第15講 線段、角、相交線與平行線 考點1 直線、射線、線段 直線公理 經過兩點，有且只有① 條直線. 線段公理 兩點之間，線段最② . 兩點間的距離 連接兩點間的線段的③ ，叫做兩點間的距離. 考點2 角 角的概念 定義1 有公共端點的兩條④ 組成的圖形叫做角. 定義2 一條⑤ 繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角. 互為余角 定義 如果兩個角的和等于⑥ ，則這兩個角互余. 性質 同角(或等角)的余角⑦ . 互為補角 定義 如果兩個角的和等于⑧ ，則這兩個角互補. 性質 同角(或等角)的補角⑨ . 考點3 相交線 對頂角 對頂角相等. 垂直 性質1 過一點有且只有⑩ 條直線與已知直線垂直. 性質2 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，? 最短. 點到直線的距離 直線外一點到這條直線的? 的長度，叫做點到直線的距離. 考點4 角的平分線與線段的垂直平分線 角的平分線 線段的垂直平分線 性質 角的平分線上的點到角兩邊的距離? . 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離? . 判定 角的內部到角的兩邊距離相等的點在? 上. 與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的? 上. 考點5 平行線 平行線的概念 在同一平面內， 的兩條直線叫做平行線. 平行公理 經過直線外一點有且只有 條直線與已知直線平行. 平行公理的推論 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也 . 平行線的判定 同位角相等，兩直線平行. 內錯角相等，兩直線平行. 同旁內角互補，兩直線平行. 平行線的性質 兩直線平行，同位角相等. 兩直線平行，內錯角相等. 兩直線平行，同旁內角互補. 平行線間的距離 定義 過平行線上的一點作另一條平行線的垂線， 的長度叫做兩條平行線間的距離. 性質 兩條平行線間的距離處處 . 考點6 命題 命題的概念 判斷一件事情的句子叫做命題. 命題的分類 命題分為 命題和 命題. 命題的組成 命題由 和 兩個部分組成. 1.若某條直線上有n個點，則線段的總條數為條(n為大于或等于2的整數)；在角的內部從角的頂點引n條射線，可以得到個角. 2.“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”在解決最短路徑問題時經常用到. 命題點1 角的有關計算 例1 (2013·福州)如圖，OA⊥OB，若∠1=40°，則∠2的度數是( ) A.20° B.40° C.50° D.60° 方法歸納：計算角度時，通常結合幾何圖形的有關性質來找出已知角度與所求角度中的數量關系. 1.下列四個角中，最有可能與70°角互補的是( ) 2.如圖，直線AB與直線CD相交于點O，E是∠AOD內一點，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，則∠COE的度數是( ) A.125° B.135° C.145° D.155° 3.(2014·濱州)如圖，OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線.如果∠AOB=40°，∠COE=60°，則∠BOD的度數為( ) A.50° B.60° C.65° D.70° 命題點2 角平分線的性質與判定 例2 (2013·湘西)如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3. (1)求DE的長； (2)求△ADB的面積. 【思路點撥】(1)根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等，DE=CD，從而可得DE的長； (2)利用勾股定理先求AB的長，再根據面積公式計算. 【解答】 方法歸納：解答本題的關鍵是通過等量代換把要求的邊轉化為已知的邊的長. 1.(2014·巴中)如圖，CF是△ABC的外角∠ACM的平分線，且CF∥AB，∠ACF=50°，則∠B的度數為( ) A.80° B.40° C.60° D.50° 2.如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA,PB⊥OB，垂足分別為A，B.下列結論中不一定成立的是( ) A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP 3.(2013·泉州)如圖，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，則∠AOQ= . 命題點3 線段的垂直平分線的性質與判定 例3 (2013·仙桃改編)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6 cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，求MN的長. 【思路點撥】連接MA、NA.根據垂直平分線性質得出等腰三角形△CAN和△MAB，從而說明△AMN是等邊三角形，找出MN與BC的關系求出MN的長. 【解答】 方法歸納：解答這類題的關鍵是要通過作輔助線構造垂直平分線模型來溝通各邊或者各角之間的關系，從而達到化繁為簡，化難為易的目的. 1.(2014·十堰)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分線交AD于點E，則△CDE的周長是( ) A.7 B.10 C.11 D.12 2.(2013·義烏)如圖，AD⊥BC于點D，D為BC的中點，連接AB，∠ABC的平分線交AD于點O，連接OC，若∠AOC＝125°，則∠ABC＝ . 3.(2014·汕尾)如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以點A、C為圓心，大于AC長為半徑畫弧相交于點M、N，連接MN，與AC、BC分別交于點D、E，連接AE. (1)求∠ADE(直接寫出結果)； (2)當AB=3，AC=5時，求△ABE的周長. 命題點4 平行線的性質和判定 例4 (2013·重慶)如圖，直線a，b，c，d，已知c⊥a,c⊥b，直線b，c，d交于一點，若∠1=50°，則∠2等于( ) A.60° B.50 C.40° D.30° 方法歸納：運用平行線的判定與性質的關鍵點都是“同位角、內錯角、同旁內角”這三對位置角的等量關系. 1.(2014·德州)如圖，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B＝30°，則∠C為( ) A.30° B.60° C.80° D.120° 2.(2014·孝感)如圖，直線l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2的度數為( ) A.46° B.44° C.36° D.22° 3.(2014·梅州)如圖，把一塊含有45°角的直角三角板兩個頂點放在直尺的對邊上，如果∠1=20°，則∠2的度數是( ) A.15° B.20° C.25° D.30° 4.(2014·淄博)如圖，直線a∥b,點B在直線b上，且AB⊥BC,∠1=55°，求∠2的度數. 1.(2014·金華)如圖，經過刨平的木板上的兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實際應用的數學知識是( ) A.兩點確定一條直線 B.兩點之間，線段最短 C.垂線段最短 D.在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 2.(2014·長沙)如圖，C、D是線段AB上的兩點，且D是線段AC的中點，若AB=10 cm,BC=4 cm,則AD的長為( ) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 3.(2014·濟寧)把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程.用幾何知識解釋其道理正確的是( ) A.兩點確定一條直線 B.垂線段最短 C.兩點之間線段最短 D.三角形兩邊之和大于第三邊 4.(2014·濱州)如圖，是我們學過的用直尺畫平行線的方法示意圖，畫圖原理是( ) A.同位角相等，兩直線平行 B.內錯角相等，兩直線平行 C.兩直線平行，同位角相等 D.兩直線平行，內錯角相等 5.(2014·十堰)如圖，直線m∥n，則∠α為( ) A.70° B.65° C.50° D.40° 6.(2014·河南)如圖，直線AB、CD相交于O，射線OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM=35°，則∠CON的度數為( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 7.(2014·汕尾)如圖，能判定EB∥AC的條件是( ) A.∠C=∠ABE B.∠A=∠EBD C.∠C=∠ABC D.∠A=∠ABE 8.(2014·白銀)如圖，將直角三角尺的直角頂點靠在直尺上，且斜邊與這根直尺平行.圖中與∠α互余的角共有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 9.(2014·荊門)如圖，AB∥ED,AG平分∠BAC,∠ECF=70°, 則∠FAG的度數是( ) A.155° B.145° C.110° D.35° 10.(2014·泰安)在△ABC和△A1B1C1中，下列四個命題： (1)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠A=∠A1，則△ABC≌△A1B1C1； (2)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠B=∠B1，則△ABC≌△A1B1C1； (3)若∠A=∠A1，∠C=∠C1，則△ABC∽△A1B1C1； (4)若AC∶A1C1=CB∶C1B1,∠C=∠C1，則△ABC∽△A1B1C1. 其中真命題的個數為( ) A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 11.(2014·廣安)若∠α的補角為76°28′,則∠α= . 12.(2014·廣州)已知命題：“如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的面積相等.”寫出它的逆命題： ，該逆命題是 命題(填“真”或“假”). 13. (2013·長沙)如圖，BD是∠ABC的平分線，P是BD上的一點，PE⊥BA于點E，PE=4 cm,則點P到邊BC的距離為 __________cm. 14.(2014·威海)直線l1∥l2，一塊含45°角的直角三角板如圖所示放置，∠1＝85°，則∠2＝ . 15.(2014·鹽城)如圖，點D，E分別在AB，BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，則∠2＝ . 16.如圖，CD與BE互相垂直平分，AD⊥DB,∠BDE=70°，則∠CAD= . 17.(2014·益陽)如圖，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°.求∠C的度數. 18.如圖，線段AB=4，點O是線段AB上一點，C、D分別是線段OA、OB的中點，小明據此很輕松地求得CD=2.他在反思過程中突發(fā)奇想：若點O運動到AB的延長線上時，原有的結論“CD=2”是否仍然成立？請幫小明畫出圖形并說明理由. 19.(2014·泰安)把一直尺放置在一個三角形紙片上，則下列結論正確的是( ) A.∠1+∠6>180° B.∠2+∠5<180° C.∠3+∠4<180° D.∠3+∠7>180° 20.(2014·鄂州)如圖，直線a∥b,直角三角形如圖放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=70°，則∠2的度數為( ) A.20° B.40° C.30° D.25° 21.(2013·綏化)如圖所示，以O為端點畫六條射線OA、OB、OC、OD、OE、OF后，再從射線OA上某點開始按逆時針方向依次在射線上描點并連線，若將各條射線上所描的點依次記為1、2、3、4、5、6、7、8…，那么所描的第2 015個點在射線 上. 22.(2014·梅州)如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以A、C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN，與AC交于點D，與BC交于點E，連接AE. (1)∠ADE= ； (2)AE CE(填“>”“<”或“=”) (3)AB=3，AC=5時，△ABE的周長是 . 23.(2013·寧夏模擬)平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系. (1)如圖1，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D.將點P移到AB、CD內部，如圖2，以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數量關系？請證明你的結論； (2)在圖2中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數量關系？(不需證明) 參考答案 考點解讀 ①一 ②短 ③長度 ④射線 ⑤射線 ⑥90° ⑦相等 ⑧180° ⑨相等 ⑩一 ?垂線段 ?垂線段 ?相等 ?相等 ?角的平分線 ?垂直平分線 不相交 一 平行 垂線段 相等 真 假 題設 結論 各個擊破 例1 C 題組訓練 1.D 2.B 3.D 例2 (1)在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴AC⊥CD. 又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE=CD. 又∵CD=3，∴DE=3. (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB===10, ∴S△ADB=AB·DE=×10×3=15. 題組訓練 1.D 2.D 3.35° 例3 連接MA、NA. ∵AB的垂直平分線交BC于M，AC的垂直平分線交BC于N， ∴BM=AM，CN=AN， ∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C. ∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°, ∴∠BAM+∠CAN=60°， ∠AMN=∠ANM=60°， ∴△AMN是等邊三角形, ∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC， ∴MN=BC=2 cm. 題組訓練 1.B 2.70° 3.(1)∠ADE=90°. (2)在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5， ∴BC=4. 又∵MN為AC的垂直平分線， ∴AE=EC. C△ABE=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=7. 例4 B 題組訓練 1.A 2.A 3.C 4.設直線b與BC所交的另一個銳角為∠3. ∵AB⊥BC,∴∠1+∠3=90°. ∵∠1=55°,∴∠3=35°. ∵a∥b,∴∠2=∠3=35°. 整合集訓 1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 6.C 7.D 8.B 9.B 10.B 11.103°42′ 12.如果兩個角形的面積相等，那么這兩個三角形全等 假 13.4 14.40 15.70° 16.70° 17.∵EF∥BC, ∴∠BAF=180°-∠B=100°. ∵AC平分∠BAF,∴∠CAF=∠BAF=50°. ∵EF∥BC，∴∠C=∠CAF=50°. 18.仍然成立， ∵C，D分別是線段OA，OB的中點， ∴OC=OA，OD=OB. CD=OC-OD=OA-OB=(OA-OB)=AB=2. 19.D 20.A 21.OE 22.(1)90° (2)= (3)7 23.(1)不成立，結論是∠BPD=∠B+∠D. 證明：延長BP交CD于點E. ∵AB∥CD，∴∠B=∠BED. 又∵∠BPD=∠BED+∠D， ∴∠BPD=∠B+∠D. (2)結論：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D. 11