 13．垂直于同一直線的兩平面平行．(√) 14．垂直于同一平面的兩平面平行． (×) 15．錐體的體積等于底面面積與高之積

11、 (×) 16．經過球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑 (√) 17．直線的傾斜角為α，則直線的斜率為tan α. (×) [提示]　90°時斜率不存在． 18．直線在斜率存在的情況下，隨傾斜角的增大而增大． (×) [提示]　在[0°，90°)上斜率隨傾斜角增大而增大，在(90°，180°)上斜率隨傾斜角增大而增大． 19．直線的一般方程為Ax＋By＋C＝0. (×) [提示]　A2＋B2≠0. 20．直線的點斜式方程不能表示垂直于x軸的直線 (√) 21．與Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直線可寫為Ax＋By＋D＝0. (√) 22．與Ax＋By＋C＝0(A

12、2＋B2≠0)垂直的直線可寫為Bx＋Ay＋D＝0. (×) [提示]　應為Bx－Ay＋D＝0. 23．直線與圓有5種位置關系． (×) [提示]　相離、相切、相交，3種． 24．圓與圓有5種位置關系． (√) 25．正棱錐是底面是正多邊形的棱錐． (×) 26．兩平面互相垂直，其中一個平面內的直線垂直于另一平面． (×) 27．兩平面互相平行，其中一個平面內的直線平行于另一個平面．(√) 28．平行于同一直線的兩平面平行． (×) 29．空間直角坐標系中關于xOy平面對稱的點的坐標，有相同的z坐標． (×) 30．過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線

13、，切點為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2. (√) 1.(2018·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來．構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是(　　) A　[由題意知，在咬合時帶卯眼的木構件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結合榫頭的位置知選A.] 2．(2018·全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　

14、) A．12π　　　　　 B．12π C．8π D．10π B　[因為過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2×π×()2＋2π××2＝12π.] 3．(2018·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 B　[由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長為16.畫出該圓柱的側面展開圖，如圖

15、②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長度為＝＝2.故選B. 　　 　 　圖①　　 　　　　　圖②] 4．(2018·全國卷Ⅲ)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 B　[設等邊三角形ABC的邊長為x，則x2sin 60°＝9，得x＝6.設△ABC的外接圓半徑為r，則2r＝，解得r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距離d＝＝2，則點D到平面ABC的最大距離d1＝d＋4＝6，所以三棱錐D-ABC體積的最大

16、值Vmax＝S△ABC×6＝×9×6＝18.] 5．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] A　[圓心(2,0)到直線的距離d＝＝2，所以點P到直線的距離d1∈[，3]．根據(jù)直線的方程可知A，B兩點的坐標分別為A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面積S＝|AB|d1＝d1.因為d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面積的取值范圍是[2,6]．] 6．(2018·全國卷Ⅰ)直線y＝x＋1與

17、圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點，則|AB|＝________. 2　[由題意知圓的方程為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心坐標為(0，－1)，半徑為2，則圓心到直線y＝x＋1的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝2.] 7．(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________． 8π　[由題意畫出圖形，如圖，設AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高．設圓錐的母線長為l，則由SA⊥SB，△SAB的面積為8，得l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由題意知∠SAO＝30°，所以SO＝

18、l＝2，AO＝l＝2.故該圓錐的體積V＝π×AO2×SO＝π×(2)2×2＝8π.] 8．(2018·全國卷Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB⊥DA. (1)證明：平面ACD⊥平面ABC； (2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP＝DQ＝DA，求三棱錐Q－ABP的體積． [解]　(1)由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC. 又BA⊥AD，且AC?平面ACD，AD?平面ACD， AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD. 又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC. (2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3. 又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2. 作QE⊥AC，垂足為E，則QEDC. 由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1. 因此，三棱錐Q－ABP的體積為VQ－ABP＝×QE×S△ABP＝×1××3×2sin 45°＝1. - 9 -