《河海大學幾何與代數51向量的內積長度和施密特正交化》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《河海大學幾何與代數51向量的內積長度和施密特正交化（19頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、定義定義1 1維向量維向量設有設有n,2121 nnyyyxxx nnyxyxyx 2211),( 令令一、內積的定義及性質一、內積的定義及性質.),(的內積的內積與與稱為向量稱為向量 說明說明1 維向量的內積是維向量的內積是3維向量數量積維向量數量積的推廣，但是沒有的推廣，但是沒有3維向量直觀的幾何意義維向量直觀的幾何意義 4 nn.),( :, 2 T為為內積可用矩陣記號表示內積可用矩陣記號表示向量向量都是列都是列如果如果內積是向量的一種運算內積是向量的一種運算內積的運算性質內積的運算性質 :,為實數為實數維向量維向量為為其中其中 n);,(),()1( );,(),()2( );,(),

2、(),()3( . 0),(0, 0),()4( 時有時有且當且當定義定義2 2 非負性非負性. 1齊次性齊次性. 2三角不等式三角不等式. 3 . 范范數數或或長長度度的的維維向向量量為為稱稱 n向量的長度具有下述性質：向量的長度具有下述性質：; 0,0; 0,0 時時當當時時當當; . 二、向量的長度及性質二、向量的長度及性質;),(22221nxxx 正交的概念正交的概念 正交向量組的概念正交向量組的概念. ,0),( 與與稱向量稱向量時時當當 正交正交. , 0 ,與任何向量都正交與任何向量都正交則則若若由定義知由定義知 若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向若一非零向量組中的向量兩

3、兩正交，則稱該向量組為正交向量組量組為正交向量組三、正交向量組的概念及求法三、正交向量組的概念及求法, 0021111 T由由.01 從而有從而有. 02 r 同理可得同理可得.,21線性無關線性無關故故r 使使設有設有r ,21證明證明02211 r 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1aT0111 T 正交向量組的性質正交向量組的性質線性無關.線性無關., , , ,則則非零向量,非零向量,是一組兩兩正交的是一組兩兩正交的, , , ,維向量維向量若若定理定理rrn 2121 14 4 標準正交基標準正交基. ,)( , 3212121 的的一一個個標標準準正正交交基基是是則則稱稱向向量量

4、兩兩兩兩正正交交且且都都是是單單位位如如果果的的一一個個基基是是向向量量空空間間維維向向量量設設定定義義VeeeeeeRVVeeenrrnr .212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如.212100,212100,002121,0021214321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1),(. 4 , 3 , 2 , 1, 0),(jijieejijieejiji且且且且由于由于.,44321的的一一個個標標準準正正交交基基為為所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一個標準正交基的一個標準正交

5、基也為也為R（1）正交化正交化，取，取 ，11ab ,),(),(1112122bbbabab ,21的一個基的一個基為向量空間為向量空間若若Vaaar5 5施密特正交化的方法施密特正交化的方法正正交交化化稱稱為為把把這這樣樣一一個個問問題題等等價價與與使使的的單單位位向向量量就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩正正交交的的一一個個標標準準正正交交基基要要求求的的一一個個基基是是向向量量空空間間rrrrreeeeeeVV , , , , ,2121212121111122221111),(),(),(),(),(),( rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等價等價與與且且

6、兩兩正交兩兩正交那么那么rrraabbbb（2）單位化單位化，取，取,222111rrrbbebbebbe .,21的的一一個個標標準準正正交交基基為為那那么么Veeer222321113133),(),(),(),(bbbabbbbabab 例例 用施密特正交化方法，將向量組用施密特正交化方法，將向量組)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交標準化正交標準化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab1112122),(),(bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1

7、 3 , 1, 2, 0 取取.,11 稱稱為為的的過過程程向向量量組組構構造造出出正正交交上上述述由由線線性性無無關關向向量量組組rrbbaa施密特正交化過程施密特正交化過程222321113133),(),(),(),(bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再單位化單位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得規(guī)范正交向量組如下得規(guī)范正交向量組如下 21,21,21,211 , 1 , 1 ,

8、 121111bbe證明證明EAAT E 定義定義4 4 . , 1正交矩陣正交矩陣為為稱稱則則即即滿足滿足階方陣階方陣若若AAAEAAAnTT 定理定理 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212222111211212221212111四、正交矩陣四、正交矩陣 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 的列向量都的列向量都是單位向量且兩兩正交是單位向量且兩兩正交AA EnTnTT ,2121EnTnTnTnnTTTTTT 2122212n12111 njijijiijjTi, 2 , 1, 0;, 1 當當當當 例例3 3 判別下列矩陣是否為正交陣判別下列矩陣是

9、否為正交陣 ,1213121121312111 .9794949491989498912 解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩陣所以它不是正交矩陣考察矩陣的第一列和第二列，考察矩陣的第一列和第二列，由于由于 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩陣所以它是正交矩陣 100010001由于由于 97949494919894989121 1將一組基標準正交化的方法：將一組基標準正交化的方法： 先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將其單位化其單位化 ;11TAA ;2EAAT ;3單位向量單位向量的列向量是兩兩正交的的列向量是兩兩正交的A .4單位向量單位向量的行向量是兩兩正交的的行向量是兩兩正交的A五、小結五、小結2 2 為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：A