《全國百強(qiáng)校上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)實(shí)驗(yàn)班用高三數(shù)學(xué)習(xí)題詳解第十五章圓錐曲線》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國百強(qiáng)校上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)實(shí)驗(yàn)班用高三數(shù)學(xué)習(xí)題詳解第十五章圓錐曲線（44頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第十五章 圓錐曲線 15.1曲線和方程 基礎(chǔ)練習(xí) 1．如果命題“坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線上”不正確，那么以下正確的命題是（ ）． （A）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程 （B）坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)有些在上，有些不在上 （C）坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都不在曲線上 （D）一定有不在曲線上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足方程 解：原命題不正確說明坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)不都在曲線上，故正確． 2．若曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：數(shù)形結(jié)合法，可得：． 3．判斷并畫出方程所表示的曲線． 解：由原方程可得 ，即 方程的曲線是兩條射線，如解析圖所示． 4．若曲線與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則的值為___

2、_______． 解：數(shù)形結(jié)合，可知：無解． 5．過（2，4）點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，若交軸于，交軸于，求線段中點(diǎn)的軌跡方程． 解：設(shè)的方程為，則的方程為（若兩直線的斜率均存在）， 則，． 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，的坐標(biāo)為． 所以的軌跡方程為． 若兩直線有一條無斜率，則的坐標(biāo)為（1，2）． 所以的軌跡方程為． 能力提高 6．如題6解析圖，已知兩點(diǎn)以及一直線，設(shè)長為的線段在直線上移動(dòng)．求直線和的交點(diǎn)的軌跡方程． 解：由于、在直線，且線段長為，設(shè)，. 則方程為， 方程為． 聯(lián)立兩方程得． 所以的軌跡方程為． 7．如題7解析圖，的兩條直角邊長分別為和，與兩點(diǎn)分別在軸的

3、正半軸和軸的正半軸上滑動(dòng)，求直角頂點(diǎn)的軌跡方程． 解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，由，所以、、、四點(diǎn)共圓． 從而．由，，有，即． 注意到方程表示的是過原點(diǎn)、斜率為的一條直線，而題目中的與均在兩坐標(biāo)軸的正半軸上滑動(dòng)，由于、為常數(shù)，故點(diǎn)的軌跡不會(huì)是一條直線，而是直線的一部分．我們可考查與兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的極端位置，確定點(diǎn)坐標(biāo)的范圍． 如圖，當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)， ，所以． 如圖，當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 由射影定理，，即，有． 由已知，所以． 故點(diǎn)的軌跡方程為：． 8．已知常數(shù)，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)、、分別在、、上移動(dòng)，且，為與的交點(diǎn)（如解析圖）．求點(diǎn)的軌跡方程． 解：

4、根據(jù)題設(shè)條件可知，點(diǎn)的軌跡即直線與的交點(diǎn)． 據(jù)題意有，，，． 設(shè)，， 由此有，， 直線的方程為， ① 直線的方程為． ② 從①②消去參數(shù)，得點(diǎn)的軌跡方程是：． 1 5.2 圓的方程 基礎(chǔ)練習(xí) 1．求過兩點(diǎn)（1，4）、（3，2）且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)（2，4）與圓的關(guān)系． 解：圓心坐標(biāo)為中垂線與直線的交點(diǎn)，半徑為圓心到的距離，繼而得，計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離為5，圓半徑為，其大于半徑，故點(diǎn)在圓外． 2．圓上到直線的距離為的點(diǎn)共幾個(gè)． 解：圓方程為，圓心坐標(biāo)（，），其到直線的距離為，又圓的半徑為，故圓上到直線距離為的點(diǎn)有3個(gè)． 3．自點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸

5、上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切. （1）求光線和反射光線所在的直線方程．（2）光線自到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程多長？ 解：（1）根據(jù)對(duì)稱性可知，入射光線與圓關(guān)于軸對(duì)稱的圓相切． 設(shè)入射光線的方程為，則，． 所以入射光所在直線方程為或． 根據(jù)對(duì)稱性可知，反射光線是通過點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)與圓相切的直線． 設(shè)入射光線的方程為，則，． 所以反射光線所在的直線的方程為或． （2）根據(jù)對(duì)稱性可知，光線自到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程等于點(diǎn)與圓相切的切線的長度，即答案為． 4．求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程． 解：依題意，所求圓與直線相切且半徑為4，則圓心的坐標(biāo)為或，又已知圓的圓心坐標(biāo)

6、為，半徑，若兩圓相切，則或． （1）當(dāng)圓心為時(shí)，有， 解得，或，無解． 故所求圓的方程為或． （2）當(dāng)圓心為時(shí)，有， 解得，或，無解． 故所求的圓的方程為或． 綜合（1）（2）可知所求圓的方程為或或或． 5．求經(jīng)過點(diǎn)（0，5），且與直線和都相切的圓的方程． 解：設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，則， 解得：或，所以圓的方程為：或． 6．設(shè)點(diǎn)是圓上的任一點(diǎn)，求的取值范圍． 解：由得：，此直線與圓有公共點(diǎn)， 故點(diǎn)到直線的距離．解得：． 能力提高 7．在直角坐標(biāo)系中，以為圓心的圓與直線相切． （1）求圓的方程．（2）圓與軸相交于，兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)使，，成等比數(shù)列，求的取值范圍．

7、 解：（1）點(diǎn)到直線的距離為，故圓方程為． （2），設(shè)，故為． 因點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，得． 8．矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)（2，0），邊所在直線的方程為，點(diǎn)（1，1）在邊所在直線上． （1）求邊所在直線的方程． （2）求矩形外接圓的方程． （3）若動(dòng)圓過點(diǎn)，且與矩形的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程． 解：（1）因?yàn)椋驗(yàn)?，又過．故直線方程為． （2）由題知，點(diǎn)坐標(biāo)為，圓心為點(diǎn)（2，0），所以矩形外接圓的方程為． （3）由題知，，由雙曲線的定義知：． 9．在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)和，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，試求點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 解：經(jīng)過，兩點(diǎn)的圓的圓心在線段的垂直平分線，

8、設(shè)圓心為，則圓的方程為：．對(duì)于定長的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓必與軸相切于點(diǎn)，即圓的方程中的值必須滿足，解得或． 即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為（1，0）和，而過點(diǎn)，，的圓的半徑大于過點(diǎn)，，的圓的半徑，所以，故點(diǎn)（1，0）為所求，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為l． 10．已知，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，，分別切于，兩點(diǎn)． （1）如果，求直線的方程．（2）求動(dòng)弦的中點(diǎn)的軌跡方程． 解：（1）如解析圖所示，由，可得． 由射影定理，得，得，在中， ， 故或，所以直線方程是 或． （2）連接，．設(shè)，，由 點(diǎn)，，在一直線上，得 由射影定理得， ①

9、 即 ② 在①及②中消去，并注意到，可得． 11．在軸同側(cè)的兩個(gè)圓：動(dòng)圓和圓外切，且動(dòng)圓與軸相切，求： （1）動(dòng)圓的圓心軌跡方程． （2）若直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求，之值． 解：（1）由可得， 由，，以及兩圓在軸同側(cè)，可知?jiǎng)訄A圓心在軸上方，設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為， 則有， 整理得到動(dòng)圓圓心軌跡方程． （2）聯(lián)立方程組 ① ② 消去得， 由，整理得 ③ 從③可知．故令，代入③可得， ．再令，代入上式得． 同理可得，．可令，，代入③可得 ④ 對(duì)④進(jìn)行配方，得，對(duì)此式進(jìn)行奇偶分析，可知，均為偶數(shù)．所以為8的倍數(shù)，令，則． 所以0，

10、1，2，3，4，5，6． 僅當(dāng)時(shí)，為完全平方數(shù)。于是解得 ． 15.3橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì) 基礎(chǔ)練習(xí) 1．設(shè)是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，、分別是其左、右焦點(diǎn)，為中心，求的值． 解：設(shè)的坐標(biāo)由焦半徑公式． 2．設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，求的面積． 解：，則為直角三角形， 故的面積為4． 3．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為與，點(diǎn)在直線上．當(dāng)取最大值時(shí)，求的值． 解：由平面幾何知，要使最大，則過，，三點(diǎn)的圓必定和直線相切于點(diǎn)． 設(shè)直線交軸于，則，即， 即 ① 又由圓冪定理， ② 而，，從而有． 代入①②． 4．已知橢圓，長軸的兩個(gè)端點(diǎn)為

11、、，若橢圓上存在點(diǎn)，使，求該橢圓的離心率的取值范圍． 解：，， 將代入，得，解得． 5．等腰直角中，斜邊，一個(gè)橢圓以為其焦點(diǎn)，另一個(gè)焦點(diǎn)在線段上，且橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：由題可知，橢圓的另一焦點(diǎn)與點(diǎn)的連線平分三角形的周長，三角形的周長為．所以橢圓的半長軸長為，同時(shí)解得長為，所以橢圓方程為． 6．橢圓的右焦點(diǎn)為，，，…，，為24個(gè)依逆時(shí)針順序排列在橢圓上的點(diǎn)，其中是橢圓的右頂點(diǎn)，并且…．若這24個(gè)點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離的倒數(shù)和為，求的值． 解：橢圓中，，，故．所以． 設(shè)與軸正向的夾角為，為點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離．則 ．即． 同理． 所以． 從而，于是． 7．過橢圓

12、上任一點(diǎn)，作橢圓的右準(zhǔn)線的垂線（為垂足），延長到點(diǎn)，使．當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的離心率的取值范圍． 解：設(shè)，，因?yàn)橛覝?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為． 又由于，所以，所以由定比分點(diǎn)公式，可得：，代入橢圓方程，得點(diǎn)軌跡為，所以離心率． 8．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，的內(nèi)心為，求． 解：記內(nèi)切圓在，，上的三個(gè)切點(diǎn)為，， 則，，． 則， ， ， ． 能力提高 9．設(shè)橢圓的方程為，線段是過左焦點(diǎn)且不與軸垂直的焦點(diǎn)弦．若在左準(zhǔn)線上存在點(diǎn)，使為正三角形， 求橢圓的離心率的取值范圍，并用表示直線的斜率． 解：如下頁解析圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為．

13、過點(diǎn)、、分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、、， 則． 假設(shè)存在點(diǎn)，則，且， 即，所以． 于是，． 則． 若（如解析圖）則． 當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作斜率為的焦點(diǎn)弦，它的中垂線交左準(zhǔn)線于，由上述運(yùn)算知，．故為正三角形． 若，則由對(duì)稱性得． 又，所以，橢圓的離心率的取值范圍是， 直線的斜率為． 10．如圖15—16，已知，，是長軸為4的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)，過橢圓中心，且，． （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程． （2）如果橢圓上兩點(diǎn)，使直線，與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)，使？請(qǐng)給出證明． 解：（1）以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如解析圖直角坐

14、標(biāo)系，則（2，0），橢圓方程可設(shè)為 ． 如解析圖所示，為橢圓中心，南對(duì)稱性知又． 則，又，所以， 則為等腰直角三角形，所以點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）． 將（1，1）代入橢圓方程得． 則橢圓方程為． （2）由直線、與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，直線的方程為．由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得 ① 因?yàn)椋?，1）在橢圓上，所以是方程①的一個(gè)根，于是 ．同理，． 這樣，，又，所以，即． 所以，存在實(shí)數(shù)使． 11．學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)．設(shè)計(jì)方案如圖1 5—1 7．航天器運(yùn)行（按順時(shí)針方向）的軌跡方程

15、為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對(duì)稱軸、為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為（8，0）．觀測(cè)點(diǎn)（4，0）、（6，0）同時(shí)跟蹤航天器． （1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程． （2）試問：當(dāng)航天器在軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)、測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令． 解：（1）設(shè)曲線方程為，由題意可知，． 則． 則曲線方程為． （2）設(shè)變軌點(diǎn)為，根據(jù)題意可知 得，即或（不合題意，舍去）． 則．得或（不合題意，舍去）． 則點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，4），． 即當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)、測(cè)得、距離分別為、時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出指令． 12．如圖15—18，

16、為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦、分別過焦點(diǎn)、．當(dāng)垂直于軸時(shí)，恰好． （1）求該橢圓的離心率． （2）設(shè)，，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由． 解：（1）當(dāng)垂直于軸時(shí)， ，由，得 ． 在中，，解得． （2）由，則． 焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，則橢圓方程為，化簡有． 設(shè)，，． ①若直線斜率存在，則直線方程為， 代入橢圓—方程有． 由韋達(dá)定理得，則． 所以，同理可得．故． ②若直線軸，，，． 則．綜上所述：是定值6． 1 5.4 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì) 基礎(chǔ)練習(xí) 1．已知點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是（ ）．

17、 （A） （B） （C） （D） 解：設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)，則 ，因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線的右分支上，所以，． 所以直線方程為，聯(lián)立，得 ，故選． 2．已知一條直線與雙曲線的兩支分別相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求雙曲線的中心到直線的距離． 解：設(shè)， 則， 則 ①+②得． 記到的距離為，則， 則． 3．方程表示的曲線是（ ）． （A）焦點(diǎn)在軸上的橢圓 （B）焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 （C）焦點(diǎn)在軸上的橢圓 （D）焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 解：， ， ，所以選． 4．如圖15—25，從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為．延長交雙曲線右支于點(diǎn)．若為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷

18、與的大小關(guān)系，并予以證明． 解：記雙曲線右焦點(diǎn)為，連接， 則． ． 又由于，則， 則， ．（利用雙曲線的定義） 5．已知雙曲線，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，的焦點(diǎn)是的左焦點(diǎn)． （1）求證：，總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)． （2）問：是否存在過的焦點(diǎn)的弦，使的面積有最大值或最小值？ 若存在，求直線的方程與的最值，若不存在，說明理由． 解：（1），所以，總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)． （2），存在過的直線使面積有最小值． 6．在正中，、分別是、的中點(diǎn)，試求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)、的雙曲線的離心率． 解：． 能力提高 7．已知曲線，，為正常數(shù)．直線與曲線的實(shí)軸不垂直，且依次交直線、曲線、直線于

19、、、、四個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，求證：的面積為定值． 解：設(shè)直線代入得． 得． 設(shè)，，則有． 設(shè)，，易得，． 由得． 故． 代入得． 整理得：． 又． 則為定值． 8．過雙曲線的右焦點(diǎn)作軸，交雙曲線于，兩點(diǎn)，與左焦點(diǎn)連線交雙曲線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交軸于點(diǎn)．求證：的橫坐標(biāo)為定值． 證明：設(shè)點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，則，，的坐標(biāo)分別為，，，因?yàn)?，分別是直線，與軸的交點(diǎn)， 所以 ① 所以 ． 由①得， 代入上式得，即（定值）． 9．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和為定值，且的最小值為． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． （2）若已知（0，3），、在動(dòng)點(diǎn)的軌

20、跡上且，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（1）由題意．設(shè)，由余弦定理，得 ． 又， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值， 此時(shí)取最小值，令， 解得．由于，則，故所求的軌跡方程為． （2）設(shè)，，則由，可得， 故，． 由于，在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上， 則且， 消去可得，解得． 又，，解得． 故實(shí)數(shù)的取值范圍是． 10．在雙曲線的一支上有三個(gè)點(diǎn)、、與焦點(diǎn)（0，5）的距離成等差數(shù)列． （1）求． （2）求證線段的垂直平分線經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：（1）雙曲線方程可以化為：， 由題意可知，，三點(diǎn)在雙曲線的一支上，即得 由于，，成等差數(shù)列 由于，則，得． （2）設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)，由

21、于，在雙曲線上，故 ，兩式相減得： ， 整理得：， 則中垂線斜率為， 則的中垂線方程為：，即， 則當(dāng)時(shí)，即的中垂線經(jīng)過定點(diǎn)． 11．直線與雙曲線的左支相交于，兩點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)和中點(diǎn)的直線在軸上的截距為，求的取值范圍． 解：由得．令， 直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根． 因此．解得，又中點(diǎn)為， 則直線的方程為， 令，得， 由于，則． 則故的取值范圍是． 12．已知雙曲線的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與以為圓心，為半徑的圓相切，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)和關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)直線過點(diǎn)，斜率為． （1）求雙曲線的方程． （2）當(dāng)時(shí)，在雙曲線的上支求點(diǎn)，使其與直線的距

22、離為． （3）當(dāng)時(shí)，若雙曲線的上支上有且只有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，求斜率的值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：（1）由已知得雙曲線的漸近線為． 因而為等軸雙曲線，其中一個(gè)頂點(diǎn)為，所以雙曲線的方程為． （2）若是雙曲線的上支上到直線的距離為的點(diǎn)， 則，解得，．故點(diǎn)坐標(biāo)為． （3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，雙曲線的上支在直線的上方，所以點(diǎn)在直線的上方． 設(shè)直線與直線平行，兩線間的距離為， 直線在直線的上方，雙曲線的上支上有且只有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，等價(jià)于直線與雙曲線的上支有且只有一個(gè)公共點(diǎn)． 設(shè)的方程是，由上的點(diǎn)到距離為，可知， 解得，其中舍去． 由方程及，消去得，． 由于，則． 令．由于，解得

23、，． 當(dāng)時(shí)，，解得，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為． 當(dāng)時(shí)，，解得，，而，則點(diǎn)的坐標(biāo)為． 1 5.5 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì) 基礎(chǔ)練習(xí) 1．過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，若此直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，弦的中垂線與軸交于點(diǎn)，求線段的長． 解：易知此拋物線焦點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，故直線的方程為，因此，，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足方程，由此求得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)進(jìn)而求得其中垂線方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即． 2．拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，焦點(diǎn)在直線上，求此拋物線的方程． 解：焦點(diǎn)為（4，0），則拋物線方程為． 3．已知拋物線，是坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，過作直線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，求的最小值． 解：． ．

24、 設(shè)方程為，設(shè)，點(diǎn)坐標(biāo)分別為，， 聯(lián)立得：． ． 則的最小值為． 4．正方形的兩頂點(diǎn)，在拋物線上，，兩點(diǎn)在直線上，求正方形的邊長． 解：設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，顯然． 由于，則，即． 一方面， ， 則 ① 另一方面，， 則 ② 將①代入②，得，即． 故或． 5．如圖15—30，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為2，直線交拋物線與圓依次為、、、四點(diǎn)，求的值． 解：由圓的方程，即可知，圓心為（2，0），半徑為2，又由拋物線焦點(diǎn)為已知圓的圓心，得到拋物線焦點(diǎn)為（2，0），設(shè)拋物線方程為， ． 由于為已知圓的直

25、徑，則，則． 設(shè)、，由于，而、在拋物線上，由已知可知，直線方程為，于是，由方程組 消去，得，則． 則，因此，． 能力提高 6．已知，為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，點(diǎn)坐標(biāo)為． （1）求證：，，三點(diǎn)共線． （2）若且，試求點(diǎn)的軌跡方程． 解:（1）證明：設(shè)，，由得 ，則， 又由于，， 且，則，即，，三點(diǎn)共線． （2）由（1）知直線過定點(diǎn)，又由及知，垂足為，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點(diǎn)．即點(diǎn)的軌跡方程為． 7．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），過點(diǎn)作斜率為，的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，延長，交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為． （1）求的值． （2）求直線

26、與直線夾角的取值范圍． 解：（1）由條件知，設(shè)、、、，不妨設(shè)． 直線的方程為，與聯(lián)立得． 所以． ①當(dāng)時(shí)，則，故，即． 直線的方程為，從而；直線的方程為：， 與聯(lián)立得，得，，即． 于是，．所以． ②當(dāng)時(shí)，直線方程為與拋物線方程． 聯(lián)立得，又由，化簡上述方程得． 此方程有一根為，所以另一根，．即，同理，． 所以，，即． 由①、②可知． （2）故． 所以，直線與直線夾角的取值范圍是． 8．如圖15—31，已知與軸的交點(diǎn)．如果．試求函數(shù)的值域． 解：設(shè)，不妨設(shè)，則的方程是 取得：， 因，所以，，， ． 因，所以．當(dāng)時(shí)， ， 所以，．因在區(qū)間上是減函

27、數(shù)， 所以，．即函數(shù)的值域?yàn)椋? 9．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)（1，0）的距離比到定直線的距離?。? （1）求證：點(diǎn)軌跡為拋物線，并求出其軌跡方程． （2）大家知道，過圓上任意一點(diǎn)，任意作相互垂直的弦，，則弦必過圓心（定點(diǎn)），受此啟發(fā)，研究下面的問題：①過（1）中的拋物線的頂點(diǎn)任作相互垂直的弦，，則弦是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)（設(shè)為），請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，否則說明理由．②研究：對(duì)于拋物線上頂點(diǎn)以外的定點(diǎn)是否也有這樣的性質(zhì)？請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)一般的結(jié)論，并予以證明． 解：（1）到定點(diǎn)（1，0）的距離等于到定直線的距離，則軌跡為拋物線； 軌跡方程為． （2）①設(shè)． 由得，同理． 因此，方程為． 即，令

28、，得． 則直線必過定點(diǎn)（4，0）． ②設(shè)點(diǎn)為上一定點(diǎn)，則． 過作互相垂直的弦，， 設(shè)，，則，． 則，則． 化簡得，即 ① 假設(shè)過定點(diǎn)，則有， 即化簡得 ② 比較①②得，，則過定點(diǎn)． 10．已知拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5． （1）求拋物線的方程． （2）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，且，是弦的中點(diǎn)，過作平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，得到；再分別過弦、的中點(diǎn)作平行于軸的直線依次交拋物線于點(diǎn)，，得到和；按此方法繼續(xù)下去（見圖15—32）．解決下列問題： ①求證：． ②計(jì)算的面積． ③根據(jù)的面積的計(jì)算結(jié)果，寫出，的面積；請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種求拋物與線段所

29、圍成封閉圖形面積的方法，并求出此封閉圖形的面積． 解：（1）由拋物線定義，拋物線，上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，得，，所以拋物線的方程為． （2）由，得（或）， 當(dāng)，即且時(shí)， ． ①由即，得，所以． ②由①知，中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)， ． ③由問題②知，的面積值僅與有關(guān)，由于 ，所以與的面積 ． 設(shè)． 由題設(shè)當(dāng)中構(gòu)造三角形的方法，可以將拋物線與線段所圍成的封閉圖形的面積看成無窮多個(gè)三角形的面積的和，即數(shù)列的無窮項(xiàng)和， 所以……， 即……， 因此，所求封閉圖形的面積為． 15.6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 基礎(chǔ)練習(xí) 1．若，，成等差數(shù)列，則直線被橢圓截得線段的中

30、點(diǎn)的軌跡方程為__________． 解：由知過定點(diǎn)．又點(diǎn)在橢圓， 所以為所截線段的一個(gè)端點(diǎn)，設(shè)另一個(gè)端點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為， 則，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上， 所以． 故得中點(diǎn)的軌跡方程為：． 2．過原點(diǎn)引拋物線的切線，當(dāng)變化時(shí)，兩個(gè)切點(diǎn)分別在拋物線（ ）上． （A） （B） （C）， （D）， 解：設(shè)切線方程為（顯然直線的斜率存在）． 聯(lián)立，得． 由于切線與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以上述方程． 所以或．分別代入方程中可得切點(diǎn)坐標(biāo)為或． 所以兩個(gè)切點(diǎn)分別在拋物線，上．故正確選項(xiàng)為． 3．若在拋物線的上方可作一個(gè)半徑為的圓與拋物線相切于原點(diǎn)，且該圓與拋物線

31、沒有別的公共點(diǎn)，求的最大值． 解：，， ． 4．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和． （1）求的取值范圍． （2）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為，，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說明理由． 解：（1）由已知條件，直線的方程為，代入橢圓方程得． 整理得 ① 直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和等價(jià)于， 解得或．即是的取值范圍為． （2）設(shè)，，則， 由方程① ． ② 又 ． ③ 而，，．所以與共線等價(jià)于，將②③代入上式，解得． 由（1）知或，故沒有符合題意

32、的常數(shù)． 5．若拋物線上存在關(guān)于直線成軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求的取值范圍． 解：拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為軸，存在關(guān)于直線對(duì)稱兩點(diǎn)的條件是存在一對(duì)點(diǎn)，，滿足且相減得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，所以，即． 所以．此方程有不等實(shí)根，所以，求得，即為所求． 6．若直線與橢圓相交． （1）求的范圍． （2）當(dāng)截得弦長最大時(shí)，求的值． 解：聯(lián)立． （1）． （2），顯然當(dāng)時(shí)，最大． 能力提高 7．設(shè)雙曲線與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，． （1）求雙曲線的離心率的取值范圍． （2）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，且．求的值． 解：（1）由與相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．消去并整理得

33、． ①且． 雙曲線的離心率．且， 則． 離心率的取值范圍為． （2）設(shè) 由于，則． 由于，都是方程①的根，且， ，． 消去得． 8．過橢圓上一動(dòng)點(diǎn)引圓的兩條切線、，、為切點(diǎn)，直線與軸，軸分別交于、兩點(diǎn)（如圖15—38）． （1）已知點(diǎn)坐標(biāo)為且，試求直線的方程． （2）若橢圓的短軸長為8，且，求橢圓的方程． （3）橢圓上是否存在點(diǎn)，由向圓所引的兩條切線互相垂直？若存在，請(qǐng)求出存在的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：（1）設(shè)，切線，． 由于點(diǎn)在切線，上，，， 則直線的方程為． （2）在直線方程中，令，則；令，則，則． 由于則． 則橢圓方程：． （3）假設(shè)

34、存在點(diǎn)滿足，連接，由知，四邊形為正方形，則 ① 又由于點(diǎn)在橢圓上，則 ② 由①②知，． 由于，則． 當(dāng)，即，時(shí)，橢圓上存在點(diǎn)，由點(diǎn)向圓所引兩切線互相垂直． 當(dāng)，即時(shí)，橢圓上不存在滿足條件的點(diǎn)． 9．設(shè)、是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)（1，3）是線段的中點(diǎn)，線段的垂直平分線與橢圓相交于、兩點(diǎn)． （1）確定的取值范圍，并求直線的方程． （2）試判斷是否存在這樣的，使得，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由． 解：（1）依題意，可設(shè)直線的方程為，代入，整理得 ① 解法一：設(shè)，，則，是方程①的兩個(gè)不同的根 則 ② 且，由（1，3）是線段的中點(diǎn)，得 ，則

35、． 解得，代入②得，，即的取值范圍是． 于是，直線的方程為． 解法二：設(shè)，則有 ． 依題意，，則． 由于（1，3）是的中點(diǎn)，則，，從而． 又由（1，3）在橢圓內(nèi)，則． 則的取值范圍是． 直線的方程為． （2）由于垂直平分，則直線的方程為，即， 代入橢圓方程，整理得 ③ 又設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，是方程③的兩根， 則，且，，即． 于是由弦長公式可得 ④ 將直線的方程，代入橢圓方程得 ⑤ 同理可得 ⑥ 由于當(dāng)時(shí)，，． 假設(shè)存在，使得，，，四點(diǎn)共圓，則必為圓的直徑，點(diǎn)為圓心． 點(diǎn)到直線的距離為 ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式

36、和勾股定理可得 ． 故當(dāng)時(shí)，，，，四點(diǎn)均在以為圓心，為半徑的圓上． 10．如圖15—39，已知拋物線和直線，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)為． （1）求點(diǎn)的軌跡． （2）求的最小值． （3）求證：直線的傾斜角為定值，并求的值． 解：（1）由得，則． 設(shè)，，則，， 則即． 同理，有． 則，為方程的兩根，則，． 設(shè)，則 ① ② 由①②消去得點(diǎn)的軌跡方程為． （2）， 又則當(dāng)時(shí)，． （3）由于坐標(biāo)為，則對(duì)任意，恒有軸，則的傾斜角為定值．則又由（2）得． 則． 15.7 圓錐曲線的應(yīng)用 能力提高 1．在周

37、長為定值的中，已知，且當(dāng)頂點(diǎn)位于定點(diǎn)時(shí)，有最小值為． （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)的軌跡方程． （2）過點(diǎn)作直線與（1）中的曲線交于、兩點(diǎn)，求的最小值的集合． 解：（1）以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)為定值，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，所以焦距． 由于 又，所以，由題意得，． 此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為．故點(diǎn)的軌跡方程為． （2）不妨設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，．當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)， 設(shè)其方程為代入橢圓方程化簡，得． 顯然有，所以，． 而由橢圓第二定義可得 只要考慮為最小值，即考慮為最小值，則時(shí)，得最小值16． 當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，，得， 但，故，這樣的，不存在

38、，即的最小值的集合為空集． 2．已知橢圓，動(dòng)圓，其中．若是橢圓上的點(diǎn)，是動(dòng)圓上的點(diǎn)，且使直線與橢圓和動(dòng)圓均相切，求，兩點(diǎn)的距離的最大值． 解：設(shè)，，直線的方程為， 因?yàn)榧仍跈E圓上又在直線上，從而有 將①代入②得 由于直線與橢圓相切，故 從而可得， ③ 同理，由既在動(dòng)圓上又在直線上，可得， ④ 由③、④得，． ． 即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，兩點(diǎn)的距離的最大值為． 3．在平面直角坐標(biāo)系中，給定三點(diǎn)，，，點(diǎn)到直線的距離是該點(diǎn)到直線，距離的等比中項(xiàng)． （1）求點(diǎn)的軌跡方程． （2）若直線經(jīng)過的內(nèi)心（設(shè)為）．且與點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求的斜率的取

39、值范圍． 解：（1）直線，，的方程依次為，，． 點(diǎn)到，，的距離依次為，，． 依設(shè)，，得，即，或， 化簡，得點(diǎn)的軌跡方程為圓與雙曲線． （2）由前知，點(diǎn)的軌跡包含兩部分圓 ① 與雙曲線 ② 因?yàn)楹褪沁m合題設(shè)條件的點(diǎn)，所以點(diǎn)和點(diǎn)在點(diǎn)的軌跡上，且點(diǎn)的軌跡曲線與的公共點(diǎn)只有，兩點(diǎn)． 的內(nèi)心也是適合題目設(shè)條件的點(diǎn)，由解得，且知它在圓上． 直線經(jīng)過，且與點(diǎn)的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)， 所以，的斜率存在，設(shè)的方程為 ③ （?。┊?dāng)時(shí)，與圓相切，有唯一的公共點(diǎn)；此時(shí)，直線平行于軸，表明與雙曲線有不同于的兩個(gè)公共點(diǎn)，所以恰好與點(diǎn)的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)． （ⅱ）當(dāng)時(shí)，與圓有兩個(gè)

40、不同的交點(diǎn)． 這時(shí)，與點(diǎn)的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況： 情況1：直線經(jīng)過點(diǎn)或點(diǎn)，此時(shí)的斜率，直線的方程為． 代入方程②得，解得或．表明直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，， 直線與曲線有個(gè)交點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，恰好與點(diǎn)的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)． 情況2：直線不經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)（即），因?yàn)榕c有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 所以與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解， 消去并化簡得， 該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是 ④ 或 ⑤ 解方程④得．解方程⑤得． 綜合得直線的斜率的取值范圍是有限集． 4．過點(diǎn)作一條直線和軸、軸分別相交于，兩點(diǎn)，試求的最大值（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）． 解：

41、過點(diǎn)作一圓與軸、軸分別相切于點(diǎn)、，且使點(diǎn)在優(yōu)弧上，則圓的方程為． 于是，過點(diǎn)作圓的切線和軸、軸分別相交于，兩點(diǎn)， 圓為的內(nèi)切圓，故． 若過點(diǎn)的直線不和圓相切，則作圓的平行于的切線和軸、軸分別相交于 ，兩點(diǎn)，則． 由折線的長大于的長及切線長定理，得 ． 所以，的最大值為6． 5．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是和，且橢圓與圓有公共點(diǎn)（見圖15—41）． （1）求的取值范圍． （2）若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為，求橢圓的方程． （3）對(duì)（2）中的橢圓，直線與交于不同的兩點(diǎn)、，若線段的垂直平分線恒過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（1）由已知，， 則方程組有實(shí)數(shù)解，從而， 故，所

42、以，即的取值范圍是． （2）設(shè)橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為， 則． 由于，則當(dāng)時(shí)，， 于是，，解得．．則所求橢圓方程為． （3）由得（*） 由于直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，則，即 ① 設(shè)、，則、是方程（*）的兩個(gè)實(shí)數(shù)解． 則，則線段的中點(diǎn)為， 又由于線段的垂直平分線恒過點(diǎn)，， 即，即 ② 由①②得，，又由②得， 則實(shí)數(shù)的取值范圍是． 6．設(shè)斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)、都存在）． （1）求的值． （2）把上述橢圓一般化為，其他條件不變，試猜想與關(guān)系（不需要證明）．請(qǐng)你給出在雙曲線中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論

43、． （3）分析（2）中的探究結(jié)果，并作出進(jìn)一步概括，使上述結(jié)果都是你所概括命題的特例．如果概括后的命題中的直線過原點(diǎn)，為概括后命題中曲線上一動(dòng)點(diǎn)，借助直線及動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你提出一個(gè)有意義的數(shù)學(xué)問題，并予以解決． 解：（1）設(shè)直線方程為，代入橢圓方程并整理，得， ，又中點(diǎn)在直線上，所以，從而可得弦中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以． （2）對(duì)于橢圓，， 已知斜率為的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)是、都存在）．則的值為． 設(shè)直線方程為，代入方程并整理，得 ，所以，即． （3）對(duì)（2）的概括：設(shè)斜率為的直線交二次曲線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)

44、原點(diǎn)，假設(shè)、都存在），則． 提出的問題如：直線過原點(diǎn)，為二次曲線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線交曲線于、兩點(diǎn)，當(dāng)異于、兩點(diǎn)時(shí)。如果直線、的斜率都存在，則它們斜率的積為與點(diǎn)無關(guān)的定值． 設(shè)直線方程為，、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，則． 把代入得， ， 所以． 7．已知點(diǎn)，一動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓內(nèi)切． （1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程． （2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn)，求點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值． （3）在的條件下，設(shè)的面積為 （是坐標(biāo)原點(diǎn)，是曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)），以為邊長的正方形的面積為．若正數(shù)滿足，問是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出此最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，已知?jiǎng)訄A圓心為，

45、 由題意知，，于是， 所以點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，其方程為． （2）設(shè)，則 ，令，，所以， 當(dāng)，即時(shí)在上是減函數(shù)，； 當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 則； 當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，． 所以， （3）當(dāng)時(shí)，，于是， 若正數(shù)滿足條件，則，即， ，令，設(shè)，則， 于是．所以，當(dāng)，即時(shí)，， 即，．所以，存在最小值． 8．已知點(diǎn)，，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)滿足． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． （2）是否存在與曲線外切且與曲線內(nèi)接的平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出一個(gè)這樣的平行四邊形，若不存在，請(qǐng)說明理由． （3）固定曲線，在（2）的基礎(chǔ)上提出一

46、個(gè)一般性問題，使（2）成為（3）的特例，探究能得出相應(yīng)結(jié)論（或加強(qiáng)結(jié)論）需滿足的條件，并說明理由． 解：（1）． （2）連橢圓四端點(diǎn)可得． （3）問題：已知和，試問，當(dāng)、滿足什么條件時(shí)，對(duì)上任意一點(diǎn)均存在以為頂點(diǎn)，與外切，與內(nèi)接的平行四邊形．解得． 9．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，又知的一個(gè)焦點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱． （1）求雙曲線的方程． （2）若是雙曲線上的任一點(diǎn)，、為雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從引的平分線的垂線，垂足為，試求點(diǎn)的軌跡方程． （3）設(shè)直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過及 的中點(diǎn)，求亙線在軸上的截距

47、的取值范圍． 解：(1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為，即． 由于該直線與圓相切，則雙曲線的兩條漸近線方程為， 故設(shè)雙曲線的方程為． 又由于雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為， 則，，則雙曲線的方程為． (2)若在雙曲線的右支上，則延長到，使， 若在雙曲線的左支上，則在上取一點(diǎn)，使， 根據(jù)雙曲線的定義，所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上， 即點(diǎn)的軌跡方程是 ① 由于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，設(shè)，， 則，即． 代入①并整理得點(diǎn)的軌跡方程為，． (3)由得，令， 直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根． 因此，解得，又中點(diǎn)為， 則直線的方程為． 令，得， 由于，則． 則故的取值范圍是．