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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,1,.(,第一章,),單調(diào)增加,(,或減少,),函數(shù)的幾何解釋,:,對(duì)應(yīng)曲線是上升或下降的,.,3.3,函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性,單調(diào)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一,也是本章主要,內(nèi)容,.,它既決定著函數(shù)遞增和遞減的狀況,又有助,于我們研究函數(shù)的極值、證明某些不等式、分析描,繪函數(shù)的圖形等,.,一,.,函數(shù)的單調(diào)性,1,y,=(,x,),o,x,x,y,y,o,y,=(,x,),用定義來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性有比較法、比值法,.,但繁,!,下面討論如何用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性,.,2,o,x,x,o,y,y,從上圖可看

2、出,:,當(dāng)曲線為上升,(,或下降,),時(shí),其上各點(diǎn)切,線與,x,軸正向夾角為銳角,(,或鈍角,),則其切線斜率,tan,是非負(fù),(,或非正,),的,.,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知函數(shù),(,x,),單調(diào)增加,(,或減少,),時(shí),總有,可見函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有關(guān),.,3,定理,1,.(,函數(shù)單調(diào)性的判定方法,),設(shè),y=(x),在區(qū)間,a,b,上連續(xù),在區(qū)間,(a,b),內(nèi)可導(dǎo),.,有,即函數(shù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間保號(hào)從而此函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)一定單調(diào),.,4,例,1,注,1.,研究函數(shù)的單調(diào)性,就是判斷它在哪些區(qū)間內(nèi)遞增,哪些區(qū)間內(nèi)遞減,.,由定理,1,對(duì)可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,可根據(jù),導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況予以確定,.,2.

3、,定理,1,的結(jié)論對(duì)無(wú)窮區(qū)間也成立,.,5,o,x,y,3.,如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)僅在個(gè)別點(diǎn)處為,0,而在其余的點(diǎn)處均滿足定理,1,則定理,1,仍成立,.,如,4.,此定理可完善為充要條件,.,即若,(,x,),在,(,a,b,),內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)增加,(,或減少,),則,(,x,),在,(,a,b,),內(nèi)必有,5.,有些函數(shù)在它的定義區(qū)間上不是單調(diào)的,.,如,但它在部分區(qū)間上單調(diào),那么怎么來(lái)求它的單調(diào)區(qū)間呢,?,o,x,y,6,o,x,y,y=|x|,的點(diǎn),(,單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn),),來(lái)劃分函數(shù)的定義區(qū)間,就能保,證函數(shù)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào),從而可得單調(diào),區(qū)間及函數(shù)的單調(diào)性,.,6.,函數(shù),y=|

4、x|,x=0,為其連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn),.,但它在部分,區(qū)間上單調(diào),那么又怎么來(lái)求它的單調(diào)區(qū)間呢,?,結(jié)論,:,如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù),那么只要用方程,7,確定某個(gè)函數(shù),y=,(,x,),的單調(diào)性的一般步驟是,:,(1),確定函數(shù)定義域,;,(2),求出 的點(diǎn),以這些點(diǎn)為分界,點(diǎn)劃分定義域?yàn)槎鄠€(gè)子區(qū)間,;,(3),確定,在各子區(qū)間內(nèi)的符號(hào),從而定出,(x),在各,子區(qū)間的單調(diào)性,.,8,例,2,求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間,.,x,1,(1,2),2,+,+,(,x,),列表討論如下,:,解 定義域?yàn)?故,是,(,x,),的遞增區(qū)間,.1,2,是遞減區(qū)間,.(,端點(diǎn)

5、可包括也可不包括,),9,例,3,討論函數(shù) 的單調(diào)性,.,解 定義域?yàn)?x,0,+,+,(x),故在 內(nèi),(x),是遞增的,.,在 內(nèi)遞減,.,列表討論如下,:,10,例,4,證明不等式,二,.,函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,下面利用函數(shù)的單調(diào)性,來(lái)證明不等式和判斷方程,的根的存在性及其個(gè)數(shù),.,1.,證明不等式,:,關(guān)鍵是根據(jù)所證不等式及所給區(qū)間構(gòu)造輔助函數(shù),并討論它在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,.,11,2.,討論方程根的問(wèn)題,:,若,y =,(,x,),單調(diào)且變號(hào),則方程,(x)=,0,一定有根,而函數(shù)曲線與,x,軸的交點(diǎn),就是方程的根,.,12,例,5,證明方程,(1),有且僅有一個(gè)正根,.,(2),內(nèi)有

6、兩個(gè)實(shí)根,.,證,(1),13,定義,1,設(shè)函數(shù),y=,(,x,),在區(qū)間,(,a,b,),內(nèi)可導(dǎo),.,若,該函數(shù)曲線在,(,a,b,),內(nèi)總是位于其上任意一點(diǎn),的切線上方,則稱該曲線在,(,a,b,),內(nèi)是凹的,;,區(qū)間,(,a,b,),為該曲線的凹區(qū)間,.,o,x,y,y,=(,x,),三,.,曲線的,凹凸性,14,若該函數(shù)曲線在,(a,b),內(nèi)總是位于其上任意一點(diǎn)的切線下方,則稱該曲線在,(a,b),內(nèi)是凸的,;,區(qū)間,(,a,b),為該曲線的,凸,區(qū)間,.,人們常將曲線所具有的凹或,凸,的性質(zhì)稱為曲線,的凹,凸,性,.,定義,1,的等價(jià)定義為,o,x,y,y,=(,x,),定義,若曲線

7、,y,=,(,x,),在區(qū)間,(,a,b,),內(nèi)連續(xù),則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是,凸,(,凹,),的,.,15,o,x,y,A,B,o,x,y,A,B,顯然用定義來(lái)判別曲線的凹,凸,性是極不方,便的,.,由定義,1,知,凸,曲線從點(diǎn),A,移到點(diǎn),B,時(shí),對(duì)應(yīng)的切線斜率 單調(diào)減少的,.,A,A,B,B,而凹曲線從點(diǎn),A,移到點(diǎn),B,時(shí),對(duì)應(yīng)的切線斜率,單調(diào)增加的,.,從而當(dāng) 存在時(shí),則可用,二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判別曲線的凹,凸,性,.,y,=,(,x,),y,=,(,x,),16,定理,2,設(shè)函數(shù),y=(x),在區(qū)間,(a,b),內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),則,+,四,.,曲線的拐點(diǎn)的定義,定義,2,設(shè)函數(shù),y=(x

8、),在區(qū)間,(a,b),內(nèi)連續(xù),則曲線,y=(x),在該區(qū)間內(nèi)凹,(,從,A,到,C,),與凸,(,從,C,到,B,),部分的分界點(diǎn),C,(c,(c),稱為曲線的拐點(diǎn),.,17,o,x,y,y=,(x),a,A,B,b,c,C,注,1:,拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn),從而拐點(diǎn)的坐標(biāo)需用橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)表示,不能僅用橫坐標(biāo)表示,.,這與駐點(diǎn)及極值,點(diǎn)的表示方法不一樣,.,例,6,判斷曲線 的凹性,并求其拐點(diǎn),.,o,x,y,18,注,2:,由拐點(diǎn)的定義知,要討論曲線的凹凸性須先尋找它的拐點(diǎn),.,那么拐點(diǎn)在哪些點(diǎn)之中去尋找呢,?,o,x,y,定理,3,(,拐點(diǎn)的必要條件,),若函數(shù),y=(x),在 處的二階

9、導(dǎo)數(shù),存在,且點(diǎn) 為曲線,y=(x),的拐點(diǎn),則,19,注,3:,所確定的點(diǎn) 不一定是拐點(diǎn),.,如 即,即這些點(diǎn)只是可能的拐點(diǎn),是否真為拐點(diǎn)呢,?,是點(diǎn)為,拐點(diǎn)的必要條件而非充分條件,.,定理,4.,若函數(shù),y=(x),在 處 且在 兩,側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)變號(hào),則點(diǎn) 為曲線,y=(x),的,拐點(diǎn),.,在 兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)保號(hào),則點(diǎn) 不,為曲線,y=(x),的拐點(diǎn),.,20,注,4:,有兩種特殊情形要注意,:,(1),(x),在 處一階導(dǎo)數(shù)存在而二階導(dǎo)數(shù)不存在,.,如果在點(diǎn) 左右鄰近二階導(dǎo)數(shù)存在且符號(hào)相反,則 為拐點(diǎn),;,若符號(hào)相同,則不是拐點(diǎn),.,(2),(,x,),在,處連續(xù),而一、二階導(dǎo)數(shù)都不存在,.,如果在,點(diǎn) 左右鄰近二階導(dǎo)數(shù)存在且符號(hào)相反,則,為拐,點(diǎn),;,若符號(hào)相同,則不是拐點(diǎn),.,21,例,7,判斷曲線 的凹性,并求其拐點(diǎn),.,x,0,(0,),+,不存在,0,+,y,拐點(diǎn),(0,0),拐點(diǎn),22,結(jié)論,:,曲線在 內(nèi)是凹的,;,曲線在,內(nèi)是凸的,;,拐點(diǎn)為,(0,0),和,23,