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1、單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,常微分方程課件,,制作者：閆寶強，傅希林，劉衍勝，范進軍，勞會學，張艷燕,,第一章 初等積方法,第五章 定性與穩(wěn)定性概念,第三章 線性微分方程,第二章 基本定理,第四章 線性微分方程組,第六章 一階偏微方程初步,,第1講　微分方程與解,,,微分方程,,,什么是微分方程？它是怎樣產(chǎn)生的？這是首先要回答的問題.,,,300多年前，由牛頓(Newton,1642-1727)和萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)所創(chuàng)立的微積分學，是人類科學史上劃時代的重大發(fā)現(xiàn)，而微積分的產(chǎn)生和發(fā)展，又與求解

2、微分方程問題密切相關.這是因為，微積分產(chǎn)生的一個重要動因來自于人們探求物質世界運動規(guī)律的需求.一般地，運動規(guī)律很難全靠實驗觀測認識清楚，因為人們不太可能觀察到運動的全過程.然而，運動物體(變量)與它的瞬時變化率(導數(shù))之間，通常在運動過程中按照某種己知定律存在著聯(lián)系，我們容易捕捉到這種聯(lián)系，而這種聯(lián)系，用數(shù)學語言表達出來，其結果往往形成一個微分方程.一旦求出這個方程的解，其運動規(guī)律將一目了然.下面的例子，將會使你看到微分方程是表達自然規(guī)律的一種最為自然的數(shù)學語言.,,,例1 物體下落問題　　設質量為,m,的物體，在時間,t,=0時，在距地面高度為H處以初始速度,v,(0) =,v,0垂直地面

3、下落，求,ss,此物體下落時距離與時間的關系.　　解 如,圖1-1,建立坐標系，設為t時刻物體的位置坐標.于是物體下落的速度為,,加速度為,,,,質量為,m,的物體，在下落的任一時刻所受到的外力有重力,mg,和空氣阻力，當速度不太大時，空氣阻力可取為與速度成正比.于是根據(jù)牛頓第二定律,F = ma,(力=質量×加速度)　　可以列出方程,,,,,,,,(1.1)其中,k,＞ 0為阻尼系數(shù)，,g,是重力加速度.　　(1.1)式就是一個微分方程，這里,t,是自變量，,x,是未知函數(shù)，是未知函數(shù)對,t,導數(shù).現(xiàn)在，我們還不會求解方程(1.1)，但是，如果考慮,k,=0的情形，即自由落體運動，

4、此時方程(1.1)可化為　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?.2）,,將上式對,t,積分兩次得,(1.3),一般說來，,微分方程,就是聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)之間的關系式.如果其中的未知函數(shù)只與一個自變量有關，則稱為,常微分方程,；如果未知函數(shù)是兩個或兩個以上自變量的函數(shù)，并且在方程中出現(xiàn)偏導數(shù)，則稱為,偏微分方程,.本書所介紹的都是常微分方程，有時就簡稱微分方程或方程.,,例如下面的方程都是常微分方程,,,,(1.4),,(1.5),,(1.6),,(1.7),,,在一個常微分方程中，未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)，稱為,方程的階,.這樣，一階常微分方程的一般形式可表為,(

5、1.8),,如果在(1.8)中能將,y,′解出，則得到方程,(1.9),,(1.10),,或,,(1.8)稱為一階隱式方程,(1.9)稱為一階顯式方程，(1.10)稱為微分形式的一階方程.,,,n,階隱式方程,的一般形式為,,（1.11）,n,階顯式方程,的一般形式為　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.12),,,在方程(1.11)中，如果左端函數(shù),F,對未知函數(shù),y,和它的各階導數(shù),y,′,,y,″,…,,y,(,n,)的全體而言是一次的，則稱為線性常微分方程，否則稱它為非線性常微分方程.這樣，一個以,y,為未知函數(shù)，以,x,為自變量的,n,階線性微分方程具有如下形式：,,,顯然，方程

6、(1.4)是一階線性方程；方程(1.5)是一階非線性方程；方程(1.6)是二階線性方程；方程(1.7)是二階非線性方程.,,通解與特解,,,,（1.13）,,,微分方程的解就是滿足方程的函數(shù)，可定義如下.,定義,1.１ 設函數(shù) 在區(qū)間,I,上連續(xù)，且有直到,n,階的導數(shù).如果把 代入方程(1.11)，得到在區(qū)間,I,上關于,x,的恒等式，　　　　　　　　　　 則稱 為方程(1.11)在區(qū)間,I,上的一個解.　　這樣，從定義1.1可以直接驗證：　　1. 函數(shù),y = x^2+C,是方程(1.4)在區(qū)間(-∞，+∞)上的解，其中,C

7、,是任意的常數(shù).　　2. 函數(shù)是方程(1.5)在區(qū)間（-1,+1）上的解，其中,C,是任意常數(shù).又方程(1.5)有兩個明顯的常數(shù)解y =±１，這兩個解不包含在上述解中.,,,2. 函數(shù) 是方程(1.5)在區(qū)間（-1,+1）上的解，其中,C,是任意常數(shù).又方程(1.5)有兩個明顯的常數(shù)解y =±１，這兩個解不包含在上述解中.　　3. 函數(shù) 是方程(1.6)在區(qū)間(-∞，+∞)上的解，其中和是獨立的任意常數(shù). 　　4. 函數(shù) 是方程(１.７)在區(qū)間

8、(-∞，+∞)上的解，其中和是獨立的任意常數(shù).　這里，我們僅驗證3，其余留給讀者完成.事實上，在(-∞，+∞)上有,,事實上，在(-∞，+∞)上有,,,,,所以在（－∞，＋∞）上有,,,,,從而該函數(shù)是方程(1.6)的解.　　從上面的討論中，可以看到一個重要事實，那就是微分方程的解中可以包含任意常數(shù)，其中任意常數(shù)的個數(shù)可以多到與方程的階數(shù)相等，也可以不含任意常數(shù).我們把,n,階常微分方程(1.11)的含有n個獨立的任意常數(shù)C1，C2，…，Cn的解 ，稱為該方程的,通解,，如果方程(1.11)的解不包含任意常數(shù)，則稱它為,特解,.由隱式表出的通解稱為,通積分,，而由隱式表出的特解稱為,特積分

9、,.,,由上面的定義，不難看出，函數(shù),,,和 分別是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函數(shù) 是方程(1.7)的通積分，而函數(shù),y,=±１是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可對通解中的任意常數(shù)以定值確定，這種確定過程，需要下面介紹的,初始值條件,，或簡稱,初值條件,.,,,初值問題,例 1中的函數(shù)(1.3)顯然是方程(1.2)的通解，由于C_1 和C_2是兩個任意常數(shù)，這表明方程(1.2)有無數(shù)個解，解的圖像見下面的圖a和圖b所示.,,,而實際經(jīng)驗表明，一個

10、自由落體運動僅能有一條運動軌跡.產(chǎn)生這種多解性的原因是因為方程(1.2)所表達的是任何一個自由落體，在任意瞬時,t,所滿足的關系式，并未考慮運動的初始狀態(tài)，因此，通過積分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一個自由落體的運動規(guī)律.顯然，在同一初始時刻，從不同的高度或以不同初速度自由下落的物體，應有不同的運動軌跡.為了求解滿足初值條件的解，我們可以把例1中給出的兩個初始值條件，即　　　　初始位置,x,(0),= H,初始速度 　　代入到通解中，推得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　于是，得到滿足上述初值條件的特解為　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　(1.14),,它描

11、述了初始高度為,H,，初始速度為,v,0,的自由落體運動規(guī)律.　　求微分方程滿足初值條件的解的問題稱為,初值問題,. 　　于是我們稱(1.14)是初值問題,,的解.　　對于一個,n,階方程，初值條件的一般提法是,,,,,其中x_0,是自變量的某個取定值，而,是相應的未知函數(shù)及導數(shù)的給定值.方程(1.12)的初值問題常記為,(1.16,,,(1.15),,(1.16),,,初值問題也常稱為,柯西,（,Cauchy,）,問題,.　　對于一階方程，若已求出通解 ，只要把初值條件　　　　　　　　　　　　　　　　　代入通解中，得到方程　　　　　　　　　　　　　　　

12、　　從中解出,C,，設為C_0，代入通解，即得滿足初值條件的解 .　　對于,n,階方程，若已求出通解 后，代入初值條件(1.15)，得到,n,個方程式,,,(1.17),,,如果能從(1.17)式中確定出 ，代回通解，即得所求初值問題的 . 例2 求方程　　　　　　　　　　　　　　的滿足初值條件

13、 的解.　　解 方程通解為　　　　　　　　　　　　　　　　求導數(shù)后得　　　　　　　　　　　　　　將初值條件代入，得到方程組,,解出C_1和C_2得　　　　　　　　　　　　　　　　故所求特解為,,,,,積分曲線,為了便于研究方程解的性質，我們常?？紤]解的圖象.一階方程(1.9)的一個特解的圖象是,xoy,平面上的一條曲線，稱為方程(1.9)的,積分曲線,，而通解的圖象是平面上的一族曲線，稱為,積分曲線族,.例如，方程(1.4)的通解+C是,xoy,平面上的一族拋物曲線.而是過點(0，0)的一條積分曲線.以后，為了敘述簡便，我們對解和積分曲線這兩個名詞一般不加以區(qū)別.對于二階和二階以

14、上的方程，也有積分曲線和積分曲線族的概念，只不過此時積分曲線所在的空間維數(shù)不同，我們將在第4章詳細討論.　　最后，我們要指出，本書中按習慣用,代替,,,,而　　　　　　　　　　　分別代表,本節(jié)要點：,1．常微分程的定義，方程的階，隱式方程，顯式方程，線性方程，非線性方程.　　2．常微分方程解的定義，通解，特解，通積分，特積分.　　3．初值問題及初值問題解的求法.　　4．解的幾何意義，積分曲線.,,,第2講　變量可分離方程,,1．什么是變量可分離方程？,,（1.18）,,或,,（1.19）,,,,1．什么是變量可分離方程？,,,1.2.1 顯式變量可分離方程的解法.,1. 在方程(1.

15、18)中，假設,g(y),是常數(shù)，不妨設,g(y),=1.此時方程(1.18)變?yōu)?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1.20),,,設,f(x),在區(qū)間(,a,b,)上連續(xù)，那么，求方程(1.20)的解就成為求,f(x),的原函數(shù)(不定積分)的問題.于是由積分上限所確定的函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.21) 　　就是方程(1.21)的通解，其中C是一個任意常數(shù)，是一個固定數(shù)，是自變量.,,,2.假設,g(y),不是常數(shù)，仍設,f(x),在區(qū)間,(a,b),上連續(xù)，而,g(y),在,,區(qū)間上連續(xù).　　若 y=y(x)

16、 是方程(1.18)的任意一個解，且滿足y(x_0)=y_0，則由解的定義，有恒等式　　　　　　　　　　　　　(1.22),,,假設,g(y),≠0，于是可用,分離變量法,把方程寫成　　　　　　　　　　 (1.23),,將上式兩端積分，得到恒等式　　　　　　　　　　(1.24),,上面的恒等式表明，當,g(y),≠0時，方程(1.18)的任意一個解必定滿足下面的,隱函數(shù)方程,(1.25),,反之，若,,,是隱函數(shù)方程(1.25)的解，則有恒等式(1.24)成立，由(1.24)的兩邊對x求導數(shù)，就推出(1.23)成立，從而(1.22)成立，,,這就表明了隱函數(shù)方程(1.25)的解

17、,也是微分方程(1.18)的解.,在具體求解方程時，往往把(1.24)寫成不定積分形式,,（1.26）,,由上面的證明可知，當,g(y),≠0時，微分方程(1.18)與隱函數(shù)方程(1.26)是,,同解方程，即若由(1.26)解出，則它是(1.18)的通解，由于(1.26)是通解的,,隱式表達式，所以(1.26)亦稱為方程(1.18)的,通積分,.在求解過程中，,,對于通積分(1.26)應該盡量把它演算到底，即用初等函數(shù)表達出來，,,但是，并不勉強從其中求出解的顯式表達式.如果積分不能用初等函數(shù)表達,,出來，此時我們也認為微分方程(1.18)已經(jīng)解出來了，,,因為從微分方程求解的意義上講，留下的

18、是一個積分問題，而不,,是一個方程問題了.,,3. 若存在,，使,，則易見,是方程(1.18)的一個解，這樣的解稱為,常數(shù)解,.,Y(x)=y_0,,,1.2.2 微分形式變量可分離方程的解法,方程　　　　　　　　　　　　是變量可分離方程的微分形式表達式.這時，,x,和,y,在方程中的地位是“平等”的，即,x,與,y,都可以被認為是自變量或函數(shù).　　在求常數(shù)解時，若 ，則y=y_0為方程(1.19)的解.同樣，若 ，則x=x_2也是方程(1.19)的解.　　當時 ，用它除方程(1.19)兩端，分

19、離變量，得,,上式兩端同時積分，得到方程(1.19)的通積分,,本節(jié)要點：　　1．變量可分離方程的特征．　　2．分離變量法的原理：微分方程（1.18）與分離變量后的積分方程（1.26）當 時是同解方程．　　3．變量可分離方程一定存在常數(shù)解y=y_0, 并且滿足 ．,,,第3講　齊次微分方程,,1．什么是齊次方程？,上一節(jié)，介紹了變量可分離方程的解法.有些方程，它們形式上雖然不是變量可分離方程，但是經(jīng)過變量變換之后，就能化成變量可分離方程，本節(jié)介紹兩類可化為變量可分離的方程.　　如果一階顯式方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1.9）

20、的右端函數(shù)可以改寫為的函數(shù)，那么稱方程(1.9)為一階齊次微分方程.所以它們都是一階齊次方程．因此，一階齊次微分方程可以寫為　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　(1.27),,1.3.1 齊次方程的解法,方程(1.27)的特點是它的右端是一個以為變元的函數(shù)，經(jīng)過如下的變量變換，它能化為變量可分離方程.　　令 　　　　　　　　　　　　　　　　則有　　　　　　　　　　代入方程(1.27)得,（1.28）,,,方程(1.28)是一個 變量可分離方程，當 時，分離變量并積分，得到它的通積分　　　　　　　　　 　　　　　　?。?.29）,,或　　　　　　　　　　　　　　　即,

21、,其中,,以代入，得到原方程(1.27)的通積分,若存在常數(shù)，使 ，則 ，是(1.28)的解，由 ，得,,,是原方程(1.27)的解.,,,在一般情況下，如何判斷方程(1.9)是齊次方程呢? 這相當于考慮，什么樣的二元函數(shù) 能化成形狀為 的函數(shù).下面我們說明零次齊次函數(shù)具有此性質.　　所謂 對于變元,x,和,y,是零次齊次式，是指對于任意 的常數(shù)，有恒等式,,因此，令 ，則有,,,,因此，所謂齊次方程，實際上就是方程

22、(1.9)的右端函數(shù),,,是一個關于變元,x,，,y,的零次齊次式. 　　如果我們把齊次方程稱為第一類可化為變量分離的方程，那么我們下面要介紹第二類這種方程.,,1.3.2 第二類可化為變量可分離的方程,形如　　　　　　　　　　　 　　　　　　(1.30)　　的方程是第二類可化為變量可分離的方程.其中，　　顯然，方程(1.30)的右端函數(shù)，對于,x,，,y,并不是零次齊次函數(shù)，然而函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （1.31）　　則為零次齊次函數(shù).事實上，我們有,,下面我們將通過變量變換把(1.30)中的C1及C2消去，將方程(1.30)的右端函數(shù)化成(1.31)的形

23、式，從而把方程(1.30)化成齊次方程.,,令　　 ( 為待定常數(shù)),,則　　 代入(1.30)得,,,,選取 使得,,,(1.32)　　(1.32)是一個線性非齊次方程組，它的解與系數(shù)行列式有關.　　如果,,則(1.32)有唯一組解，把 取為這組解，于是(1.30)就化成齊次方程,,求出這個方程解，并用變換　　　　　　　　　　　代回，即可得(1.30)的解.上面的作法其實就是解析幾何中的坐標平移.當時，直線

24、　　　　　　　　　　　與直線　　　　　　　　　　　相交于一點，將二式聯(lián)立求得交點( )，再作坐標平移，就把原點移到( ).又由于在坐標平移變換,,,下有 成立，這樣(1.30)就變成齊次方程了.,,如果 ，則(1.32)沒有唯一組解，上述方法不可行，下面我們要說明，此時方程(1.30)也可化為變量可分離方程求解.　　實際上由 ，有　　　　　　　　　　　　 成立.,,,下面僅以 來討論，(以 討論相同).,,，此時,(1.30),為,,令，則得到關于,z,的

25、變量可分離方程,2),中至多有一個為零,.,當 時，由(1.33)必有 ，方程(1.30)成為　　　　　　　　　　　 　　這是一個變量可分離方程.,,,3) 當 且 時，由(1.33)有,,,于是 ，原方程(1.30)成為,,,,,,,令 則 　　代入上面方程，得到一個關于,z,的方程,,,,這也是一個變量可分離方程,,本節(jié)要點：　　1．一階顯式方程

26、 是齊次方程右端函數(shù),,,是一個零次齊次函數(shù)．　　2．齊次方程解法的本質是，方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?.27）通過變量替換化為變量可分離方程求解．　　3．方程（1.30）的解法是齊次方程解法的擴展，把一個不是齊次方程的方程，選通過變量替,,換化成齊次方程，再按齊次方程求解．,,1.4 一階線性微分方程????本節(jié)討論一階線性方程的解法以及某些可以化成線性方程的類型.一階線性微分方程的形式是????????????????????????????????????????????（1.34）,,如果 ，即,,(1.35)

27、稱為一階線性齊次方程.如果 不恒為零，則稱(1.34)為一階線性非齊次方程.,,1.4.1 一階線性非齊次方程的通解????先考慮線性齊次方程(1.35)，注意這里“齊次”的含意與1.3節(jié)中的不同，這里指的是在(1.34)中不含“自由項” ，即 顯然，(1.35)是,,一個變量可分離方程，由1.2節(jié)易知它的通解是,,(1.36)下面使用常數(shù)變易法再求線性非齊次方程(1.34)的解.其想法是：當,C,為常數(shù)時，函數(shù)(1.36)的導數(shù)，恰等于該函數(shù)乘上-,p,(,x,),從而(1.36)為齊次 方程(1.35)的解.現(xiàn)在要求非

28、齊次方程(1.34)的解，則需要該函數(shù)的導數(shù)還 要有一 項等于 . 為此，聯(lián)系到乘積導數(shù)的公式，可將(1.36)中的常數(shù),C,變易為 函數(shù),C,(,x,)，即令,,(1.37),,為方程(1.34)的解，其中,C,(,x,)待定.將(1.37)代入(1.34)，有??????????即 ????積分后得?????????????????????????把上式代入(1.37)，得到(1.34)的通解公式為,,(1.38)在求解具體方程時，不必記憶通解公式，只要按常數(shù)變易法的步驟來求解即可.,,1.4.2 伯努利(Bernoulli)方程????形如,,,(1.44)的方

29、程，稱為伯努利方程.????伯努利方程(1.44)是一種非線性的一階微分方程，但是經(jīng)過適當?shù)淖兞孔儞Q之后，它可以化成一階線性方程.????在(1.44)兩端除以 ，得,,,(1.45)為了化成線性方程，令,,則 代入(1.45)得,,,,這樣，就把(1.44)化成以,z,為未知函數(shù)的線性方程了.,,,本節(jié)要點：????1．線性非齊次方程的解法本質是常數(shù)變易法，這種方法首先由拉格朗日提出，在常微分方程的解法上占有重要地位．????2．由常數(shù)變易法求得的通解表達式（1.38）或特解表達式（1.43）能幫助我們證明解的某些漸近

30、性質．????3．伯努利方程實質上是一個可以通過變量替換化為線性方程的非線性方程．,,1.5 全微分方程及積分因子,,1.5.1 全微分方程????如果微分形式的一階方程,,,的左端恰好是一個二元函數(shù) 的全微分，????即,,,則稱(1.10)是全微分方程或恰當方程，而函數(shù) 稱為微分式(1.46)的原函數(shù).????例如方程?????????????????????????????????????????????(1.47)就是一個全微分方程.因為它的左端恰是二元函數(shù) 的全微分.,,全微分方程如何求解呢? 先看一下方程(1.47),由于它的左端是二元函數(shù)

31、 的全微分，從而方程可寫成,（1．10）,,,若 是(1.47)的解，應有恒等式,,,從而??????????????????? ????????????????????（1.48）,,,由此解出???????????????????這說明，全微分方程(1.47)的任一解包含在表達式(1.48)中. 一般地，有如下定理?定理1.1 假如 是微分(1.46)的一個原函數(shù)，則全微分方程(1.10)的通積分為,,（１.49）其中,C,為任意常數(shù).????證明 先證(1.10)的任一解

32、 均滿足方程(1.49). 因為 為(1.10)的解，故有恒等式,,因為 為(1.10)的原函數(shù)，所以有???????????????????????????從而?????????????????????? 于是 滿足(1.49).,,再證明(1.49)所確定的任意隱函數(shù) 均為(1.10)的解.因為 是由(1.49)所確定的隱函數(shù)，所以存在常數(shù)C，????使?????????????????????????將上式微分并應用

33、 是(1.46)的原函數(shù)的性質，????即有????????????從而 是方程(1.10)的解，定理證畢.,,根據(jù)上述定理，為了求解全微分方程(1.10)，只須求出它的一個原函數(shù) ，就可以得到它的通積分????????????????????????? .????下面介紹兩種求原函數(shù)的方法.,,1.求原函數(shù)的直接觀察法????在某些簡單情形下，可以由觀察方程(1.10)直接 求出它的一個原函數(shù)，從而得到它的通積分.這要求熟記一些常見的二元函數(shù)的全微分公式.,,,2．求原函數(shù)的一般方法.????定理1.2 如果方程(1.10)中的

34、 ， 在矩形區(qū)域,,,,上連續(xù)可微，則方程(1.10)是全微分方程的充要條件是：在,R,上有?????????????????????????????????????????????（1.50）,,,證明 必要性，設(1.10)是全微分方程，則存在原函數(shù) ，使得,所以,,,將以上二式分別對,y,和,x,求偏導數(shù)，得到,,因為,M,，,N,連續(xù)可微，所以,,成立，即(1.50)成立.充分性，設(1.50)在區(qū)域R內成立，現(xiàn)在求一個二元函數(shù) ，使它滿足??????????????????

35、????即,,,由第一個等式，應有,,其中 為,y,的任意可微函數(shù)，為了使 ，再滿足???????????????????? 必須適當選取 ，使?jié)M足,,由,參變量積分,的性質和條件(1.50)，上式即為,,參變量積分的分析性質:????參變量積分 （1）; 是參變量．????若 及在矩形,,上連續(xù)，則參 變量積分（1）定義的函數(shù) 在區(qū)間????上可微，并且,,,,或,,,從而應取?????????????????????????積分后得到???????????

36、?????????因為只要一個 就夠了，故取 .于是，函數(shù)???????????????????????(1.51)就是所求的原函數(shù)，而全微分方程(1.10)的通積分是,,,(1.52)定理1.2 不但給出了判斷方程(1.10)為全微分方程的充要條件，而且給出了當判別式(1.50)成立時，(1.51)式就是(1.10)左端的原函數(shù)，而(1.52)就是(1.10)的通積分.,,1.5.2 積分因子????以上我們給出了全微分方程的求解公式，但是，方程(1.10)未必都是全微分方程，例如，下面這個簡單方程,,(1.54)就不是全微分方程，因為,

37、,如果，將上面這個方程兩端同乘以 ，得到方程,,(1.55),,這是一個全微分方程，因為此時有,,,通常我們稱 為方程(1.54)的積分因子，因為它可使方程(1.54)變成全微分方程(1.55).一般地，我們有下面的定義.????假如存在這樣的連續(xù)可微函數(shù) ，使方程,,,(1.56)成為全微分方程，我們就把 稱為方程(1.10)的一個積分因子.????易于看到，當 時，方程(1.10)與(1.56)是同解的.于是，為了求解(1.10)，只須求解(1.56)就可以了，但是如何求得積分因子 呢?下面就來研究

38、求積分因子 的方法.????方程(1.56)是全微分方程的充要條件為,,展開并整理后，上式化成,,（1．57）,,,一般地說，偏微分方程(1.57)是不易求解的.不過，對于某些特殊情況，(1.57)的求解問題還是比較容易的.下面我們給出兩種特殊的積分因子的求法.???? 1．方程(1.10)存在只與,x,有關的積分因子的充要條件是???????????????????????? 只與x有關，且此時有,,(1.58)????證明 必要性，若方程(1.10)存在只與x有關的積分因子 ，則有 ,這樣(1.57)成為,,,即,,(1.59)因為(1.5

39、9)左端只與,x,有關，所以它的右端也只與,x,有關.,,充分性，如果 只與,x,有關，且 是方程(1.59)的解，,,即?????????????????????????不難驗證， 就是(1.10)的一個積分因子. 證畢.????2．方程(1.10)存在只與,y,有關的積分因子的充要條件是????????????????????????只與,y,有關，且此時有,,,(1.60),,證明 與1．相似證明.,本節(jié)要點:????1．全微分方程的解法本質是求一個全微分的原函數(shù)問題．????2．求原函數(shù)的常用方

40、法????????觀察法，適用于簡單方程．????????公式法，（1.51）式．????3．積分因子的求法要求掌握公式（1.58）和公式（1.60），即會求只與,x,有關或只與,y,有關的積分因子．,,1.6 一階隱式微分方程????前面幾節(jié)介紹的是求解顯式方程,,（1.9）的一些初等積分法.本節(jié)要討論如何求解隱式方程,,（1.8）方程(1.8)也稱為導數(shù)未解出的一階方程.????求解方程(1.8)的問題分兩種情況考慮：????1． 假如能從(1.8)中把 解出，就得到一個或幾個顯式方程,,如果能用初等積分法求出這些顯式方程的解，那么就得到方程(1.8)的解. ????例

41、1 求解方程???????????????????????解 方程左端可以分解因式， 得?????????????????????????從而得到兩個方程????????????????????????? 這兩個方程都可以求積， 得到????????????????????????? 它們都是原方程的解.,,2．如果在(1.8)中不能解出y’時，則可用下面介紹的“參數(shù)法”求解，本節(jié)主要介紹其中兩類可積類型，????類型Ⅰ????????????? ????類型Ⅱ?????????????類型Ⅰ的特點是，方程中不含,y,或,x,；類型Ⅱ的特點是,y,可以解出或,x,可以解出.

42、,,首先，考慮類型Ⅰ中的方程  ???????????????????????????????????????????（1.61）我們已經(jīng)知道，方程(1.61)的一個解 ， 在平面上的圖象是一條曲線，而曲線是可以用參數(shù)表示的，稱為參數(shù)形式解，即是定義在區(qū)間 上的可微函數(shù),,,使得,,,,,,在 上恒成立.????顯然，如果能從方程(1.61)中求出解 ，再把它參數(shù)化，就可以得到(1.61)的參數(shù)形式解，但這是沒有什么意義的.下面介紹的參數(shù)法，是在方程(1.61)中當解不出來時，先把方程(1.61)

43、化成等價的參數(shù)形式，然后根據(jù)某種恒等式，可以求出原方程(1.61)的參數(shù)形式解.這種求解過程就稱為參數(shù)法.具體作法如下：,,(1)方程(1.61)化成參數(shù)形式????從幾何上看， 表示平面 上的曲線，可以把這曲線表示為適當?shù)膮?shù)形式,,（1.62）這里,t,是參數(shù)，當然有????????????????????????（1.63）成立.????(2)求(1.61)的參數(shù)形式解????由于(1.62)和沿著(1.61)的任何一條積分曲線上恒滿足基本關系式??????????????????????????????這樣，把(1.62)代入上式，得

44、????????????????????????????上式兩端積分，得到???????????????????????????于是，得到方程(1.61)的參數(shù)形式通解?????????????????????????????????????????????（1.64）,,不難驗證：將(1.64)代入(1.61)得到(1.63)，這說明(1.64)確實是(1.61)的參數(shù)形式通解.????同理，可以討論類型Ⅰ的方程????????????不難驗證：將(1.64)代入(1.61)得到(1.63)，這說明(1.64)確實是(1.61)的參數(shù)形式通解.????同理，可以討論類型Ⅰ的方程,

45、,(1.65)設其可以表示的參數(shù)形式,,,,,,由于??????????????????????????????????有?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????積分， 得???????????????????????????從而(1.65)的參數(shù)形式通解為,,現(xiàn)在，考慮類型Ⅱ中的方程,,（1.66）從幾何上看，方程(1.66)表示 空間中的曲面，令 ，有

46、，這樣(1.66)的參數(shù)形式是??????????????????????????????????????????????????(1.67）同樣，由基本關系式有??????????????????????????????將(1.67)代入上式，得???????????????????????或 ??????????????????????????????????（1.68）,,這是一個關于自變量為,x,，未知函數(shù)為,p,的方程.如果能求得通解,,代入到(1.67)的第三個方程中，即得(1.66)的通解????????????????????????????如果只能求得(1.6

47、8)的通積分?????????????????????????????則它與(1.67)的第三個方程聯(lián)立，?????????????????????????????為(1.66)的參數(shù)形式解，若能消去參數(shù),p,，可得(1.66)的通解或通積分.????在上述求解過程中，請讀者注意：當從方程(1.68)中解出 時，只 要將其代入(1.67)的第三式，就得到(1.66)的通解了，而不要再將,p,認為 y’，再積分來求,y,．這是為什么呢?因為用參數(shù)法求解方程(1.66)的實質意義在于：當從(1.66)中不能解出 時，通過參數(shù)法，把求解(1.66)化為一

48、個以x為自變量，以 為未知函數(shù),,的方程(1.68)，一旦從(1.68)中解得 ， 那么它當然滿足(1.67)中的第三式，即有 ，而這相當于在(1.66)中先把 解出，又由于方程(1.66)形式的特殊性，使得 成為了原方程(1.66)的通解.????同理，可以考慮類型Ⅱ的方程??????????????????????????????????????????????????(1.69)設其參數(shù)形式為,,,,（1.70）由其本關系式，有,,,,將

49、(1.70)代入上式，得????????????????????????????或（1.71）,,如果能從(1.71)解出通解 ，代入到(1.70)第三式，即得(1.69)的通積分,,如果從(1.71)中解出通積分??????????????????????????????將它與(1.70)第三式聯(lián)立，??????????????????????????????將它與(1.70)第三式聯(lián)立，??????????????????????????????消去,p,，可得(1.69)的通積分,,,,（,隱函數(shù)存在定理及求導公式,)，?隱函數(shù)存在定理及求導公式 

50、????????隱函數(shù)方程 （1） ????設 在點 的某一領域內滿足 ?????① 具有連續(xù)偏導數(shù)； ?????② ； ?????③ ，則方程（1）在 的某領域內????恒能唯一確定一個單值連續(xù)且有連續(xù)導數(shù)的函數(shù) ，?滿足 ，并且?????????????????????????????????（2）????（2）稱為隱函數(shù)求導公

51、式.方程(1.73)稱為克萊洛 (Clairaut)方程.由(1.75)式可知，它的通解恰好是在方程(1.73)中用C取代 y’而成.,,本節(jié)要點：????1．求解隱式方程時，首先考慮用第一種解法，即盡可能化成顯式方程求解，其次再考慮用參數(shù)法求解．????2．理解好參數(shù)解法原理，類型Ⅰ和類型Ⅱ解法的原理是一樣的．例如 方程 參數(shù)解法的原理是：???（1）方程???????????????????? ??????????????????（1.61）與其參數(shù)化方程?????????????????? ????????????????????(1.62)在

52、 平面上等價．???（2）由 解出（1.62）的解．,,(1.64),,(3)（1.64）是（1.61）的參數(shù)形式解，因為????3．類型Ⅱ方程 解法的基本思想是，先通過等價關系解得 ，然后代入原方程，從而得到到原方程的通解．,,,3．類型Ⅱ方程 解法的基本思想是，先通過等價關系解得 y’，然后代入原方程，從而得到到原方程的通解．,,第7講　幾種可降階的高階方程,,幾種可降階的高階方程,本節(jié)要介紹三種高階方程的解法，這些解法的基本思想就是把高階方程通過某些變換降為較低階方程加以求解，所以稱為“降階法”.,,1.

53、7.1? 第一種可降階的高階方程,方程　　　　　 　　　　　　 　 （1.78）　　這種方程的特點是方程中出現(xiàn)的最低階的導數(shù)為 .這時只要令　　　　　　　　　　　　　　 　　(1.78)中就化成　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 （1.79）　　如果(1.79)能求出通解　　　　　　　　　　　　 　　則由對　　　　　　　　　　　　積分 ，就可以求出 y來了.,,第二種可降階的高階方程,方程　　　　　　　　　　　　 　　這類方程的特點是不顯含自變量,x,，這時，總可以利用代換 ，使方程降低

54、一階.以二階方程　　　　　　　　　　　　　 　　為例.令 ，于是有　　　　　　　　　　　 　　代入原方程，就有,,,"這是一個關于未知函數(shù),p,"的一階方程.如果由它可求得　　　　　　　　　　　　　　則有　　　　　　　　　　　　　　　 　　這是一個關于的變量可分離方程，可求得通積分.,,1.7.3? 恰當導數(shù)方程　　假如方程 　　　　　　　　　　 　 　 　　　（ 1.80） 的左端恰為某一函數(shù) 對 x的導數(shù)，即(1.80)可化為,,則(1.80)稱為,恰當導數(shù)方程,.　　這類方程的解法與全微分方程的解

55、法相類似，顯然可降低一階，成為　　　　　　　　　　 　　　　 之后再設法求解這個方程.,,初等積分法小結??? 　　1．5種基本解法? ??????　　分量變量法,,,,,,,,常數(shù)變易法,,,,積分因子法：化為全微分方程,,參? 數(shù)? 法 　　　　降? 階? 法,,,2．初等積分法的歷史地位　　自1676年微分方程的研究工作開始，其后100多年間是初等積分發(fā)展的重要時期．　1841年法國數(shù) （Liouville）指出：絕大多數(shù)常微分方程不能用初等積分求解，例如方程,,,就不能用初等積分求解．這說明初等積分法有相當?shù)木窒扌裕?　　但是，初等積分法至今不失其重要性，一直被認為是常微

56、分方程中非常有用的解題方法之一，也是初學者的基本訓練之一．,,第8講　應用舉例,,一般說來，用常微分方程去解決某些實際問題的過程分以下三個步驟： 　　I．建立方程　對所研究問題，根據(jù)已知定律或公式以及某些等量關系列出微分方程和相應初值條件　　II．求解方程　　III．分析問題　　通過已求得的解的性質，分析實際問題.　　1.8.1? 等角軌線　　我們來求這樣的曲線或曲線族，使得它與某已知曲線族的每一條曲線相交成給定的角度.這樣的曲線稱為己知曲線的,等角軌線,.當所給定的角為直角時，等角軌線就稱為,正交軌線,.等角軌線在其它很多學科(如天文、氣象等)中都有應用.下面就來介紹求等角軌線

57、的方法.　　首先把問題進一步提明確一些． ?? 　　設在,(x, y),平面上，給定一個單參數(shù)曲線族,(C),：,,.求這樣的曲線 ，使得 l與(C’) 中每一條曲線的交角都是定角 (圖1-3).,,,,,圖1-3　　設l 的方程為 .為了求 ，我們先來求出,,所應 滿足的微分方程，也就是要先求得 的關系式.條件告訴我們l與(C’) 的曲線相交成定角 ，于是，可以想見，y_1 和y_1’ 必然應當與 (C’)中的曲線 y=y(x)及其切線的斜率y’ 有一個關系.事實上，當 時，有,,或　　　　　　　　　　　　　　　

58、 　　　　　　　　　　　　(1.81),,當 時，有　　　　　　　　　　　　　　 ?　　　　　　　　　　　　(1.82)　　又因為在交點處， ,于是，如果我們能求得 的關系，即曲線族(C) 所滿足的微分方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.8),,只要把y=y_1 和(1.81)或(1.82)代入(1.8)，就可求得x,y_1.y_1’ 所應滿足的方程了.　　如何求(1.8)呢? 采用分析法.　　設 y=y(x) 為(C’ ) 中任一條曲線，于是存在相應的,C,，使得

59、,,,,因為要求x,y,y’ 的關系，將上式對,x,求導數(shù)，得,,(1.84)　　這樣，將上兩式聯(lián)立，即由? 　　　　　　　　 　　　 　　　?　　(1.85,,消去,C,，就得到 x,y(x),y’(x)所應當滿足的關系,,這個關系稱為曲線族(C’) 的微分方程. 于是，等角軌線( )的微分方程就是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.86)而正交軌線的微分方程為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　???　(1.87)　　為了避免符號的煩瑣，以上兩個方程可以不用 y_1，而仍用y ，只要我們明確它是所求的等角軌線的方程就行了.　　為了求得等角軌線或正

60、交軌線，我們只需求解上述兩個方程即可.,,例1,求直線束y=Cx 的等角軌線和正交軌線.,解,首先求直線族y=Cx 的微分方程.　　將 對求,x,導,得y’=c ，由　　　　　　　　　　　　　　　 　　消去,C,，就得到 y=Cx的微分方程　　　　　　　　　　　　　　　 　　當 時，由(1.86)知道，等角軌線的微分方程為,,或　　　　　　　　　　　　　及　　　　　　　　　　　　　 即　　　　　　　　　　　 　　積分后得到　　　　　　　　　　 　　或　　　　　　　　　　　　 　　如果寫成極坐標形式，不難看出等角軌線為對數(shù)螺線,,,,(圖1-4).,,,,如

61、果 ，由(1.87)可知，正交軌線的微分方程為　　　　　　　　　　　　　即　　　　　　　　　　　　　　　　 　　或　　　　　　　　　　　　 　　故正交軌線為同心圓族 (圖1-5). ??? 　　　　　　　　　 ???　　　　　　　　　　　　　　　圖 1-5,,1.8.2 動力學問題　　前面已經(jīng)說過，動力學的基本定律是牛頓第二定律　　 f=ma,　　這也是用微分方程來解決動力學的基本關系式.它的右端明顯地含有加速度,a，a,是位移對時間的二階導數(shù). 列出微分方程的關鍵就在于找到外力,f,和位移及對時間的導數(shù)——速度的關系. 只要找到這個關

62、系，就可以由f=ma列出微分方程了.　　在求解動力學問題時，要特別注意力學問題中的定解條件，如初值條件等.,例2,物體由高空下落，除受重力作用外，還受到空氣阻力的作用，在速度不太大的情況下(低于音速的4／5)，空氣阻力可看做與速度的平方成正比.試證明在這種情況下，落體存在極限速度v_1 。,,解,設物體質量為 m，空氣阻力系數(shù)為 k，又設在t時刻 物體的下落速度為v ，于是在時刻 物體所受的合外力為? 　　　　　　　　　　　　　 ??(重力 - 空氣阻力)? ? ? 這里，建立的坐標系，使得重力mg方向向下，與運動方向一致，空氣阻力方向向上，與運動方向相反。從而，根據(jù)牛頓第二定律可列出微

63、分方程　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　?。?.88）　　因為是自由落體，所以有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?　v(0)=0　(1.89),解,(1.88)，由(1.89)有　　　　　　　　　　　　　 　　積分得,,或,,解出,v,，得　　　　　　　　　　　　　　　 　　當 時,有　　　　　　　　　　　　　　　 ???　　　　　　　　(1.90)　　據(jù)測定， ,其中 為物體形狀有關常數(shù)， 為介質密度， 為物體在地面上的投影面積. 　　人們正是根據(jù)公式(1.90)，來為跳傘者設計保證

64、安全的降落傘的直徑大小的.在落地速度 與 一定時，可定出,s,來.,,第二章　基本定理,,,,第09講　解的存在性與唯一性定理,,,,2.1 常微分方程的幾何解釋我們在1.1節(jié)已經(jīng)給出了微分方程及其解的定義.本節(jié)將就一階顯式方程,,給出這些定義的幾何解釋.由這些解釋，我們可以從方程(1.9)本身的特性了解到它的任一解所應具有的某些幾何特征.首先，我們要給出“線素場”的概念.設(1.9)的右端函數(shù) f(x,y)在區(qū)域,G,內有定義(圖2-1),即對,G,內任意一點(x,y) ，都存在確定值 .以(x,y)點 為中點，作一單位線段，使其斜率恰為k=f(x,y) ，稱為在(x

65、,y) 的線素.于是在,G,內每一點都有一個線素.我們說，方程(1.9)在區(qū)域,G,上確定了一個線素場.,,圖2-1,（1．9）,,,下面來討論方程(1.9)的解與它確定的線素場的關系.前面，我們已經(jīng)把(1.9)的解 的圖象稱為(1.9)的積分曲線.,定理2.1,曲線,L,為(1.9)的積分曲線的充要條件是：在,L,上任一點，,L,的切線與(1.9)所確定的線素場在該點的線素重合；亦即,L,在每點均與線素場的線素相切.,證明,（略） 　　這個定理表明這樣一個事實：(1.9)的積分曲線在其上每一點都與線素場的線素相切.或者直觀地說成積分曲線是始終“順著”線素場的線素行進的曲線.

66、,,2.2 解的存在唯一性定理 　　本節(jié)利用逐次逼近法，來證明微分方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(2.1) 的初值問題 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(2.2) 的解的存在與唯一性定理. 　　2.2.1 存在性與唯一性定理的敘述,定理2.2,(存在與唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函數(shù) 在閉矩形域 　　　　　　　　　　  上滿足如下條件： 　　(1) 在,R,上連續(xù); 　　(2) 在,R,上關于變量,y,滿足李普希茲(,Lipschitz,)條件，即存在常數(shù),N,，使對于,R,上任何一對點(x,y) 和 有不等式：,,,,則初值問題(2.2)在區(qū)間 上存在唯一解　　　　　　　　　　　　 其中 　　在證明定理之前，我們先對定理的條件與結論作些說明: 　　1. 在實際應用時，李普希茲條件的檢