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1、 平均數是統計學中最常用的統計量，用來表明資料中各觀測值相對集中較多的中心位置。平均數主要包括有： 算術平均數（arithmetic mean） 中位數（median） 眾數（mode） 幾何平均數（geometric mean） 調和平均數（harmonic mean） 一、算術平均數 算術平均數是指資料中各觀測值的總和除以觀測值個數所得的商，簡稱平均數或均數，記為。 算術平均數可根據樣本大小及分組情況而采用直接法或加權法計算。 (一)直接法 主要用于樣本含量n30以下、未經分組資料平均數的計算。 設某一資料包含n個觀測值： x1、x2、xn， 則樣本平均數可通過下式計算： 其中，為總和符號

2、； 表示從第一個觀測值x 1累加到第n個觀測值xn。當 在意義上已明確時，可簡寫為x，（3-1）式可改寫為： nxn xxxx ni in 121 ni ix1nxx 【例3.1】 某種公牛站測得10頭成年公牛的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均數。 由于 x=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49 =5285， n=10 得： 即10頭種公牛平均體重為528.5 kg。 （二）加權法 對于樣本含量 n30 以上且已分組的資料，可以在次數分布表的基礎上采用加權法計算平均數，計算公式為：

3、 .5(kg)528105285 nxx ffxfxffff xfxfxfx ki iki iik kk 1121 2211 式中： 第i組的組中值； 第i組的次數； 分組數 第i組的次數fi是權衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小的數量，因此將fi 稱為是xi的“權”，加權法也由此而得名。 【例3.2】 將100頭長白母豬的仔豬一月窩重（單位：kg）資料整理成次數分布表如下，求其加權數平均數。ixifk 表31 100頭長白母豬仔豬一月窩重次數分布表 利用（32）式得： 即這100頭長白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。 計算若干個來自同一總體的樣本平均數的平均數時，如果樣本含量不等，

4、也應采用加權法計算。 )(2.451004520 kgffxx 【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛 1500頭，其平均體重為750 kg ，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725 kg，如果將這兩個牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？ 此例兩個牛群所包含的牛的頭數不等，要計算兩個牛群混合后的平均體重，應以兩個牛群牛的頭數為權，求兩個牛群平均體重的加權平均數，即 即兩個牛群混合后平均體重為738.89 kg。 （三）平均數的基本性質 1、樣本各觀測值與平均數之差的和為零，即離均差之和等于零。 或簡寫成)(89.7382700 12007251500750 kgffxx 0)( 1

5、xxni i 0)( xx 2、樣本各觀測值與平均數之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。 (xi- )2 (xi- a)2 （常數a ） 或簡寫為： 幾何平均數調和平均數 上述五種平均數，最常用的是算術平均數。 一、標準差的意義 用平均數作為樣本的代表，其代表性的強弱受樣本資料中各觀測值變異程度的影響。僅用平均數對一個資料的特征作統計描述是不全面的，還需引入一個表示資料中觀測值變異程度大小的統計量。 全距（極差）是表示資料中各觀測值變異程度大小最簡便的統計量。但是全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準確表達資料中各觀測值的變異程度，比較粗略。當資料很多而又要迅速對資料的變異程度作出

6、判斷時，可以利用全距這個統計量。 為 了 準 確 地 表示樣本內各個觀測值的變異程度 ，人們 首 先會考慮到以平均數為標準，求出各個觀測值與平均數的離差，（ ） ，稱為離均差。 雖然離均差能表示一個觀測值偏離平均數的性質和程度，但因為離均差有正、有負 ，離均差之和 為零，即（ ） = 0 ，因 而 不 能 用離均差之和（ ）來 表 示 資料中所有觀測值的總偏離程度。 xx xx xx 為了解決離均差有正 、有負，離均差之和為零的問 題 ， 可先求 離 均 差的絕 對 值 并 將 各 離 均 差 絕對 值 之 和 除以 觀 測 值 個 數 n 求 得 平 均 絕 對 離差，即| |/n。雖然平均

7、絕對離差可以表示資料中各觀測值的變異程度 ，但由于平均絕對離差包含絕對值符號 ，使用很不方便，在統計學中未被采用。xx 我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決離均差有正、有負，離均差之和為零的問題。 先將各 個離 均差平方，即 ( )2 ，再求 離均差平方和 ， 即 ，簡稱平方和，記為SS； 由 于 離差平方和 常 隨 樣 本 大 小 而 改 變 ，為 了 消 除 樣 本大小 的 影 響 ， 用平方和 除 以 樣 本 大 小， 即 ，求出離均差平方和的平均數 ；xx2)( xx nxx /)( 2 為了使所得的統計量是相應總體參數的無 偏估計量，統計學證明，在求離均差平方和的平均數時，分母不用

8、樣本含量n，而用自由度 n-1， 于是，我們 采 用統計量 表示資料的變異程度。 統計量 稱 為 均 方 （ mean square縮寫為MS）,又稱樣本方差，記為S 2，即 S2= 1/)( 2 nxx 1/)( 2 nxx 1/)( 2 nxx 相應的總體參數叫 總體方差 ，記為2。對于有限總體而言，2的計算公式為： Nxx /)( 22 由于 樣本方差 帶有原觀測單位的 平方單位，在僅表示一個資料中各觀測值的變異程度而不作其它分析時 ， 常需要與平均數配合使用 ，這 時應 將平方單位還原，即應求出樣本方差的平方根。統計學上把樣本方差 S2 的平方根叫做樣本標準 差，記為S，即： 1 )(

9、 2 n xxS 由于 所以上式可改寫為： )2()( 222 xxxxxx 22 2 xnxxx 222 )()(2 nxnnxx nxx 2 2 )( 1 2)(2 nxS nx 相應的總體參數叫總體標準差，記為。對于有限總體而言，的計算公式為： 在統計學中，常用樣本標準差S估計總體標準差。 Nx /)( 2 二、標準差的計算方法 （一）直接法 對于未分組或小樣本資料 ， 可直接利用（311）或（3-12）式來計算標準差。 【例3.9】 計算10只遼寧絨山羊產絨量： 450， 450， 500， 500， 500，550， 550， 550， 600， 600，650（g）的標準差。 此例

10、n=10，經計算得：x=5400，x2=2955000，代入（312）式得： 即10只遼寧絨山羊產絨量的 標準差 為65.828g。828.65110 10/540029550001 /)( 222 n nxxS （二）加權法 對于已制成次數分布表的大樣本資料，可利用次數分布表，采用加權法計算標準差。計算公式為： 式中，f為各組次數；x為各組的組中值；f = n為總次數。 1 /)(1)( 222 f ffxfxf xxfS 【例3.10】 利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數分布表（見表3-4）計算標準差。 將表3-4中的f、fx、 代入（314）式得： 即某 純 系 蛋 雞200枚 蛋 重

11、的標準差為3.5524g。5524.31200 200/1.1070511.5755071 /)( 222 f ffxfxS 2fx 表34 某純系蛋雞200枚蛋重資料次數分布 及標準差計算表 三、標準差的特性 （一）標準差的大小，受資料中每個觀測值的影響，如觀測值間變異大，求得的標準差也大，反之則小。 （二）在計算標準差時，在各觀測值加上或減去一個常數，其數值不變。 （三）當每個觀測值乘以或除以一個常數a，則所得的標準差是原來標準差的a倍或1/a倍。 （四）在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有68.26%的觀測值在平均數左右一倍標準差（ S）范圍內；約有95.43%的觀測值在平均數左右兩倍

12、標準差（ 2S）范圍內；約有99.73%的觀測值在平均數左右三倍標準差（ 3S） 范 圍內。也就是說全距近似地等于6倍標準差，可用（全距/6）來粗略估計標準差。 x xx 變異系數是衡量資料中各觀測值變異 程度的另一個統計量 。 標 準差與平均數的比值稱為 變異系數，記為CV。 變異系數可以消除單位 和 （或）平 均數不同對兩個或多個資料變異程度比較的影響。 變異系數的計算公式為： 【例3.11】 已知某良種豬場長白成年母豬平均體重為 190kg， 標準差為10.5kg，而大約克成年母豬平均體重為196kg，標準差為8.5kg，試問兩個品種的成年母豬，那一個體重變異程度大。 %100 xSVC 由于，長白成年母豬體重的變異系數： 大約克成年母豬體重的變異系數： 所以，長白成年母豬體重的變異程度大于大約克成年母豬。 %53.5%1001905.10 VC %34.4%1001965.8 VC 注意，變異系數的大小，同時受平均數和標準差兩個統計量的影響，因而在利用變異系數表示資料的變異程度時，最好將平均數和標準差也列出。