2022年高考數(shù)學二輪復習 限時訓練11 解三角形的綜合問題 文 1．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形　 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 解析：選C.∵sin2A＋sin2B＜sin2C，由正弦定理可得a2＋b2＜c2，所以cos C＜0，得角C為鈍角，故選C. 2．在△ ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若acos A＝bsin B，則sin Acos A＋cos2B＝(　　) A．－ B. C．－1 D．1 解析：選D.由acos A＝bsin B可得sin Acos A＝sin2B， 所以sin Acos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1. 3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，則∠B＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A.∵acos C＋ccos A＝b， ∴原式可化為bsin B＝b，sin B≠0， ∴sin B＝，a＞b，B為銳角，∴B＝. 4．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若A＝，b＝1，△ABC的面積為，則a的值為(　　) A．1 B．2 C. D. 解析：選D.∵A＝，b＝1，S△ABC＝， ∴bcsin A＝，∴c＝2. ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝3，∴a＝. 5．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：選B.∵cos2＝， ∴＝，∴1＋＝， 化簡得a2＋b2＝c2. 故△ABC是直角三角形． 6．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin∠BAC＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C.先利用余弦定理求出AC邊的長度，再利用正弦定理求出sin∠BAC. 由余弦定理可得 AC＝ ＝ ＝， 于是由正弦定理可得＝， 于是sin∠BAC＝＝. 7．(xx·廣西南寧模擬)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝，△ABC的面積S∈[1,2]，則下列不等式一定成立的是(　　) A．a(chǎn)b(a＋b)>16 B．bc(b＋c)>8 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24 解析：選B.依題意得sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＋sin 2C＝，展開并整理得2sin(A＋B)·cos(A－B)＋2sin Ccos C＝，又sin(A＋B)＝sin C，cos C＝－cos(A＋B)，所以2sin Ccos(A－B)＋2sin Ccos C＝2sin C·[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，所以4sin Asin Bsin C＝，sin Asin Bsin C＝.又S＝absin C＝bcsin A＝casin B，因此S3＝a2b2c2·sin A·sin Bsin C＝a2b2c2.由1≤S≤2得1≤a2b2c2≤23，即8≤abc≤16，因此選項C、D不一定成立．∵b＋c>a>0，∴bc(b＋c)>bc·a≥8，即有bc(b＋c)>8，∴選項B一定成立．∵a＋b>c>0，∴ab(a＋b)>ab·c≥8，即有ab(a＋b)>8，∴選項A不一定成立．故選B. 8．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于(　　) A. B. C. D. 解析：選B.設(shè)AB＝c，在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B， 即7＝c2＋4－2×2×c×cos 60°， c2－2c－3＝0，即(c－3)(c＋1)＝0. 又c>0，∴c＝3. 設(shè)BC邊上的高等于h，由三角形面積公式S△ABC＝AB·BC·sin B＝BC·h，知×3×2×sin 60°＝×2×h，解得h＝. 9．(xx·高考新課標卷Ⅱ)鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC＝(　　) A．5 B. C．2 D．1 解析：選B.利用三角形面積公式可求角B，再利用余弦定理求得B的對邊AC. ∵S＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝， ∴sin B＝，∴B＝或. 當B＝時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此時△ABC為鈍角三角形，符合題意； 當B＝時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此時AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC＝. 10．(xx·山西省高三質(zhì)檢)設(shè)△ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，且tan A，tan B，tan C,2tan B成等差數(shù)列，則cos(B－A)＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選D.由條件，得tan C＝tan B，tan A＝tan B，所以△ABC為銳角三角形．又tan A＝－tan(C＋B)＝－＝－＝tan B，得tan B＝2，所以tan A＝1，所以tan(B－A)＝＝＝.因為B>A，所以cos(B－A)＝，故選D. 11．(xx·洛陽市高三模擬)在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，若S＋a2＝(b＋c)2，則cos A等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選D.S＋a2＝(b＋c)2?a2＝b2＋c2－2bc.由余弦定理可得sin A－1＝cos A，結(jié)合sin2A＋cos2A＝1，可得cos A＝－. 12．在△ABC中，2sin2＝sin A，sin(B－C)＝2cos Bsin C，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A.由2sin2＝sin A可得1－cos A＝sin A，cos A＋sin A＝1，得sin＝，又0<A<π，<A＋<，故A＋＝，A＝，由sin(B－C)＝2cos Bsin C，可得sin Bcos C＝3cos Bsin C．設(shè)a，b，c分別為角A，B，C的對邊，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc，由sin Bcos C＝3cos Bsin C得bcos C＝3ccos B，從而＝， 故可得b2－bc－3c2＝0， 從而可得2－－3＝0，從而＝. 13．(xx·高考天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為3，b－c＝2，cos A＝－，則a的值為________． 解析：利用三角形面積公式及余弦定理列式求解． 在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝， 所以有解得 答案：8 14．(xx·高考重慶卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，則c＝__________. 解析：先根據(jù)正弦定理得3a＝2b，進而結(jié)合條件a＝2求出b的值，然后由余弦定理求出c的值． ∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b. 又a＝2，∴b＝3. 由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16， ∴c＝4. 答案：4 15．(xx·高考北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則＝________. 解析：利用二倍角的正弦公式結(jié)合正、余弦定理求解． 由正弦定理得＝，由余弦定理得 cos A＝，∵a＝4，b＝5，c＝6， ∴＝＝2··cos A＝2××＝1. 答案：1 16．(xx·洛陽市高三模擬) 如圖，在△ABC中，sin＝，AB＝2，點D在線段AC上，且AD＝2DC，BD＝，則cos∠C＝__________. 解析：由條件得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.在△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝3b，則9b2＝a2＋4－a①.因為∠ADB與∠CDB互補，所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，所以＝－，所以3b2－a2＝－6②，聯(lián)合①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.在△ABC中，cos∠C＝＝＝. 答案：