《同濟(jì)大學(xué)微積分課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《同濟(jì)大學(xué)微積分課件（46頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,,*,預(yù)備知識(shí),1.,集合的概念,在數(shù)學(xué)中，把具有某種特定性質(zhì)的事物組成的總體稱,,否則，記為,,一、集合,如果元素,,在集合,,中，記為,為一個(gè),集合,.,集合中的事物稱為該集合的,元素,.,只有有限個(gè)元素的集合稱為,有限集,，否則稱為,無(wú)限集,.,常用數(shù)集,:,自然數(shù)集,:,整數(shù)集,:,有理數(shù)集,:,復(fù)數(shù)集,:,,,,2.,集合的運(yùn)算,集合的,交,:,集合的,并,:,集合的,差,:,,,,,設(shè) 是兩個(gè)集合，由此定義如下幾個(gè)集合：,,集合的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算率：,交換率,:,結(jié)合率

2、,:,分配率,:,,3.,區(qū)間和鄰域,開區(qū)間,:,閉區(qū)間,:,,,,設(shè),,是實(shí)數(shù)，且,,,,,半開半閉區(qū)間,:,,,,,,,,無(wú)窮區(qū)間,:,注意：無(wú)窮端不能寫成閉的記號(hào),,,,,,設(shè),是實(shí)數(shù)，且 則定義,點(diǎn),,的 鄰域,為集合：,鄰域,：,,,,,,,如果把鄰域的中心去掉，所得到的集合稱為,點(diǎn),,的空,心鄰域,：,,,,1.,映射的概念,,,二、映射,,設(shè),,是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè),法則,使得,而元素,,稱為,,的象，記作,，,即,,對(duì),,中的每個(gè)元素 按此法則在,,中有唯一的元素,與之對(duì)應(yīng)，那么稱,,為,從,,到,,的映射,，記作,,,,,,,,,,,,,

3、例,,設(shè),則,,是,,到 的映射,.,例 設(shè),則,,是,,到 的映射,.,2.,幾類重要映射,一一對(duì)應(yīng),：既單又滿的映射稱為一一對(duì)應(yīng),.,例,,在前面的兩例中，例,2,是一一對(duì)應(yīng)，而例,1,則不是,.,,,,,設(shè),,是,,到 的映射,.,滿射,：若 即,使得,單射,：若,則必有,3.,逆映射與復(fù)合映射,,則,：,,,,逆映射：設(shè),,是,,到 的一一映射，則對(duì),,中任一元素,例,,設(shè),可以確定,,中的唯一元素 滿足 稱此對(duì)應(yīng),關(guān)系為映射,,的,逆映射,，記為,,復(fù)合映射,：設(shè)有映

4、射,其中,稱此映射為由 構(gòu)成的復(fù)合映射，記為,,,,,,,由此可以確定一個(gè)從,,到,,的映射,,,,例：設(shè),則復(fù)合映射 為,1.,概念,,,三、一元函數(shù),,,從數(shù)集 到實(shí)數(shù)集,,的任一映射,,稱為定義在,,上的,稱為 的圖象,.,而數(shù)集,,則稱為函數(shù),一元函數(shù),，通常記為 而,中的集合,的,定義域,.,注：在以后的討論中，更多的是函數(shù)的定義域以默認(rèn)的,例 則定義域?yàn)?,,,例

5、 則定義域?yàn)?方式給出，即定義域?yàn)槭?表達(dá)式有效的一切實(shí)數(shù),.,以下例中函數(shù)的定義域均為實(shí)數(shù)集。,,,,例,3,,符號(hào)函數(shù),,,,,,,例,,取整函數(shù),,1 2 3 4 5,,-,2,-,4,-4 -3 -2 -1,,,4,,3 2 1,,-,1,-,3,,,,,,,,,,2.,函數(shù)的幾種特性,,,有界,,,無(wú)界,,有界性,設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)? 數(shù)集,如果 都有 就

6、稱,,在 上有界,,,否則稱為無(wú)界函數(shù),.,,,,,,,,,,例,,在,上是有界函數(shù)，,在 上無(wú)界,.,域內(nèi)是無(wú)界函數(shù),.,例 試說明函數(shù) 在 的任何空心鄰,解 設(shè) ，取 ，,其中,則,所以 無(wú)界,.,,,,,,,單調(diào)性,設(shè)函數(shù),,的定義域?yàn)? 區(qū)間,如果對(duì)任意的 當(dāng) 時(shí)，總有,則稱函數(shù),,為區(qū)間,,上的單調(diào)增加函

7、數(shù)；,如果,時(shí)，總有,則稱函數(shù),,為區(qū)間,,上的單調(diào)減少函數(shù),.,圖形特征：,,,,單調(diào)增加函數(shù)圖形,單調(diào)減少函數(shù)圖形,,,,奇偶性,設(shè)函數(shù),,的定義域?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，,如果對(duì)任意的,都有,就稱,,,為偶函數(shù)；,如果對(duì)任意的,都有,就稱,,,為奇函數(shù),.,圖形特征：,,偶函數(shù),奇函數(shù),,,,,,,,,使得對(duì)任意的,當(dāng) 總有,通常我們說的周期指的是最小正周期,.,周期函數(shù),設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)? 如果存在數(shù),就稱,,,為周期函數(shù)，,,稱為 的周期,.,例如， 的最小正周期是,

8、,,,,,,,,例：狄利克雷函數(shù),則任何非零有理數(shù)都是其周期，但沒有最小正周期,.,,,,3.,反函數(shù)和復(fù)合函數(shù),,反函數(shù),設(shè)函數(shù),是一一對(duì)應(yīng)， 則其逆映,注：習(xí)慣上用,,表示為自變量，所以函數(shù) 的,射 為 的反函數(shù),.,的反函數(shù) 仍表示為,,,,注：函數(shù),,與它的反函數(shù) 的圖形,關(guān)于 對(duì)稱,.,,,,,復(fù)合函數(shù),復(fù)合函數(shù)本質(zhì)上是復(fù)合映射在函數(shù)上的推廣,.,,當(dāng)復(fù)合映射定義中的幾個(gè)集合均為數(shù)集時(shí)，即

9、得到復(fù)合,函數(shù)的定義,.,4.,基本初等函數(shù),,⑴,冪函數(shù) （,是常數(shù)）,,,,,,,,,⑵,指數(shù)函數(shù),,,,⑶,對(duì)數(shù)函數(shù),,,,⑷,三角函數(shù),①,正弦函數(shù),,,,,,,,,②,余弦函數(shù),,,,,,,,,,③,正切函數(shù),,,,,,,,,,,④,余切函數(shù),,,,,,,,,,,,,,③,正割函數(shù),④,余割函數(shù),,,,,,,,,,,,,⑸,反三角函數(shù),①,反正弦函數(shù),,,②,反余弦函數(shù),,,,③,反正切函數(shù),,,,,③,反余切函數(shù),,5.,初等函數(shù),,由常數(shù)函數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運(yùn)算和,有限次的復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)稱為初等函數(shù),.,,6.,雙曲函數(shù),,最后再簡(jiǎn)單介紹在工程技術(shù)中經(jīng)常用到的一類函數(shù),⑴,雙曲正弦函數(shù),⑵,雙曲余弦函數(shù),——,雙曲函數(shù),.,,