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1、2022年高考數學 4 函數的性質知識點復習 一、知識要點 1.判斷（證明）單調性的方法 （1）定義法. .取值：在給定區(qū)間上任取，且； .作差：； .變形：分解因式、配方； .判號，得結論. （2）圖象法. （3）運算法： 增+增=增；增-減增；減+減=減；減-增=減. （4）復合法：同增異減. （5）導數法： 在區(qū)間，在遞增； 在區(qū)間，在遞減. （6）配湊法：證明抽象函數的單調性. 2.判斷（證明）奇偶性的方法 先看定義域是否關于原點對稱，然后判斷： （1）定義法. 為奇函數； 為偶函數. （2）圖象法. 奇函數圖象關于原點對稱； 偶函

2、數圖象關于軸對稱. 3.判斷周期性的方法 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）函數圖象有兩條（或以上）的對稱軸，或有兩個（或以上）的對稱中心，則為周期函數，且相鄰兩對稱軸（或對稱中心）之間的距離； 函數圖象既有對稱軸，又有對稱中心，則為周期函數，且相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離. 4.對稱性 （1）關于直線對稱； （2）關于點中心對稱. 二、考點演練 題型一：單調性的應用 1.已知是定義在上的函數，且函數的圖象關于直線對稱，當時，，其中是的導函數，若，，，則的大小關系是________. 2

3、.設函數在內有定義，對于給定的正數，定義函數：，取，當時，函數的單調遞減區(qū)間是________. 題型二：奇偶性的應用 3.已知函數為奇函數，，則________. 4.已知定義在R上的函數滿足對，恒成立，，且函數的圖象關于直線對稱，若，則的取值范圍是________. 題型三：周期性的應用` 5.定義在的偶函數滿足對，有，且當 時，，若函數 在上至少有三個零點，則的取值范圍是________.

4、 6.已知偶函數滿足對，都有，且當時，，則 ________. 題型四：對稱性的應用 7.定義在R上的函數是減函數，且函數的圖象關于點中心對稱，若滿足不等式，則當時，的取值范圍是________. 8.設定義域為R的函數滿足，且在上是增函數，已知滿足，若函數 在上有4個不同的零點，則所有零點之和為________. 題型五：綜合應用 9.函數 (). （1）若函數圖象恒過定點P，且點P關于直

5、線的對稱點在的圖象上，求的值； （2）當時，設，討論的單調性； （3）在（1）的條件下，設，曲線上是否存在兩點P、Q，使(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在軸上？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由. §4.函數的性質 一、知識要點 1.判斷（證明）單調性的方法 （1）定義法. .取值：在給定區(qū)間上任取，且； .作差：； .變形：分解因式、配方； .判號，得結論. （2）圖象法. （3）運算法： 增+增=增；增-減增；減+減=減；

6、減-增=減. （4）復合法：同增異減. （5）導數法： 在區(qū)間，在遞增； 在區(qū)間，在遞減. （6）配湊法：證明抽象函數的單調性. 2.判斷（證明）奇偶性的方法 先看定義域是否關于原點對稱，然后判斷： （1）定義法. 為奇函數； 為偶函數. （2）圖象法. 奇函數圖象關于原點對稱； 偶函數圖象關于軸對稱. 3.判斷周期性的方法 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）函數圖象有兩條（或以上）的對稱軸，或有兩個（或以上）的對稱中心，則為周期函數，且相鄰兩對稱軸（或對稱中心）之間的距離； 函數圖象既有對稱軸，又有對稱中心，則為周期函數，且相鄰的對稱軸與對

7、稱中心之間的距離. 4.對稱性 （1）關于直線對稱； （2）關于點中心對稱. 二、考點演練 題型一：單調性的應用 1.已知是定義在上的函數，且函數的圖象關于直線對稱，當時，，其中是的導函數，若，，，則的大小關系是________. 【解析】因為，所以，令，則，所以，于是，則當時，，所以在遞減. 又因為，即； ，即. 所以，則，即. 由的圖象關于直線對稱，知關于對稱，即為偶函數. 因為，所以，而，所以，即. 綜上得. 2.設函數在內有定義，對于給定的正數，定義函數：，取，當時，函數的單調遞減區(qū)間是________. 【解析】作出函數與的圖象，被壓在下方的圖象即為的圖

8、象. 聯立方程組，解出交點坐標即可求得遞減區(qū)間為. 題型二：奇偶性的應用 3.已知函數為奇函數，，則________. 【解析】因為為奇函數，所以，于是，即. 所以 . 令， 則. 兩式相加得，所以. 4.已知定義在R上的函數滿足對，恒成立，，且函數的圖象關于直線對稱，若，則的取值范圍是________. 【解析】由關于對稱，得關于對稱，即為偶函數. 由，，得在單調遞增，所以，解之得. 題型三：周期性的應用 5.定義在上的偶函數滿足對，有，且當 時，，若函數 在上至少有三個零點，則的取值范圍是________. 【解析】在中，令，則，所以即

9、是以2為周期的周期函數. 令，則，即的零點個數即為曲線與的交點個數. （1）當時，兩圖象不能產生3個交點. （2）當時，只需，即，即，解之得. 綜上得. 6.已知定義在R上的偶函數滿足：對，都有，且當時，，則 ________. 【解析】由，得， 即是周期為6的周期函數. 則 . 題型四：對稱性的應用 7.定義在R上的函數是減函數，且函數的圖象關于點中心對稱，若滿足不等式，則當時，的取值范圍是________. 【解析】由的圖象關于點中心對稱，知關于點中心對稱，即為奇函數. 則 ，即，即，其兩根為，而，所以. 于是的解集為，即.而，所以，即.

10、 8.設定義域為R的函數滿足，且在上是增函數，已知滿足，若函數 在上有4個不同的零點，則所有零點之和為（ ） 【解析】由，知關于中心對稱，則關于中心對稱，即為上的奇函數. 又由，得，所以關于直線對稱，且是以8為周期的周期函數. 不妨令四個零點分別為，則由圖象得， 所以. 題型五：綜合應用 9.函數 (). （1）若函數圖象恒過定點P，且點P關于直線的對稱點在的圖象上，求的值； （2）當時，設，討論的單調性； （3）在（1）的條件下，設，曲線上是否存在兩點P、Q，使(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在軸上？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由. 【解析】 當m＜0時，在上為增函數；在上為減函數.