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1、復 變 函 數（ 第 四 版 ）電 子 教 案中 山 大 學 公 共 衛(wèi) 生 學 院劉 素 芳 鄧 卓 燊 編 寫 2021-5-20復變函數(第四版)第2頁 第 一 章 復 數 與 復 變 函 數 1 復 數 及 其 代 數 運 算1.復 數 的 概 念復 變 函 數 自 變 量 為 復 數 的 函 數 .復 變 函 數 研 究 的 中 心 對 象 : 解 析 函 數 復 變 函 數 論 又 稱 為 解 析 函 數 論 i 虛 數 單 位 i 2 = 1復 數 ： z = x + iy (或 z = x + yi ), x, y 為 實 數實 部 ： x = Re(z) 虛 部 ： y =

2、Im(z)純 虛 數 ： z = iy ( y 0 ) 2021-5-20復變函數(第四版)第3頁2. 復 數 的 代 數 運 算(1) 加 (減 )法 : (2) 乘 法 : 按 多 項 式 法 則 相 乘 iyxiyx z = 0 x = y = 0z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 ,z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2注 意 ： 任 意 兩 個 復 數 不 能 比 較 大 小 .z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 ,共 軛 復 數 ：z1 z2 = ( x1 x2 ) + i ( y1 y2 )z 1 z2 = ( x1+ iy1

3、)( x2+ iy2 ) = ( x1 x2 y1 y2 ) + i( x2 y1+ x1 y2 ) 2021-5-20復變函數(第四版)第4頁 (3) 除 法 : 復 數 的 運 算 滿 足 交 換 律 、 結 合 律 和 分 配 律 . (4) 共 軛 復 數 性 質21zzz 22 11 iyx iyx )( )( 2222 2211 iyxiyx iyxiyx 2222 21122222 2121 yx yxyxiyx yyxx i) ,2121 zzzz ,2121 zzzz ;2121 zzzz ii) ;zziii) ;)Im()Re( 22 zzzz iv) ,)Re(2 zz

4、z .)Im(2 zizz 2021-5-20復變函數(第四版)第5頁 證例 1解 : .2121 zzzz )( 221121 iyxiyxzz )()( 21122121 yxyxiyyxx )( 221121 iyxiyxzz )()( 21122121 yxyxiyyxx P.4 設 z1= 5 5i , z2= 3 + 4i ,求 21zz 與 21zz21zz i5157 21zz i5157 )43 55( 21 iizz 2021-5-20復變函數(第四版)第6頁 例 2解 : 設 ,131 iiiz 求 Re(z), Im(z)與 .zz)1)(1( )1(3 ii iiii

5、 iz )2323( ii i2123,23)Re( z ,21)Im( z 22 2123 zz .25 2021-5-20復變函數(第四版)第7頁 2 復 數 的 幾 何 意 義1. 復 平 面 , 復 數 的 其 它 表 示 法復 數 的 加 減 法 可 用 向 量 的 三 角 形 法 則 和 平行 四 邊 形 法 則 .(1) z = x + iy 點 ( x, y ) ( 幾 何 表 示 法 )直 角 坐 標 平 面 xoy 復 平 面 . 點 與 復 數 對 應 x 實 軸y 虛 軸(2) z = x + iy ( 向 量 表 示 法 ) OP向 量模 | OPz r 22 yx

6、由 此 : ),( yxP xyo r 2021-5-20復變函數(第四版)第8頁 結 論 : 輻 角 : 輻 角 主 值 : ,|zz ,22 zzzz ,zx ,zy ,| yxz 2121 zzzz (兩 邊 之 和 大 于 第 三 邊 )| 2121 zzzz (兩 邊 之 差 小 于 第 三 邊 )zArg ( z 0 ) 無 窮 多 個 , 相 差 2k .xyz )Argtan( zarg0 0kzz 2argArg k = 0, 1, 2, 當 z = 0時 , | z | = 0 , 而 輻 角 不 確 定 . 2021-5-20復變函數(第四版)第9頁 Arg z的 主 值

7、 arg z (z 0)可 由 Arc tan 的 主 值arc tan 來 確 定 :例 : xyxy其 中 2arctan2 xyz = 3 + 3i 42arg z .43 )1arctan(arg( z或 1arctan 4 )43 (圖 示 ) 000arctan 002 0arctanarg 0 0yx yxxy yxxxyz ， 二 象 限二 象 限在 第 一 、 四 象 限 2021-5-20復變函數(第四版)第10頁 (3) 三 角 表 示 法(4) 指 數 表 示 法例 iyxz )sin(cos ir 由 歐 拉 公 式 sincos iei 得 irez求 3sin3c

8、os iz 和 3cosi3sinz 的 輻 角 主 值 .解 : 3sin3cos iz ,)3sin()3cos( i 3arg z3cos3sin iz ,)32sin()32cos( i32arg z 6 2021-5-20復變函數(第四版)第11頁 例 1解 : 1)將 下 列 復 數 化 為 三 角 表 示 式 與 指 數 表 示 式 :1) iz 212 2) 5cos5sin iz ,4412 r )42412(4 iz ).2123(4 i,23cos 21sin .65 (或 122arctan 33arctan 65 z 在 第 三 象 限 ) 三 角 式 : )65si

9、n()65cos(4 iz指 數 式 : iez 654 書 P.7 2021-5-20復變函數(第四版)第12頁 解 : 2)例 2. 見 書 P.8 ( 自 閱 )續(xù) 上 頁 例 1 5cos5sin iz )52sin()52cos( i 103sin103cos i三 角 式 : 103sin103cos iz指 數 式 : iez 103 2021-5-20復變函數(第四版)第13頁 平 面 圖 形 與 復 數 形 式 方 程例 3 通 過 兩 點 z1= x1+iy1與 z2= x2+iy2的 直 線 的 方 程解 法 一 : 由 過 兩 點 (x1, y1), (x2, y2)的

10、 直 線 的 參 數 方 程 )( )( 121 121 yytyy xxtxx得 復 數 形 式 的 參 數 方 程 )( 121 zztzz )( t解 法 二 : 如 圖 , z z1與 z2 z1共 線)( 121 zztzz 即 )( 121 zztzz z2o zz1 2021-5-20復變函數(第四版)第14頁 例 4解 : 1)解 : 2)求 下 列 方 程 所 表 示 的 曲 線 1) | z + i | = 2 ;2) | z 2i | = | z +2 | ; 3) .4)Im( zi幾 何 上 看 | z + i | = | z ( i ) | = 2 :的 距 離 為

11、 2的 點 軌 跡 , 即 中 心 為 ( i ),半 徑 為 2的 圓 . 代 數 推 導 : 設 z = x + iy 則 | x + (y + 1)i | = 2x2 + (y + 1)2 = 4| z 2i | = | z +2 | 到 點 2i 和 2 距 離連 結 2i 和 2 的 線 段 的 垂 直 平 分 線 .與 點 i相 等 的 點 軌 跡 :| x +(y 2)i | = | (x +2) + yi |x 2 +(y 2)2 = (x +2)2 + y2 y = x(見書P10 圖 1.5) 2021-5-20復變函數(第四版)第15頁 解 : 3)問 : 續(xù) 上 頁 例

12、 4 4)Im( zi 4)Im( yixi 1 y = 4 y = 3| z +3 | + | z +1 | = 4 中 z 的 軌 跡 ?到 定 點 z = 3和 z = 1的 距 離 和 為 常 數 橢 圓 .(左 焦 點 ) (右 焦 點 ) 2021-5-20復變函數(第四版)第16頁 2. 復 球 面 任 取 一 與 復 平 面 切 于 原 點 的 球 面 , 原 點 稱 球 面 的 南 極 , 過 原 點且 垂 直 平 面 的 直 線 與 球 面 的 交 點 稱 為 球 面 的 北 極 . 連 接 平 面 上 任 一 點 與 球 面 北 極 的 直 線 段 與 球 面 有 一 個

13、 交 點 , 又 在 平 面 上 引 入 一 個 假 想 點 與 球 面 北 極 對 應 , 構 成 擴 充 復 平 面與 球 面 點 的 一 一 對 應 , 即 復 數 與 球 面 上 的 點 的 一 一 對 應 , 球 面 稱為 復 球 面 . 2021-5-20復變函數(第四版)第17頁 規(guī) 定 :注 :1.在 高 等 數 學 中 , 可 以 分 為 +和 . 而 在 復 變 函 數 中 只 有 唯 一 的 無 窮 遠 點 . (這 樣 才 能 與 復 球 面 一 一 對 應 )2. 引 入 唯 一 無 窮 遠 點 在 理 論 上 有 重 要 意 義 . 可 以 作 為 復 平 面 的

14、唯 一 的 邊 界 點 . 在 擴 充 的 復平 面 上 , 直 線 可 看 成 是 一 個 圓 . | | = +, + = + = = = = = ,0 , 0 .0 ）可 為中（ 無 特 殊 說 明 , 平 面 仍 指 有 限 平 面 . 2021-5-20復變函數(第四版)第18頁 3 復 數 的 乘 冪 與 方 根1. 乘 積 與 商 ,111 ierz 222 ierz )(212121 2121 iii errererzz )(1212 12 ierrzz,|.1 2121 zzzzTh 2121 ArgArg)(Arg zzzz (兩 端 可 能 值 相 等 ,即 集 相 等

15、),| |.2 1212 zzzzTh 1212 ArgArgArg zzzz 2021-5-20復變函數(第四版)第19頁 幾 何 意 義 :特 別 :z1z2 : z1 逆 時 針 旋 轉 一 個 角 度 arg z2 , 并 伸 長 | z1| 到 | z2| 倍 .:12zz z2 順 時 針 旋 轉 一 個 角 度 arg z1 ,并 伸 長 .|11 倍zi z1 對 z1 實 行 一 次 旋 轉 變 換 , 旋 轉 角 .2 2021-5-20復變函數(第四版)第20頁 例 1方 法 一 :已 知 正 三 角 形 的 兩 個 頂 點 為 z1= 1 與z2 = 2 + i , 求

16、 它 的 另 一 個 頂 點 . 解 : 設 z3 = x + yi |zz|zz| |zz|zz| 1232 1231 2)1()2( 2)1( 22 22 yx yx 2 31 2 33yx 2021-5-20復變函數(第四版)第21頁 方 法 二 :類 似 13112 )3(3 zzzzz 得或旋 轉繞 )( 12313 zzezz i )1)(2321( ii i)2321()2321( iz 2 312 333 ，由 )( 12313 zzezz i 可 得iz 2 312 333 續(xù) 上 頁 例 1 (書P14 圖 1.8)Z 3 xy0 Z1 Z2Z3 /3 2021-5-20復

17、變函數(第四版)第22頁 補 例 :證 : 若 | z1| = | z2| = | z3| . 求 證 .arg21arg 1213 23 zzzz zz 三 點 共 圓 )arg()arg(arg 132313 23 zzzzzz zz = 12 argarg zz 2 Z1Z2Z3 2021-5-20復變函數(第四版)第23頁 2. 冪 與 根 棣 莫 弗 (De Moivre)公 式 z 的 n 次 方 根 : )sin(cos ninrz nn ( n為 負 整 數 時 亦 成 立 )r = 1 : nini n sincos)sin(cos nk zw )2sin2cos( nkin

18、krn ( k = 0, 1, 2, , n-1)為 以 原 點 為 中 心 , n r為 半 徑 的 圓 的 內 接 正n 邊 形 的 n 個 頂 點 . 2021-5-20復變函數(第四版)第24頁 特 別 :補 例 1: 1 的 n 次 方 根 也 叫 n 次 單 位 根 .1 的 三 次 方 根 :,10 w ,23211 iw .23212 iw x 11 + x7 + x3 = x2 + x + 1解 : x31 = (x1)(x2 + x + 1), 而 x2 + x + 1 = 0故 x 是 一 個 三 次 單 位 根 . 從 而 x11 = x9 x2 = x2 , x7 =

19、 x , x3 =1 .= 0已 知 x2 + x + 1 = 0 , 求 x11 + x7 + x3 的 值 . 2021-5-20復變函數(第四版)第25頁 補 例 2:證 : 求 證 23 sincos3cos3cos 32 sinsincos33sin 易 知 3)sin(cos3sin3cos ii )sincos3(cos 23 )sinsincos3( 32 i比 較 虛 部 與 實 部 , 即 得 所 證 . 2021-5-20復變函數(第四版)第26頁 補 例 3:解 :但 (1 + z )5 = (1 z )5 驗 證 知 z1 . 故 原 方 程 可 寫 成 : 111

20、5 zz,11 zzw 令 則 w5 = 1 . ,52 ikew k = 0, 1, 2, 3, 4,iew即 .58,56,54,52,0 11 wwz 11 iiee 1sincos 1sincos ii)sin(coscos2 )cossin(sin2 222 222 ii 2tani故 原 方 程 的 根 為 : ,tan2iz .58,56,54,52,0 解 方 程 2021-5-20復變函數(第四版)第27頁 4 區(qū) 域1. 區(qū) 域 的 概 念(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)zo的 鄰 域 : |zzo|的 全 體 點 . (半 徑 為 的 圓 域 )模zo的 去 心

21、 鄰 域 : 0 |zzo| M內 點 : zoG, zo的 某 個 鄰 域 屬 于 G, zo為 G的 內 點開 集 : 集 內 的 每 個 點 都 是 內 點 .連 通 集 : 連 接 G內 任 意 兩 點 的 折 線 也 屬 于 G.區(qū) 域 : 連 通 的 開 集 .邊 界 點 : zo的 任 意 一 個 鄰 域 內 既 有 屬 于 G的 點 又有 不 屬 于 G的 點 . zo為 邊 界 點 。閉 區(qū) 域 : 區(qū) 域 + 邊 界 = G邊 界 可 以 是 曲 線 , 也 可 以 是 孤 立 點 . 2021-5-20復變函數(第四版)第28頁 2. 單 連 通 域 與 多 連 通 域(

22、1) 簡 單 閉 曲 線 :(2) 光 滑 曲 線 :設 z(t) = x(t) + i y(t) (atb)為 復 平 面 上 一 條 連續(xù) 曲 線 , ( x(t), y(t)連 續(xù) )一 條 沒 有 重 點 的 連 續(xù) 曲 線 稱 為 簡 單 曲 線 或 約 當 曲 線 , 如 果 簡 單 曲 線 的 起 點 與 終 點 重 合 , 稱 為 簡 單 閉 曲 線 .簡 單 曲 線 自 身 不 相 交 ( t1 t2 z(t1) z(t2) )稱 為 光 滑 曲 線 . (a t b) ,0)()()()( 22 時連 續(xù) 且與當 tytxtytx由 幾 條 光 滑 曲 線 依 次 連 接

23、而 成 的 曲 線 , 稱 為按 段 光 滑 曲 線 .曲 線 z = z(t) = x(t) + i y(t) 2021-5-20復變函數(第四版)第29頁 (3) 單 連 通 域 :從 幾 何 上 看 :特 征 : 若 屬 于 區(qū) 域 G的 任 何 簡 單 閉 曲 線 C的 內 部 也屬 于 G, 則 稱 G為 單 連 通 域 ; 否 則 稱 為 多 連 通 域 .單 連 通 域 即 是 無 洞 、 無 割 痕 的 域 .屬 于 單 連 通 域 的 任 何 一 條 簡 單 閉 曲 線 , 在 域 內 可 以 經 過 連 續(xù) 變 形 而 縮 成 一 點 . 常 見 曲 線 與 區(qū) 域 : 2

24、021-5-20復變函數(第四版)第30頁 常 見 曲 線 與 區(qū) 域 : 2021-5-20復變函數(第四版)第31頁 1. 定 義 設 G 是 復 平 面 上 的 一 個 點 集 , 如 果 有一 個 確 定 的 法 則 存 在 , 按 照 這 一 法 則 ,對 于 集合 G中 的 每 一 個 復 數 z, 都 有 一 個 或 幾 個 復 數w = u + i v 與 之 對 應 , 那 么 稱 復 變 數 w 是復 變 數 z 的 函 數 (簡 稱 復 變 函 數 ), 記 作w = f (z) 單 值 : 一 個 z 對 應 w 的 一 個 值 .多 值 : 一 個 z 對 應 w 的

25、 兩 個 或 兩 個 以 上 的 值 . 5 復 變 函 數 2021-5-20復變函數(第四版)第32頁 一 個 復 變 函 數 確 定 了 自 變 量 為 x、 y 的兩 個 二 元 實 變 函 數 .例 :z = x + y i , w = f (z) = f (x + i y) = u + i v相 當 于 兩 個 關 系 式 : u = u (x, y), v = v (x, y).z1w 令 z = x + i y , w = u + i v )1 yixw （則 yix 1 22 yx yix 對應兩個二元實變函數即 z1w ,yx xu 22 22 yx yv 2021-5-2

26、0復變函數(第四版)第33頁例 : 涉 及 四 個 變 量 x、 y、 u、 v , 故 不 能 用 一 個 平面 , 也 不 能 用 三 維 空 間 中 的 幾 何 圖 形 表 示 . 反 映 z 平 面 上 的 一 個 點 集 G (定 義 集 合 )到 w平 面 上 一 個 點 集 G* (函 數 值 集 合 )的 一 個 映 射 .x 2 + y21 zw 1 u2 + v21 幾 何 意 義 : 2021-5-20復變函數(第四版)第34頁代 入 法 ： 已 知 ,1111)( 2222 yxyiyxxzf將 其 寫 成 關 于 z = x + i y 的 解 析 式 .,2zzx

27、izzy 2 zzizzizzzzzf 112112)( zz 1補 例 :解 : 常 用 的 方 法 有 三 種 . 2021-5-20復變函數(第四版)第35頁設 零 法 ： 將 式 中 項 湊 成 x iy 的 組 合 )(1)()( 22 iyxyxiyxzf zzzz 1 zz 1設 式 中 y = 0, 得 f (x), 代 回 f (z)最簡單 211)( xxxf xx 1zzzf 1)( 拼 湊 法 ： 2021-5-20復變函數(第四版)第36頁 Gz平 面 G*w平 面z 原 象 w 象 (映 象 ) f映 射w = f (z)今 后 不 再 區(qū) 分 函 數 與 映 射

28、(變 換 ). 若 G 與 G* 的 映 射 是 一 一 對 應 , 則 有逆 映 射 z = (w). 即 w = f (w), z = f (z).2. 映 射 的 概 念 2021-5-20復變函數(第四版)第37頁 (1) w = 關 于 實 軸 的 一 個 對 稱 映 射 (將 z與 w重 疊 )z 象 與 映 象 是 關 于 實 軸 對 稱 的 全 同 圖 形 .例 : 2021-5-20復變函數(第四版)第38頁 (2) w = z2z = x + y i w = u + i v , u = x2 y2 ,v = 2xy.arg w = 2arg z 輻 角 增 大 一 倍 .角

29、 形 域 角 形 域 2021-5-20復變函數(第四版)第39頁 z 平 面 : x2 y2 = c1 , 2xy = c2(以 y = x 和 坐 標 軸 為 漸 近 線 的 等 軸 雙 曲 線 ):2 wzw 兩 族 平 行 直 線 : u = c1 , v = c2 .(圖 示 見 書 P24 圖 1.17 ) 2021-5-20復變函數(第四版)第40頁 1. 函 數 的 極 限(1) 定 義 :(2) 幾 何 意 義w = f (z)在 zo的 去 心 鄰 域 0 |z zo| 0, () 0, 使 0 |z zo| 時 , 有| f (z) A | 0, 0, 當 0 | (x

30、+ i y) (xo + i yo ) | 時 , | (u + i v) (uo + i vo ) | , ，時即 2020 )()(0 yyxx| (u uo ) + i (v vo ) | . ，時 2020 )()(0 yyxx| u uo | , | v vo | 0, 0, 有，時當 2020 )()(0 yyxx ,2| 0 uu 2| 0 vv | f (z) A|= | (u uo ) + i (v vo ) | | u uo | + | v vo | 22 = Azfzz )(lim 0 證 : 充 分 性 . 2021-5-20復變函數(第四版)第44頁 由 此 知 ：

31、復 變 函 數 極 限 的 定 義 ， 形 式 上 與 一 元實 函 數 類 似 ， 實 質 上 卻 相 當 于 二 元 函 數 的 極 限 。（ 導 致 導 數 概 念 的 苛 刻 ）例 : 221lim ziz 求 22 )( yixz xyiyx 222 3)(lim 2221 yxyx 42lim21 xyyxiziz 43lim 221 2)21( i 2021-5-20復變函數(第四版)第45頁 Th2.同 樣 有 基 本 式 :如 果 ,)(lim0 Azfzz .)(lim0 Bzgzz 則BAzgzfzz )()(lim)1 0 ABzgzfzz )()(lim)2 0 )0

32、()( )(lim)3 0 BBAzg zfzz ,lim 0 0 zzzz ）為 常 數ccczz (lim0 2021-5-20復變函數(第四版)第46頁 證 : 證 明 函 數 | )Re()( zzzf 當 z 0 時 的 極 限 不 存 在 .,iyxz 令 22)( yx xzf 則 22)( 0)( 0 lim),(lim yx xyxu kxyxkxyx 220 )1(lim xkxx .11 2k它 隨 k 的 不 同 而 不 同 , .),(lim00 不 存 在yxuyx.)(lim0 不 存 在zfz例 : 2021-5-20復變函數(第四版)第47頁 irez設 co

33、scos)( rrzf則當 z 沿 不 同 射 線 arg z = 趨 于 零 時 , f (z) 趨 于 不 同 的 值 . 如 , 沿 正 實 軸 , f (z) 1 ;沿 正 虛 軸 , f (z) 0 ;.)(lim0 不 存 在zfz另 證 : 2021-5-20復變函數(第四版)第48頁 Th3.Th4. (與 實 函 數 有 類 似 的 結 論 )定 義 : )()(lim 00 zfzfzz f (z)在 z = zo處 連 續(xù) .f (z)在 D內 連 續(xù) f (z)在 D內 處 處 連 續(xù) .f (z) = u + i v 在 zo =xo+ i yo連 續(xù)u(x, y)

34、和 v(x, y)在 ( xo, yo)處 連 續(xù) .連 續(xù) 函 數 的 和 、 差 、 積 、 商 (分 母 不 為 0)及復 合 仍 連 續(xù) .注 : 在 連 續(xù) 點 上 )()(lim 00 zfzfzz 2. 函 數 的 連 續(xù) 性 2021-5-20復變函數(第四版)第49頁解 : 1) 計 算 下 列 極 限 .1,1 22)1 2 zz zzzz .,1)2 12 nzzz n .,)1()3 2 izzz iz )1()1( )1()2(lim1 22lim 121 zz zzz zzzz zz 12lim1 zzz .23補 例 : 2021-5-20復變函數(第四版)第50

35、頁 11111 12 zn zzzzzz nn 1| 1|11)1(lim 12 zzzzzz nn 1|z| 1|z|0rlim|er|lim|z|lim nnninnnn ，時當 1,1| zz .limlim 不 存 在ninnn ez 1,1| 11| 1|11)1(lim 12 zz zzzzzzz nn 不 存 在 或解 : 2) 2021-5-20復變函數(第四版)第51頁 )(lim)1(lim 2 izizz izzz iz iziz )( 1lim izziz .21解 : 3) 2021-5-20復變函數(第四版)第52頁重 點 :難 點 : 復 數 : 定 義 、 表 示 法 及 運 算 .區(qū) 域 : 單 連 通 域 、 多 連 通 域 ; 簡 單 曲 線 .復 球 面 及 無 窮 遠 點 ; 復 變 函 數 : 定 義 、 極 限 、 連 續(xù) .復 數 表 示 法 之 間 的 轉 換 、 區(qū) 域 的 確 定 、復 變 函 數 的 概 念 .復 球 面 概 念 , 復 變 函 數 理 解 為 復 平 面 上兩 個 集 合 間 的 映 射 , 以 及 復 變 函 數 的 極限 與 連 續(xù) 性 .小 結