第2節(jié) 綜合法與分析法創(chuàng)新應(yīng)用 [核心必知] 1．綜合法 一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法，又叫順推證法或由因?qū)Чǎ? 2．分析法 證明命題時(shí)，我們還常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法． [問(wèn)題思考] 1．如何理解分析法尋找的是充分條件？ 提示：用分析法證題時(shí)，語(yǔ)氣總是假定的，常用“欲證A只需證B”表示，說(shuō)明只要B成立，就一定有A成立，所以B必須是A的充分條件才行，當(dāng)然B是A的充要條件也可． 2．用綜合法和分析法證明不等式有怎樣的邏輯關(guān)系？ 提示：綜合法：A?B1?B2?…?Bn?B(逐步推演不等式成立的必要條件)， 即由條件出發(fā)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立． 分析法：B?B1?B2?…?Bn?A(步步尋求不等式成立的充分條件)， 總之，綜合法與分析法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法． 　　　已知a，b，c∈R＋，且互不相等，又abc＝1. 求證：＋＋<＋＋. [精講詳析]　本題考查用綜合法證明不等式，解答本題可從左到右證明，也可從右到左證明．由左端到右端，應(yīng)注意左、右兩端的差異，這種差異正是我們思考的方向．左端含有根號(hào)，脫去根號(hào)可通過(guò)＝<實(shí)現(xiàn)；也可以由右到左證明，按上述思路逆向證明即可． 法一：∵a，b，c是不等正數(shù)，且abc＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＜＋＋＝＋＋. 法二：∵a，b，c是不等正數(shù)，且abc＝1， ∴＋＋＝bc＋ca＋ab ＝＋＋＞ ＋＋ ＝＋＋ (1)用綜合法證明不等式時(shí)，主要利用基本不等式，函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)等知識(shí)，在嚴(yán)密的演繹推理下推導(dǎo)出結(jié)論． (2)綜合法證明不等式中所依賴的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下幾個(gè)：①a2≥0(a∈R②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其變形有：a2＋b2≥2ab， ≥ab.a2＋b2≥(a＋b)2.③若a，b為正實(shí)數(shù)，≥.特別＋≥2.④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 1．已知x，y，z均為正數(shù)．求證：＋＋≥＋＋. 證明：因?yàn)閤，y，z均為正數(shù)． 所以＋＝(＋)≥， 同理可得＋≥，＋≥， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)， 以上三式等號(hào)都成立． 將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2， 得＋＋≥＋＋. 　　　a，b∈R＋，且2c>a＋b.求證：c－<a<c＋. [精講詳析]　本題考查分析法在證明不等式中的應(yīng)用．解答本題需要對(duì)原不等式變形為－<a－c<，然后再證明． 要證c－＜a＜c＋， 只需證－＜a－c＜， 即證|a－c|＜， 兩邊平方得a2－2ac＋c2＜c2－ab， 也即證a2＋ab＜2ac，即a(a＋b)＜2ac. ∵a，b∈R＋，且a＋b＜2c，∴a(a＋b)＜2ac顯然成立． ∴原不等式成立． (1)當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或很難發(fā)現(xiàn)條件與結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑． (2)對(duì)于無(wú)理不等式的證明，常采用分析法通過(guò)乘方將 其有理化，但在乘方的過(guò)程中，要注意其變形的等價(jià)性． (3)分析法證題的本質(zhì)是從被證的不等式出發(fā)尋求使結(jié)論成立的充分條件，證明的關(guān)鍵是推理的每一步都必須可逆． 2．已知x>0，y>0，求證：(x2＋y2)>(x3＋y3). 證明：要證明(x2＋y2)>(x3＋y3)， 只需證(x2＋y2)3>(x3＋y3)2， 即證x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6， 即證3x4y2＋3x2y4>2x3y3. ∵x>0，y>0，∴x2y2>0， 即證3x2＋3y2>2xy. ∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy， ∴3x2＋3y2>2xy成立，∴(x2＋y2)>(x3＋y3). 　　　已知a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，且b2＝ac.求證：a4＋b4＋c4＞(a2－b2＋c2)2. [精講詳析]　本題考查綜合法與分析法的綜合應(yīng)用．解答本題可先采用分析法將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為較易證明的不等式，然后再用綜合法證明． 欲證原不等式成立， 只需證a4＋b4＋c4＞a4＋b4＋c4－2a2b2＋2a2c2－2b2c2， 即證a2b2＋b2c2－a2c2＞0， ∵b2＝ac，故只需證(a2＋c2)ac－a2c2＞0. ∵a、c＞0，故只需證a2＋c2－ac>0， 又∵a2＋c2>2ac， ∴a2＋c2－ac>0顯然成立． ∴原不等式成立． (1)通過(guò)等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式易于證明．(2)有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠”法，如本例，這種方法充分表明了分析與綜合之間互為前提，互相滲透，相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系． 3．若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 證明：要證lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc， 只需證lg>lg(a·b·c)， 即證··>a·b·c. 又∵a，b，c是不全相等的正數(shù)， ∴由基本不等式得：≥>0，≥>0，≥>0， 以上三式中由于a，b，c不全相等， 故等號(hào)不同時(shí)成立． ∴··>a·b·c. ∴l(xiāng)g＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc. 數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)高考的核心問(wèn)題，有時(shí)單獨(dú)考查，有時(shí)以解答題的一問(wèn)出現(xiàn)，綜合法是解決數(shù)學(xué)證明問(wèn)題的基本方法，而分析法又為綜合法的使用提供了思路，因此，綜合法與分析法是解決數(shù)學(xué)證明問(wèn)題的重要工具． [考題印證] 設(shè)a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3＋b3≥(a2＋b2)． [命題立意]　本題考查綜合法的應(yīng)用，考查學(xué)生分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用． [證明]　由a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得 a3＋b3－(a2＋b2) ＝a2(－)＋b2(－)＝(－)(()5－()5)． 當(dāng)a≥b時(shí)，≥， 從而()5≥()5， 得(－)·(()5－()5)≥0； 當(dāng)a<b時(shí)，<， 從而()5<()5， 得(－)·(()5－()5)>0. 所以a3＋b3≥(a2＋b2)． 一、選擇題 1．設(shè)a，b∈R＋，A＝＋，B＝，則A、B的大小關(guān)系是(　　) A．A≥B　　　　　　　　B．A≤B C．A＞B D．A＜B 解析：選C　用綜合法(＋)2＝a＋2＋b， 所以A2－B2＞0. 又A＞0，B＞0， ∴A＞B. 2．已知a，b，c滿足c<b<a且ac<0，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是(　　) A．a(chǎn)b>ac B．c(b－a)<0 C．b2<ab2 D．a(chǎn)c(a－c)>0 解析：選A　? 又b>c，∴ab>ac，故A正確． ∵b－a<0，c<0，∴c(b－a)>0， 故B錯(cuò)誤． 由b2＝0，可驗(yàn)證C不正確， 而ac<0，a－c>0， ∴ac(a－c)<0，故D錯(cuò)誤． 3．設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＞c＞b B．a(chǎn)＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析：選A　構(gòu)造指數(shù)函數(shù)y＝(x∈R)，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減可得b＜c；又y＝(x∈R)與y＝(x∈R)之間有如下結(jié)論：當(dāng)x＞0時(shí)，有＞，故＞，所以a＞c，故a＞c＞b. 4．已知a、b、c為三角形的三邊且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，則(　　) A．S≥2P B．P<S<2P C．S>P D．P≤S＜2P 解析：選D　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 即S≥P. 又三角形中|a－b|＜c，∴a2＋b2－2ab＜c2， 同理b2－2bc＋c2＜a2，c2－2ac＋a2＜b2， ∴a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)，即S<2P. 二、填空題 5．設(shè)a>2，x∈R，M＝a＋，N＝，則M，N的大小關(guān)系是________． 解析：∵a＞2， ∴M＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4. ∵x2－2≥－2， ∴N＝≤＝4， ∴M≥N. 答案：M≥N 6．設(shè)a，b，c都是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，若M＝··，則M的取值范圍是________． 解析：∵a＋b＋c＝1， ∴M＝·· ＝·· ＝·· ≥2·2·2 ＝8. 即M的取值范圍是[8，＋∞)． 答案：[8，＋∞) 7．已知a＞0，b＞0，若P是a，b的等差中項(xiàng)，Q是a，b的正的等比中項(xiàng)，是，的等差中項(xiàng)，則P、Q、R按從大到小的排列順序?yàn)開_______． 解析：由已知P＝，Q＝， ＝＝， 即R＝，顯然P≥Q， 又≤＝， ∴Q≥R.∴P≥Q≥R. 答案：P≥Q≥R 8．若不等式＋＋>0在條件a>b>c時(shí)恒成立，則λ的取值范圍是________． 解析：不等式可化為＋>. ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0， ∴λ<＋恒成立． ∵＋＝＋ ＝2＋＋≥2＋2＝4.∴λ<4. 答案：(－∞，4) 三、解答題 9．(新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：(1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1. 證明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. (2)因?yàn)椋玝≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1. 10．已知a>b>0，求證：<－<. 證明：要證<－<， 只要證<a＋b－2<， 即證<(－)2<， 即證0＜＜－＜，即證<2<， 即證1＋<2<1＋，即證 <1< 成立． 因?yàn)閍>b>0，所以>1，<1， 故 ＜1, ＞1成立， 所以有<－<成立． 11．已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足c＜b＜a，a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1.求證：1＜a＋b＜. 證明：∵a＋b＋c＝1，∴欲證結(jié)論等價(jià)于 1＜1－c＜，即－＜c＜0. 又a2＋b2＋c2＝1，則有 ab＝ ＝＝c2－c.① 又a＋b＝1－c.②由①②得a、b是方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的兩個(gè)不等 實(shí)根，從而Δ＝(1－c)2－4(c2－c)＞0，解得－＜c＜1. ∵c＜b＜a， ∴(c－a)(c－b)＝c2－c(a＋b)＋ab ＝c2－c(1－c)＋c2－c＞0，解得c＜0或c＞(舍)． ∴－＜c＜0，即1＜a＋b＜. 11