第1章 立體幾何初步 三視圖與直觀圖 【例1】　(1)將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為(　　) 圖1　　　　　　圖2 A　　　B　　　C　　　D (2)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是(　　) A　　　 B　 　　　C　　　　D (1)B　(2)D　[(1)圖2所示的幾何體的左視圖由點(diǎn)A，D，B1，D1確定外形為正方形，判斷的關(guān)鍵是兩條對角線AD1和B1C是一實(shí)一虛，其中要把AD1和B1C區(qū)別開來，故選B. (2)A，B的主視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，故選D.] 三視圖和直觀圖是空間幾何體的不同表現(xiàn)形式，空間幾何體的三視圖可以使我們很好地把握空間幾何體的性質(zhì)．由空間幾何體可以畫出它的三視圖，同樣，由三視圖可以想象出空間幾何體的形狀，兩者之間可以相互轉(zhuǎn)化． 1．一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的主視圖、俯視圖如圖所示，則其左視圖為(　　) A　 　B　 　C　 　D C　[根據(jù)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的主視圖、俯視圖可得幾何體的直觀圖為： 所以左視圖如圖所示．] 空間幾何體的表面積與體積 【例2】　(1)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．＋2π　 B． C．　　D． (2)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．12＋4 B．18＋8 C．28 D．20＋8 (1)B　(2)D　[(1)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱和半個(gè)圓錐組合而成的幾何體，其體積為π×12×2＋×π×12×1＝. (2)由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖． 則該幾何體的表面積為S＝2××2×2＋4×2×2＋2×4＝20＋8，故選D.] 幾何體的表面積和體積的計(jì)算是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到的問題，如制作物體的下料問題、材料最省問題、相同材料容積最大問題，都涉及表面積和體積的計(jì)算.特別是特殊的柱、錐、臺，在計(jì)算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的作用，對于圓柱、圓錐、圓臺，要重視旋轉(zhuǎn)軸所在軸截面、底面圓的作用.割補(bǔ)法、構(gòu)造法是常用的技巧. 2．(2019·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P­ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°， 則球O的體積為(　　) A．8π B．4π C．2π D.π [答案]　D 空間中的平行關(guān)系 【例3】　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點(diǎn)F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請說明理由． [思路探究]　假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM與平面AFC、平面PMD分別交于直線AF、PM，則必有AF∥PM，又PB＝2MA，則點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)． [解]　當(dāng)點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)時(shí)，平面AFC∥平面PMD，證明如下：如圖連接AC和BD交于點(diǎn)O，連接FO，那么PF＝PB. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴O是BD的中點(diǎn)．∴OF∥PD. 又OF?平面PMD，PD?平面PMD， ∴OF∥平面PMD.又MAPB，∴PFMA. ∴四邊形AFPM是平行四邊形．∴AF∥PM. 又AF?平面PMD，PM?平面PMD. ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC. ∴平面AFC∥平面PMD. 空間中的平行關(guān)系主要是指空間中線與線、線與面及面與面的平行，其中三種關(guān)系相互滲透．在解決線面、面面平行問題時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而利用性質(zhì)定理時(shí)，其順序相反，且“高維”的性質(zhì)定理就是“低維”的判定定理．特別注意，轉(zhuǎn)化的方法由具體題目的條件決定，不能過于呆板僵化，要遵循規(guī)律而不局限于規(guī)律． 3．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH. [證明]　連接AC交BD于O，連接MO，因?yàn)镸，O為PC、AC的中點(diǎn)，所以MO∥AP， 又因?yàn)镸O?平面BDM，PA?平面BDM， 所以PA∥平面BDM， 又因?yàn)镻A?平面PAHG， 平面PAHG∩平面BDM＝GH， 所以PA∥GH. 空間中的垂直關(guān)系 【例4】　如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1­ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC. (1)若D是BC的中點(diǎn)，求證：AD⊥CC1； (2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于點(diǎn)M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C. [思路探究]　(1)由面面垂直的性質(zhì)可證． (2)先證明C1N⊥側(cè)面BB1C1C，再證截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C. [解]　(1)證明：∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)， ∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥側(cè)面BB1C1C，底面ABC∩側(cè)面BB1C1C＝BC， ∴AD⊥側(cè)面BB1C1C. ∴AD⊥CC1. (2)延長B1A1與BM的延長線交于點(diǎn)N，連接C1N. ∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1. ∵A1C1＝A1N＝A1B1， ∴C1N⊥B1C1， ∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C. ∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C. 空間中的垂直關(guān)系包括線與線的垂直、線與面的垂直及面與面的垂直，三種垂直關(guān)系是本章學(xué)習(xí)的核心，學(xué)習(xí)時(shí)要突出三者間的互化意識．如在證明兩平面垂直時(shí)一般從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線不存在，則可通過作輔助線來解決．如有面面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直． 4.如圖，四棱錐P­ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形． 證明：PB⊥CD. [證明]　如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，則ABED為正方形． 過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O. 連接OA，OB，OD，OE. 由△PAB和△PAD都是等邊三角形知PA＝PB＝PD，所以O(shè)A＝OB＝OD，即點(diǎn)O為正方形ABED對角線的交點(diǎn)，故OE⊥BD. 又OE⊥OP，BD∩OP＝O， 所以O(shè)E⊥平面PDB，從而PB⊥OE. 因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)， 所以O(shè)E∥CD.因此PB⊥CD. - 6 -