《向量代數(shù)與空間解析幾何教案(同濟(jì)大學(xué)版高數(shù))》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《向量代數(shù)與空間解析幾何教案(同濟(jì)大學(xué)版高數(shù))（28頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何 第一節(jié)向量及其線性運算 教學(xué)目的：將學(xué)生的思維由平面引導(dǎo)到空間，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)空間解析幾何的 意義和目的。使學(xué)生對（自由）向量有初步了解，為后繼內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。 教學(xué)重點：1.空間直角坐標(biāo)系的概念 2 .空間兩點間的距離公式 3 .向量的概念 4 .向量的運算 教學(xué)難點：1.空間思想的建立 5 .向量平行與垂直的關(guān)系 教學(xué)內(nèi)容： 一、向量的概念 1 .向量：既有大小，又有方向的量。在數(shù)學(xué)上用有向線段來表示向量，其長度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在數(shù)學(xué)上只研究與起點無關(guān)的自由向量（以后簡稱向 量）。 2 .量的表示方法有：a、

2、i、F、OM.等等。 3 .向量相等a b：如果兩個向量大小相等，方向相同，則說（即經(jīng)過平移后能完全 重合的向量）。 4 .量的模：向量的大小，記為 a、pM， 模為1的向量叫單位向量、模為零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5 .量平行a〃b：兩個非零向量如果它們的方向相同或相反。零向量與如何向量都平 行。 6 .負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量，記為 a 二、向量的線性運算 1 .加減法a b c：加法運算規(guī)律：平行四邊形法則（有 ^c^ 時也稱三角形法則），其滿足的運算規(guī)律有交換率和結(jié)合率見圖 7 a 一 4 2. a b c 即 a ( b) c 3.向量

3、與數(shù)的乘法 a :設(shè) 是一個數(shù)，向量a與 的乘積 a規(guī)定為 (1) 0 時，a與 a 同向，| a| |a| (2) 0 時，a 0 (3) 0 時，a與 a 反向，| a| | ||a| 其滿足的運算規(guī)律有：結(jié)合率、分配率。設(shè) a0表示與非零向量a同方向的單位向量，那么 定理1：設(shè)向量aw0,那么，向量b平行于a的充分必要條件是： 存在唯一的實數(shù) 入， 使b= a 例1：在平行四邊形ABCD中，設(shè)AB a , AD b ,試用 a和b表示向量MA、MB、MC和MD ,這里M是平行 四邊形對角線的交點。（見圖7—5） 圖

4、7—4 一 一 一 1 解：a b AC 2AM ,于是 MA -(a b) 1 由于MC MA, 于是MC 1(a b) 一― 一一一 _ 1 又由于 a b BD 2MD,于是MD -(b a) 1 .. 由于MB MD, 于是MB —(b a) 2 1.將數(shù)軸（一維） 三、空間直角坐標(biāo)系 、平面直角坐標(biāo)系（二維）進(jìn)一步推廣建立空間直角坐標(biāo)系（三維） 如圖7—1,其符合右手規(guī)則。即以右手握住 Z軸，當(dāng)右手的四個手指從正向 x軸以一角度 2 轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是 z軸的正向。 2.間直角坐標(biāo)系共有 八個卦限，各軸名稱分別為：x軸、y軸、z軸，坐標(biāo)

5、面分別 為xoy面、yoz面、zox面。坐標(biāo)面以及卦限的劃分如圖 7—2所示。圖7-1右手規(guī)則演示 圖 7一2空間直角坐標(biāo)系圖 圖7—3空間兩點m1M 2的距離圖3.空間點M (X,y,Z)的坐標(biāo)表示方法。 通過坐標(biāo)把空間的點與一個有序數(shù)組一一對應(yīng)起來。 注意：特殊點的表示 a)在原點、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面上的點； b)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、原點對稱點的表示法。 4.空間兩點間的距離。 若 M i(xi,yi,zi)、M 2(X2,y2,Z2)為空間任意兩點， 則M1M2的距離(見圖7—3),利用 直角三角形勾股定理為： d2 1MlM22 M1N 2 NM22 2 2 1 2

6、 M1p |pN |NM2 而 M1Px2 x1 PN| |y2 y1 NM2 z2 z1 所以 d M1M2 7(x2 x1)2 2 y1)2 & 乙)2 特殊地：若兩點分別為 M (x, y,z), o(0,0,0) d oM y/x~~y^~~z2 例1：求證以M[(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形。 證明：M1M 2「 (4 7)2 (3 1)2 (1 2)2 14 2 2 2__2_ M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6 M3M1 2 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6

7、 由于M2M3 M3M1 ,原結(jié)論成立。 例2：設(shè)P在x軸上，它到"(0,”,3)的距離為到點P2(0,1, 1)的距離的兩倍，求點 P的 坐標(biāo)。 解：因為P在x軸上，設(shè)P點坐標(biāo)為(x,0,0) pp1 xp__721 __3^ jx2 11 pp2 xp 1217 斤2 PP| 2PF2| Jx2 11 2 x2 2 x 1 所求點為：(1,0,0) , ( 1,0,0) 四、利用坐標(biāo)系作向量的線性運算 1 .向量在坐標(biāo)系上的分向量與向 量的坐標(biāo) 通過坐標(biāo)法，使平面上或空間的 點與有序數(shù)組之間建立了一一對應(yīng)關(guān) 系，同樣地，為了溝通數(shù)與向量的研 究，需要建立向量

8、與有序數(shù)之間的對 應(yīng)關(guān)系。 設(shè)a = M1M2是以M 1( x1, y1, z1)為起點、M 2 (x2, y2, z2)為終點的向量，i、j、k分 別表示 圖7— 5 沿x, y, z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量，由圖 7 — 5,并應(yīng) 用向量的加法規(guī)則知： M1M2 (x2 x[)i + (y2 y[)j+(Z2 z1)k 或 a = ax i + ayj + azk 上式稱為向量a按基本單位向量的分解式。 有序數(shù)組ax、ay、az與向量a 一一對應(yīng)，向量a在三條坐標(biāo)軸上的投影 ax、ay、az就 叫做向量a的坐標(biāo)，并記為 a = {ax, ay

9、, az} o 上式叫做向量a的坐標(biāo)表示式。 于是，起點為M 1(小，丫1,乙)終點為M2(x2, y2,z2)的向量可以表示為 MlM2 {X2 ”,丫2 mz 4} 特別地，點M(x,y,z)對于原點O的向徑 OM {x,y,z} 注意：向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影有本質(zhì)區(qū)別。 向量a在坐標(biāo)軸上的投影是三個數(shù) ax、ay、az, 向量a在坐標(biāo)軸上的分向量是三個向量 axi、 ayj、 azk. 2 .向量運算的坐標(biāo)表示 設(shè) a {ax,ay,az} , b {bx，by,bz}即 a axi ayj azk, b bxi byj bzk 則

10、(1)加法： a b (a* bx)i (ay by)j 缸 bz)k ? 減法： a b (ax bx)i 。 by)j a bz)k ? 乘數(shù)： a ( ax)i ( ay)j ( az)k ? 或 a b {ax bx，ay by,az bz} a b {ax bx,ay by, az bz} a { ax, ay, az} ? 平行：若aw。時，向量b〃a相當(dāng)于b a,即 {bx,by,bz} {ax,ay,az} 也相當(dāng)于向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例即 壇 當(dāng) b ax ay az 五、向量的模、方向角、投影 設(shè)a {ax,ay,az},可以用它與三個 坐標(biāo)軸的夾角

11、、、 (均大于等于0, 小于等于 )來表示它的方向，稱、、 為非零向量a的方向角，見圖7 — 6,其余弦表示形式cos、cos、cos稱為方向余弦。 1.模 2 ax 2 2 ay az 2.方向余弦 ax M1M2 cos 由性質(zhì)1知ay M1M2 cos az M1M2 cos a cos a cos ,當(dāng) a \：a2 ay a2 a cos 。時，有 cos ax ax cos ay ay cos az az ? 任意向量的方向余弦有性質(zhì): cos2 cos2 cos2 1 ?與非零向量a同方向的單位

12、向量為: a 1 一 一{ax,ay,az} {cos ,cos ,cos } 例：已知兩點Mi(2,2, d2) a a M2(1,3,0),計算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及與 MiM 2同向的單位向量。 解：M1M 2 ={1-2 , 3-2, 0- 42 }={-1 ,1,-72} M1M2 1 1 cos 一 , cos 一 , cos 2 2 2 _ 3 3 3 4 設(shè)a0為與M1M 2同向的單位向量，由于 a0 {cos , cos , cos } 即得 1 1 2 2,2, 2 } 3.向量在軸上的投影 (1)

13、軸上有向線段的值：設(shè)有一軸 u, AB是軸u上的有向線段，如果數(shù) 滿足 ab ,且當(dāng)AB與軸u同向時 是正的，當(dāng)AB與軸u反向時 是負(fù)的，那么數(shù) 叫 做軸u上有向線段 AB的值，記做AB,即 AB。設(shè)e是與u軸同方向的單位向量，則 AB e (2)設(shè)A、B、C是u軸上任意三點，不論三點的相互位置如何， 總有AC AB BC (3)兩向量夾角的概念：設(shè)有兩個非零向量 a和b,任取空間一點 O,作OA a , OB b,規(guī)定不超過 的 AOB稱為向量a和b的夾角，記為 (a,b) (4)空間一點A在軸u上的投影：通過點A作軸u的垂直平面，該平面與軸u的交點A 叫做點A在軸u上的投

14、影。 (5)向量AB在軸u上的投影：設(shè)已知向量 AB的起點A和終點B在軸u上的投影分別 為點A和B ,那么軸u上的有向線段的值 AB叫做向量AB在軸u上的投影，記做 Pr juABo 2.投影定理 性質(zhì)1:向量在軸u上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角 的余弦： Pr ju AB AB cos 性質(zhì)2:兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影的和，即 Prju(a〔 a?) Prja〔 Prja2 性質(zhì)3:向量與數(shù)的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘法。即 Prju( a) Prja 小結(jié)：本節(jié)講述了空間解析幾何的重要性以及向量代數(shù)的初步知識，引導(dǎo)學(xué)

15、生對向量(自 由向量)有清楚的理解，并會進(jìn)行相應(yīng)的加減、乘數(shù)、求單位向量等向量運算，空間直角 坐標(biāo)系(軸、面、卦限)，空間兩點間距離公式。 本節(jié)介紹了向量在軸上的投影與投影定理、 向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)(注意分向量與向量的坐標(biāo)的 區(qū)別)、向量的模與方 向余弦的坐標(biāo)表示式等概念。 作業(yè): 第二節(jié)數(shù)量積向量積 教學(xué)目的：讓學(xué)生搞清楚數(shù)量積與向量積的概念及其應(yīng)用，掌握向量平行、垂 直等重要的結(jié)論，為空間曲面等相關(guān)知識打好基礎(chǔ)。 教學(xué)重點：1.數(shù)量積、向量積的概念及其等價的表示形式 2. 向量平行、垂直的應(yīng)用 教學(xué)難點：1.活學(xué)活用數(shù)量積、向量積的各種形式 3. 向

16、量平行與垂直的相應(yīng)結(jié)論 教學(xué)內(nèi)容： 一、數(shù)量積： a) 定義：a b a b cos ,式中為向量a與b的夾角。 b)物理上：物體在常力F作用下沿直線位移 s,力F所作的功為 W F||s cos 其中為F與s的夾角。 2 c)性質(zhì)：I . a a a n .兩個非零向量a與b垂直a b的充分必要條件為： a b 0 n. a b b a w. (a b) c a c b c V. ( a) c (a c) 為數(shù) d)幾個等價公式： i.坐標(biāo)表示式：設(shè) a {ax,ay,az} , b {bx,by,bz}則 a b axbx ayby azbz n.投影表示式

17、：a b a Pr jab bPr jba in.兩向量夾角可以由cos aYb式求解 a|b e) 例子：已知三點 M(1,1,1)、A(2,2,1)和 B(2,1,2),求 AMB 提示：先求出向量 MA及MA ,應(yīng)用上求夾角的公式。 二、向量積: a）概念：設(shè)向量c是由向量a與b按下列方式定義: c的模c a bsin ,式中為向量a與b的夾角。 c的方向垂直與a與b的平面，指向按右手規(guī)則從 a轉(zhuǎn)向bo ※注意：數(shù)量積得到的是一個數(shù)值，而向量積得到的是向量。 b) 公式：c a b f) 性質(zhì)：I . a a n.兩個非零向

18、量 a與b平行a // b的充分必要條件為： a b 0 (a b) c) d) (a) c 幾個等價公式: I .坐標(biāo)表布式：設(shè) a b (aybz n .行列式表布式: 例子：已知三角形 c) (a c) 以邦色｝ azby)i (azbx ax ay bx by ABC的頂點分別為: 為數(shù) b {bx，by,bz}則 axbz)j (axby aybx)k az bz A(1,2,3)、 B(3,4,5)和 C(2,4,7), 求三角 形ABC的面積。 解：根據(jù)向量積的定義, S ABC 1 —I — —AB AC sin

19、 2 由于 AB ={2,2,2}, AC ={1,2,4} 因此 AB AC 4i 6j 2k S ABC AC 1 . 42 ( 6)2 22 2 小結(jié)：向量的數(shù)量積（結(jié)果是一個數(shù)量）向量的向量積（結(jié)果是一個向量） （注意共線、 共面的條件） 作業(yè)： 第三節(jié)平面及其方程 教學(xué)目的：介紹最簡單也是非常常用的一種曲面一一平面，平面是本書非常重 要的一節(jié)，本節(jié)讓學(xué)生了解平面的各種表示方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)時領(lǐng) 會各種特殊位置平面的表示方法，會求出各種位置上的平面，了解 平面與其法向量之間的關(guān)系。 教學(xué)重點：1.平面方程的求法 2.兩平面的夾角 教學(xué)難點：平

20、面的幾種表示及其應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容： 一、平面的點法式方程 1.平面的法線向量定義： 垂直于一平面的非零向量叫做平面的法線向量。 平面內(nèi)的任一向量均與該平面的法線向量垂 直。 2.平面的點法式方程 已知平面上的一點 M 0 (xo, yo, zo)和它的一 個法線向量n {A,B,C},對平面上的任一點 M (x, y, z),有向量 M 0M n,即 n M0M 0 代入坐標(biāo)式有 A(x xo) B(y yo) C(z Zo) 0 (1) 此即平面的點法式方程 例1:求過三點M1 (2, - 1, 4)、 M2 (—1, 3, —2)和 M3 (。，2, 3)的平

21、面方程。 解：先找出這平面的法向量 n , n M1M2 M1M3 由點法式方程得平面方程為 i j k 3 4 6 14i 9j k 2 3 1 14(x 2) 9( y 1) (z 4) 0 即： 14x 9yz 15 0 二、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程來表示。 平面的一般方程為： Ax By Cz D

22、0 幾個平面圖形特點: 1） D = 0:通過原點的平面。 2） A=0:法線向量垂直于X軸，表示一個平行于 X軸的平面。 同理：B=0或C = 0：分別表示一個平行于 y軸或z軸的平面。 3） A=B = 0：方程為Cz D 0 ,法線向量{0,0, C},方程表不一■個平行于 xoy面的 平面。 同理：AX D 0和BY D 0分別表示平行于 yoz面和xoz面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如: 5x 6y 7z 11 0都表示一個平面，該平 面的法向量為n {5,6, 7} 8垂直，求此平面方程。 例2：設(shè)平面過原點及點（6, 3,2）,

23、且與平面4x y 2z 解：設(shè)平面為Ax By Cz D 0,由平面過原點知D 0 由平面過點（6, 3, 2）知6A 3B 2C 0, n {4, 1,2} 4A B 2C 0 A B -C 3 所求平面方程為2x 2y 3z 0三.兩平面的夾角 定義：兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角。 設(shè)平面 1 ： Ax By C1z D1 0, 2 ： A2x B2y C?z D2 0 cos ni { A1BC1}, n2 { A2,B2,C2}按照兩向量夾角余弦公式有: | A1A2 B12 B1B2 C1c2 | 八 2 A 2 2 c 2 C1

24、 , A2 B2 C2 三、幾個常用的結(jié)論 設(shè)平面1和平面 2的法向量依次為1 {Ai,Bi,Ci}和 n2 {A2,B2。} 1) 兩平面垂直: A1A2 B1 B2 C1C2 0 （法向量垂直） 2) 兩平面平行: C A2 B2 C2 （法向量平行） 3) 平面外一點到平面的距離公式： 設(shè)平面外的一點 P0 （x0, y0, z0） 平面的方程為 Ax By Cz D 0,則點到平面的距離為 d Ax By0 Cz0 D 例3：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系: x 2y z 1 0, y 3z 1 0

25、2x y 0, 4x 2y 2z 2x y 0, 4x 2y 2z 解: (1) cos 0 2 11 3| (1)2 22 (1)2 12 兩平面相交，夾角 1 arccos—— .. 60 n1 {2, 1,1} , n2 4,2, 2} 兩平面平行 M (1,1,0) M (1,1,0) 兩平面平行但不重合。 (3) 兩平面平行 M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 所以兩平面重合小結(jié): 平面的方程三種常用 表示法：點法式方程，一般方程，截距式方程。 兩平面的夾角以及點到平面的距離公式。 作業(yè):

26、 第四節(jié)空間直線及其方程 教學(xué)目的：介紹空間曲線中最常用的直線，與平面同為本章的重點 教學(xué)重點：1.直線方程 2.直線與平面的綜合題 教學(xué)難點：1.直線的幾種表達(dá)式 2.直線與平面的綜合題 教學(xué)內(nèi)容： 一、空間直線的一般方程 空間直線可以看成是兩個平面的交線。故其一般方程為： Aix By Ciz Di 0 A2X B2 y C2Z D2 0 二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程 平行

27、于一條已知直線的非零向量叫做這條直線的方向向量。 已知直線上的一點 Mo（xo, yo，zo）和它的一方向向量s {m,n, p},設(shè)直線上任一點為 M （x, y, z）,那么MoM與s平行，由平行的坐標(biāo)表示式有： x Xo y yo z Zo m n p 此即空間直線的對稱式方程（或稱為點向式方程） 。（寫時參照書上注釋） 如設(shè) x xo y yo z Zo t m n p 就可將對稱式方程變成參數(shù)方程 （t為參數(shù)） x xo mt y yo nt z Zo pt 三種形式可以互換，按具體要求寫相應(yīng)的方程。 例1 :用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線 x y zc

28、1，c 2x y 3z 4 o 解：在直線上任取一點（xo, yo, zo）,取 Xo yo zZo 26 。解得 yo O,Zo 2,即直線上點坐標(biāo)（1,0, 2) 因所求直線與兩平面的法向量都垂直取 ni n2 {4, 1, 3}對稱式方程為: 4t t 2 3t 直線過點A（2, 3,4）,且和y軸垂直 相交，求其方程 解：因為直線和 y軸垂直相交，所以交點為B（0, 3, 0） s BA {2,o,4}, 所求直線方程：x—2 -y- 2 o 3 z 4 3 二兩直線的夾角 4 兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角。 設(shè)兩直線

29、L1和L2的方向向量依次為s1 {mi,n〔，Pi}和 S2 {m>2,n2,P2},兩直線的 夾角可以按兩向量夾角公式來計算 cos ,m1 n1 p1 m〔m2 ng P1P2 2 2 2 m2 n2 P2 兩直線L1和L2垂直: m1 m2 n1 n2 P1 P2 o （充分必要條件） 兩直線L1和L2平行: m1 n1 P1 m2 n2 P2 （充分必要條件） 例3：求過點（3,2,5）且與兩平面 x 4z 3和2x y 5z 1的交線平行的直線方程 解：設(shè)所求直線的方向向量為 {m,n, p},根據(jù)題意知直線的方向向量與兩個平面的法 向量都垂直

30、，所以可以取 s ni n2 { 4, 3, 1}所求直線的方程 三、直線與平面的夾角 當(dāng)直線與平面不垂直時, 直線與它在平面上的投影直線的夾角 (0 二）稱為直線 2 與平面的夾角，當(dāng)直線與平面垂直時，規(guī)定直線與平面的夾角為 設(shè)直線L的方向向量為s {m,n, p},平面的法線向量為n {A,B,C} 直線與平面 的夾角為 那么

31、 Am Bn Cp sin ! ： A 2 2 2 2 2 2 ABC m n p ABC 直線與平面垂直：s//n 相當(dāng)于 一一一 （充分必要條件） m n p 直線與平面平行：s n相當(dāng)于Am Bn Cp 0 （充分必要條件） 平面束方程： x y z 1 0 , 過平面直線 的平面束萬程為 x y z 1 0 （Aix Biy Ciz Di） （A?x B2y C2Z D2） 0 四、雜例： 例1:求與兩平面x —4z=3和2x —y—5z= 1的交線平行且過點 （—3, 2, 5）的直線方程。 解：由于直線的方向向量與兩平面的交線的方向向量平行，

32、故直線的方向向量 s 一定與兩 平面的法線向量垂直，所以 i j k s 1 0 4 （4i 3j k） 2 1 5 因此，所求直線的方程為 x 3 y 2 z 5 4 3 1 例2:求過點（2, 1, 3）且與直線 幺」 U 三垂直相交的直線方程 3 2 1 解：先作一平面過點 （2, 1, 3）且垂直于已知直線（即以已知直線的方向向量為平面的 法線向量），這平面的方程為 3（x 2） 2（ y 1） （z 3） 0 再求已知直線與這平面的交點。將已知直線改成參數(shù)方程形式為 x= -1+31 y=1+2t z=-t ,一、一 一 3 . 一、, 2 13 3

33、并代入上面的平面方程中去，求得 t=,從而求得交點為（2,13,-） 7 7 7 7 以此交點為起點、已知點為終點可以構(gòu)成向量 s即為所求直線的方向向量  s {2 7,1 6 -{2, 1,4} 故所求直線方程為 x 2 y 1 z 3 F ~4~ x y z 1 0 例3:求直線 在平面x x y z 1 0 y z 0上的投影直線的方程 解：應(yīng)用平面束的方法 x y z 1 0 , 設(shè)過直線 的平面束萬程為 x y z 1 0 (x y z 1) (x y z 1) 0 即 (1 )x (1 )y ( 1 )z 1 0 這平面與已知平面

34、x y z 0垂直的條件是 (1 ) 1 (1 )1(1 ) 1 0 解之得 1 代入平面束方程中得投影平面方程為 y — z— 1 = 0 所以投影直線為 y z 1 0 x y z 0 小結(jié)：本節(jié)介紹了空間直線的一般方程，空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程，兩直線的夾 角(注意兩直線的位置關(guān)系)，直線與平面的夾角(注意直線與平面的位置關(guān)系) 作業(yè): 第五節(jié)曲面及其方程 教學(xué)目的：介紹各種常用的曲面，為下學(xué)期學(xué)習(xí)重積分、線面積分打下基礎(chǔ)。 學(xué)生應(yīng)該會寫出常用的曲面方程，并對已知曲面方程能知道所表示 曲面的形狀。 教學(xué)重點：1.球面的方程 2. 旋轉(zhuǎn)曲面的方程 教學(xué)難點：

35、旋轉(zhuǎn)曲面 教學(xué)內(nèi)容： 一、曲面方程的概念 1 .實例：水桶的表面、臺燈的罩子面等，曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡。 2 .曲面方程的定義：如果曲面 S與三元方程 F(x,y,z) 0 (1) 有下述關(guān)系： (1) 曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程(1) (2) 不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程(1) 那么，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面 S就叫做方程(1)的圖形。 3.幾種常見曲面 (1)球面 例1:建立球心在 M 0(x0, y0，Z0)、半徑為R的球面的方程。 解：設(shè)M0(X0,y0,Z0)是球面上的任一點，那么 M0M R 即： (x X0)

36、2 (y y。)2 (z Z0)2 R 或： (X X0)2 (y y0)2 (z Z0)2 R2 特別地：如果球心在原點，那么球面方程為(討論旋轉(zhuǎn)曲面) x2 y2 z2 R2 (2)線段的垂直平分面(平面方程) 例2：設(shè)有點A(1,2,3)和B(2, 1,4),求線段AB的垂直平分面的方程。 解：由題意知道，所求平面為與 A和B等距離的點的軌跡，設(shè) M(x, y,z)是所求平面上 的任一點，由于| MA| |MB | ,那么 ;2 2 2 2 ~2 -2 x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 4 化簡得所求方程 2x 6y 2z 7 0 研究空間曲面有兩個基本問

37、題： (1)已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程。 (2) 已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀。 旋轉(zhuǎn)曲面 定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面， 旋轉(zhuǎn)曲線 和定直線依次叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。 二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程 設(shè)在yoz坐標(biāo)面上有一已知曲線 C,它的方程為 f (y, z) = 0 把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個以 z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面，設(shè) M1(Q y1,z1)為曲線C 上的任一點，那么有 f (yi, zi) =0 ⑵ 當(dāng)曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)時，點 Ml也繞z軸旋轉(zhuǎn)到另一點 M (x,y,z),這時z= zi保持不變， 且點M到z軸的距離

38、d &^卜i 將zi = z, yi Mx2 y2代入(2)式，就有螺旋曲面的方程為 f ( x2 y2,z) 0 旋轉(zhuǎn)曲面圖繞哪個軸旋轉(zhuǎn)，該變量不變，另外的變量將缺的變量補(bǔ)上改成正負(fù)二者的完 全平方根的形式。 常用旋轉(zhuǎn)曲面：錐面(直線繞直線旋轉(zhuǎn)，兩直線的夾角 (0。< <90。))，方程為： 2 2/2 2、 z a (x y ) 其中a cot 三、柱面 1 .定義：平 行于定直線并沿曲線定曲線 C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面。 定曲線C:準(zhǔn)線 動直線L:母線 2 .特征：x, v, Z三個變量中若缺其中之一（例如 y）則表示母線平行于 y軸的柱面。 3:幾個常用

39、的柱面： 2 2 _2 一，一， .， b）圓柱面：x y R （母線平行于z軸） c）拋物柱面：y2 2x （母線平行于z軸） 四、二次曲面 1、定義： 三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面 2、截痕法 用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加 以綜合，從而了解曲面的全貌，這種方法叫做截痕法。 3、幾種特殊的二次曲面 1 .橢球面 方程為 2 2 2 土匕二 1 3 , 2 2 1 a b c 使用截痕法，先求出它與三個坐標(biāo)面的交線: 2 2 2 2 x2 N 1,4 4 1, a ob a。。 2 2 y z 1 .2

40、 2 1,這些交線都是橢圓。 b c x 0 這曲面與平行于坐標(biāo)面的平面的交線：橢球面與平面 z Z1的交線為橢圓 2 x -2 a (工 2 2(c 4) c z Z1 2 —y 1 2 1 . b-(c2 z2) ( |z1 | c),同理與平面 x c x1和y y^的交線也是橢圓。 拋物面 橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化?？芍湫螤钊缬疑蠄D所示。 例：橢圓拋物面方程為 2 2 --y— z （ p與q同號） 2p 2q 其形狀如右圖所示。 旋轉(zhuǎn)拋物面方程為 2 2 土 L z 2p

41、2p （p >0） 雙曲拋物面（鞍形曲面）方程為 2 2 ——z （ p與q同號） 2p 2q 當(dāng)p >0, q >0時，其形狀如圖所示。 2.雙曲面 單葉雙曲面方程為 2 2 2 二 L 二 1 2 2 2 1 a b c 雙葉雙曲面方程為 2 2 2 x y z —— —— 1 2 , 2 2 a b c 各種圖形注意規(guī)律特點，可以寫出其它的方程表達(dá)式。 小結(jié)：曲面方程的概念，旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法，柱面的概念 （母線、準(zhǔn)線）。 作業(yè)：

42、 第六節(jié) 空間曲線及其方程 教學(xué)目的： 介紹空間曲線的各種表示形式。第五、六節(jié)是為重積分、曲面積分 作準(zhǔn)備的，學(xué)生應(yīng)知道各種常用立體的解析表達(dá)式，并簡單描圖， 對投影等應(yīng)在學(xué)習(xí)時特別注意。 教學(xué)重點： 1. 空間曲線的一般表示形式 2. 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 教學(xué)難點： 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 教學(xué)內(nèi)容： 一、空間曲線的一般方程 空間曲線可以看作兩個曲面的交線，故可以將兩個曲面聯(lián)立方程組形式來表示曲線。 F (x, y, z) 0 G(x, y, z) 0 特點： 曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都

43、在曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足 兩個方程。 二、空間曲線的參數(shù)方程 將曲線 C 上的動點的坐標(biāo)表示為參數(shù) t 的函數(shù)： x x(t) y y(t) z z(t) 當(dāng)給定 t t1 時，就得到曲線上的一個點 (x1, y1,z1) ，隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的 全部點。 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 設(shè)空間曲線 C 的一般方程為 F(x,y,z) 0 (3) G(x,y,z) 0 消去其中一個變量(例如 z)得到方程 H (x,y) 0 ( 4 ) 曲線的所有點都在方程( 4)所表示的曲面(柱面)上。 此柱面(垂直于xoy平面)稱為投影柱面，投影柱面與xo

44、y平面的交線叫做空間曲線 在 xoy 面上的投影曲線，簡稱投影，用方程表示為 H(x,y) 0 z 0 同理可以求出空間曲線 C在其它坐標(biāo)面上的投影曲線。 在重積分和曲面積分中，還需要確定立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影，這時要利用投影 柱面和投影曲線。 例1：設(shè)一個立體由上半球面 z J4 x2 y2和錐面z J3(x2 y2)所圍成，見右圖, 求它在xoy面上的投影。 解：半球面與錐面交線為 -.4 x2 y2 ;3(x2 y2) 消去 z并將等式兩邊平方整理得投影曲線為: y2 1 0 即xoy平面上的以原點為圓心、 1為半徑的圓。立體在xoy平面上的投影為圓所圍成的部分: 小結(jié)：1.空間曲線的一般方程、參數(shù)方程: F(x, y,z) 0 G(x,y,z) 0 x x(t) y y(t) z z(t) 2.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 H (x, y) 0 R(y,z) 0 T(x,z) 0 z 0 x 0 y 0 作業(yè):