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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,2019/2/2,#,1.,異面直線所成角,l,m,l,m,若兩直線 所成的角為,則,復(fù)習(xí)引入,1.,兩條異面直線所成的角,(1),定義,:,設(shè),a,b,是兩條異面直線,過空間任一點,O,作直線,a a,b b,則,a,b,所夾的銳角或直角叫,a,與,b,所成的角,.,(2),范圍,:,(3),向量求法,:,設(shè)直線,a,、,b,的方向向量為,其夾角,為,則有,(4),注意,:,兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角求得,當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時,應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角,.,空間三種角的

2、向量求解方法,例,2,解：以點,C,為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè) 則：,所以：,所以 與 所成角的余弦值為,題后感悟,如何用坐標(biāo)法求異面直線所成的角？,(1),建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；,(2),找到兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)形式；,(3),利用向量的夾角公式計算兩直線的方向向量的夾角；,(4),結(jié)合異面直線所成角的范圍得到異面直線所成的角,方向向量法 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖（,2,），設(shè)二面角 的大小為,其中,AB,D,C,L,B,A,2,、二面角,注意法向量的方向：同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補角；一進(jìn)一出

3、，二面角等于法向量夾角,L,將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的法向量的夾角。如圖，向量 ，,則二面角 的大小 ,2,、二面角,若二面角 的大小為,則,法向量法,B,D,C,A,3.,二面角,(1),范圍,:,(2),二面角的向量求法,:,若,AB,、,CD,分別是二面角 的兩個面內(nèi)與棱,l,垂直的異面直線,則二面角的大小就是向量 與 的夾角,(,如圖,(1),設(shè) 是二面角 的兩個面 的法向量,則向量 與 的夾角,(,或其補角,),就是二面角的平面角的大小,(,如圖,(2),(1),(2),例,2,正三棱柱 中，,D,是,AC,的中點，當(dāng) 時，求二面角,的余弦值。,C,A,D,B,C,1,B,1,A

4、,1,以,C,為原點建立空間直角坐標(biāo)系,C-xyz,在坐標(biāo)平面,yoz,中,設(shè)面 的一個法向量為,同法一，可求,B(0,1,0),可取 ,(1,0,0),為面 的法向量,y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,由 得,解得,所以，可取,二面角 的大小等于,cos =,即二面角 的余弦值為,方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角,設(shè)平面,如圖所示，正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的所有棱長都為,2,，,D,為,CC,1,的中點，求二面角,A,A,1,D,B,的余弦值,策略點睛,題后感悟,如何利用法向量求二面角的大??？,(1),建立適當(dāng)?shù)目臻g直角

5、坐標(biāo)系；,(2),分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量；,(3),求出兩個法向量的夾角；,(4),判斷出所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；,(5),確定出二面角的平面角的大小,A,B,n,3.,線面角,設(shè),n,為平面 的法向量，直線,AB,與平面 所成的角為 ，向量 與,n,所成的角為 ，,則,n,而利用 可求 ，,從而再求出,3.,線面角,l,設(shè)直線,l,的方向向量為 ，平面 的法向量為 ，且直線 與平面 所成的角為,(),則,2.,直線與平面所成的角,(1),定義,:,直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角,.,(2),范圍,:,(3),向量求法,:,設(shè)直線,l,的方向向量為,平面的法,

6、向量為,直線與平面所成的角為,與 的,夾角為,則有,N,解：如圖建立坐標(biāo)系,A-xyz,則,即,在長方體 中，,例,1,：,N,又,在長方體 中，,例,1,：,例,2,、如圖，在四棱錐,S-ABCD,中，底面,ABCD,為平行四邊形，側(cè)面,SBC,底面,ABCD,。已知,AB=2,，,BC=,，,SA=SB=.,(1),求證,(2),求直線,SD,與平面,SAB,所成角的正弦值。,S,A,B,C,D,O,x,y,z,【,典例剖析,】,例,3,如圖,在四棱錐,PABCD,中，底面,ABCD,為矩形，側(cè)棱,PA,底面,ABCD,，,PA=AB=1,AD=,，在線段,BC,上是否存在一點,E,使,P

7、A,與平面,PDE,所成角的大小為,45,0,?,若存在，確定點,E,的位置；若不存在說明理由。,【,典例剖析,】,D,B,A,C,E,P,x,z,y,解：以,A,為原點，,AD,、,AB,、,AP,所在的直線分別為,X,軸、,Y,軸、,Z,軸，建立空間直角坐標(biāo)系，,設(shè),BE=m,，則,2,、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是,a=,（,1,，,0,，,1,），,b=,（,0,，,1,，,1,），那么這條斜線與平面所成的角是,_.,3,、已知兩平面的法向量分別,m=(0,1,0),n=(0,1,1),，則兩平面所成的鈍二面角為,_.,基礎(chǔ)訓(xùn)練,:,1,、已知,=(2,2,

8、1),=(4,5,3),則平面,ABC,的一個法向量是,_.,60,0,135,0,【,鞏固練習(xí),】,1,三棱錐,P-,ABC PAABC,PA=AB=AC,E,為,PC,中點,則,PA,與,BE,所成角的余弦值為,_.,2,直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,A,1,A=2,AB=AC=1,則,AC,1,與截面,BB,1,CC,1,所成,角的余弦值為,_.,3,正方體,中,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,為,A,1,D,1,的,中點,則二面角,E-BC-A,的大小是,_,用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。,（,1,）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；,（,2,）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；,（,3,）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。,（化為向量問題）,（進(jìn)行向量運算）,（回到圖形問題）,小結(jié)：,小結(jié)：,1.,異面直線所成角,學(xué),.,科,.,網(wǎng),：,2.,直線與平面所成角：,3.,二面角：,關(guān)鍵：觀察二面角的范圍,