第十一章　概率名師檢測(cè)題 時(shí)間：120分鐘　分值：150分 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．) 1．下列說(shuō)法正確的一項(xiàng)是(　　) A．互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件 B．互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件 C．事件A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大 D．事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小 解析：由互斥事件與對(duì)立事件的意義可知，選B. 答案：B 2．某學(xué)校共有2020名學(xué)生，現(xiàn)將從中選派5名學(xué)生去國(guó)家大劇院參加音樂(lè)晚會(huì)，若采用以下方法選?。合扔煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣從2020名學(xué)生中剔除8名學(xué)生，再?gòu)?000名學(xué)生中隨機(jī)抽取5名，則其中學(xué)生甲被選派的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：依題意，對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣來(lái)說(shuō)，每個(gè)個(gè)體被選取的概率均相等，因此學(xué)生甲被選取的概率是，選D. 答案：D 3．設(shè)集合P＝{b,1}，Q＝{c,1,2}，PQ，若b，c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}，則b＝c的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：依題意得當(dāng)b＝2時(shí)，c可從3,4,5,6,7,8,9中選取，此時(shí)b≠c；當(dāng)b從3,4,5,6,7,8,9中選取時(shí)，b＝c.因此，b＝c的概率為＝，選C. 答案：C 4．10張獎(jiǎng)券中只有3張有獎(jiǎng)，5個(gè)人購(gòu)買，每人1張，至少有1人中獎(jiǎng)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：無(wú)人中獎(jiǎng)的概率為＝.故至少有1人中獎(jiǎng)的概率為1－＝. 答案：D 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查排列，組合，等可能事件的概率計(jì)算等知識(shí)，注意“至少”的出現(xiàn)，一般是先求出其對(duì)立事件的概率． 5．羊村村長(zhǎng)慢羊羊決定從喜羊羊、美羊羊、懶羊羊、暖羊羊、沸羊羊中選派兩只羊去割草，則喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：從5只羊中任選兩只，有C52＝10種選法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的結(jié)果有C21·C31＝6種，故喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的概率為＝＝.選C. 答案：C 6．在正方體上任取三個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，則所得的三角形是等腰三角形的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：依題意得，從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)頂點(diǎn)可形成的等腰三角形的個(gè)數(shù)按所選取的三個(gè)頂點(diǎn)是否來(lái)自于該正方體的同一個(gè)面來(lái)分類：(1)若所選取的三個(gè)頂點(diǎn)來(lái)自于該正方體的同一個(gè)面，這樣的三角形共有4×6＝24個(gè)；(2)若所選取的三個(gè)頂點(diǎn)不是來(lái)自于該正方體的同一個(gè)面，這樣的三角形共有8個(gè)．而從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)頂點(diǎn)可形成的三角形共有C83＝56個(gè)．于是，所求的概率等于＝，選D. 答案：D 7．兩個(gè)同學(xué)做同一道數(shù)學(xué)題，他們做對(duì)的概率分別是0.8和0.9，則該題至少被一個(gè)同學(xué)做對(duì)的概率是(　　) A．0.72 B．0.83 C．0.7 D．0.98 解析：依題意，P＝1－(1－0.8)×(1－0.9)＝1－0.02＝0.98，選D. 答案：D 8．一枚硬幣連擲5次，則至少一次正面向上的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：依題意得，一枚硬幣連擲5次，至少一次正面向上的概率等于1－5＝，選B. 答案：B 9．在正方體的頂點(diǎn)、面的中心和體中心共15個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)，那么所取三點(diǎn)共線的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：三點(diǎn)共線的情形有：面對(duì)角線，體對(duì)角線，相對(duì)面中心連線．概率P＝＝. 答案：D 10．要從10名女生和5名男生中選出6名學(xué)生組成課外興趣小組，如果按性別依比例分層隨機(jī)抽樣，則組成此課外興趣小組的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：按分層抽樣的方法從10名女生和5名男生中選出6名學(xué)生，則女生中選4人，男生中選2人，共有C104C52種選法．而從15名學(xué)生中選6名學(xué)生共有C156種選法，故其概率P＝，故選A. 答案：A 11．某籃球選手每次投籃命中的概率為，各次投籃相互獨(dú)立，令此選手投籃n次的命中率為an(an為進(jìn)球數(shù)與n之比)，則事件“a6＝，an≤，n＝1,2,3,4,5”發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：依題意，因?yàn)閍6＝，an≤(n＝1,2,3,4,5)，所以第六次一定投中，第一次一定投不中，且第二次到第五次中只能投中兩次．若第二次投不中，則第三次到第五次投中兩次有3種方法，若第二次投中，則第三次必投不中，從而第四次到第五次投中一次有2種方法，因此事件a6＝，an≤(n＝1,2,3,4,5)發(fā)生的概率為＝，選擇C. 答案：C 12．若一個(gè)四位數(shù)字的數(shù)，前兩位數(shù)字之積恰好等于后面兩位數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)為“吉積數(shù)”．如“0900”，“1909”，“9218”等都為“吉積數(shù)”．某地汽車牌照某批次的號(hào)碼前兩位是固定的英文字母，后面是四位數(shù)字，丁先生買了新車，給汽車上牌照時(shí)最多有三次選擇機(jī)會(huì)(有放回地隨機(jī)選擇號(hào)碼)．丁先生選號(hào)時(shí)剛好是選這批號(hào)碼的第一位車主，如果他想選一個(gè)末尾數(shù)字沒有4的“吉積數(shù)”，則丁先生成功的最大概率最接近的值為(　　) A．3% B．1% C．0.88% D．2.64% 解析：顯然，在一個(gè)“吉積數(shù)”的車牌號(hào)中，確定了第1個(gè)和第2個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，后面兩個(gè)數(shù)字自然就確定了．而每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字有10種選擇，所以“吉積數(shù)”共有：C101C101＝100個(gè)．而尾數(shù)為4的“吉積數(shù)”有：1404,2204,2714,3824,4104,4624,6424,6954,7214,8324,8864,9654共12個(gè)，∴尾數(shù)不含4的“吉積數(shù)”有C101C101－12＝88個(gè)，而這批車牌號(hào)碼一共有104個(gè)，∴選擇一次成功的概率為：P＝＝0.0088.而丁先生一共有3次選擇的機(jī)會(huì)，∴成功的最大概率為0.0088×3＝0.0264＝2.64%，故選D. 答案：D 第Ⅱ卷(非選擇題　共90分) 二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上．) 13．某籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率為________．(用數(shù)值作答) 解析：C10337＝. 答案： 14．從正二十邊形的對(duì)角線中任取一條，則其與此正二十邊形的所有邊都不平行的概率為________． 解析：正二十邊形共有＝170條對(duì)角線，在平面直角坐標(biāo)系中作一個(gè)單位圓，將單位圓與y軸正半軸的交點(diǎn)記作A1，然后按順時(shí)針?lè)较蛟趩挝粓A上等距離地依次取19個(gè)點(diǎn)，依次記為A2、A3、A4、A5、…、A20； 顯然，第11個(gè)點(diǎn)A11在單位圓與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)上，順次連接A1、A2、A3、A4、A5、…、A20，即可得到正二十邊形A1A2A3A4A5…A20，再連接A1A3、A2A4、A3A5、…、A10A12. 顯然A1A3不平行于任何一條邊，而與A1A3平行的對(duì)角線有：A20A4，A19A5，A18A6，A17A7，A16A8，A15A9，A14A10，A13A11，共8條； 類似地，A2A4、A3A5、…、A10A12也均不平行于任何一條邊，且對(duì)于這9條對(duì)角線的每一條，也均有8條對(duì)角線與之平行； 故與正二十邊形的邊不平行的直線有10×9＝90條． 其概率為P＝＝. 答案： 15．一對(duì)酷愛運(yùn)動(dòng)的年輕夫婦，讓剛滿十個(gè)月大的嬰兒把“0,0,2,8，北，京”六張卡片排成一行，若嬰兒能使得卡片排成的順序?yàn)椤?020北京”或“北京2020”，則受到父母的夸獎(jiǎng)，那么嬰兒受到夸獎(jiǎng)的概率為______． 解析：將“0,0,2,8，北，京”這六張卡片進(jìn)行排列共有C62·A44＝360(從6個(gè)位置中任選2個(gè)位置作為0的位置，有C62種方法，然后再將“2,8，北，京”在余下的4個(gè)位置上進(jìn)行排列共有A44種方法)種方法，在這些排列中只有兩種方法滿足要求，因此所求的概率是＝. 答案： 16．分別寫有a，a，g，g，g，h，n，n，u的九張卡片隨意排成一列，恰能拼成“黃岡”的漢語(yǔ)拼音的概率是________． 解析：依題意，將a，a，g，g，g，h，n，n，u排成一列共有C91C81C72C52C33＝15120種不同的排法，能組成“黃岡”的漢語(yǔ)拼音的只有1種，因此概率為. 答案： 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)甲、乙兩人在同一位置向目標(biāo)射擊，已知在一次射擊中，甲、乙擊中目標(biāo)的概率分別為與.求： (1)甲射擊兩次，至少一次擊中目標(biāo)的概率； (2)甲、乙兩人各射擊兩次，他們一共擊中目標(biāo)2次的概率． 解析：(1)甲射擊一次，未擊中目標(biāo)的概率為1－＝， 因此，甲射擊兩次，至少擊中目標(biāo)一次的概率為1－2＝. (2)設(shè)“甲、乙兩人各射擊兩次，甲擊中目標(biāo)2次，乙未擊中”為事件A；“甲、乙兩人各射擊兩次，乙擊中目標(biāo)2次，甲未擊中”為事件B；“甲、乙兩人各射擊兩次，甲、乙各擊中1次”為事件C，則 P(A)＝2×2＝； P(B)＝2×2＝； P(C)＝C21×·C21×＝. 因?yàn)槭录凹住⒁覂扇烁魃鋼魞纱?，共擊中目?biāo)2次”為A＋B＋C，而A，B，C彼此互斥， 所以，甲、乙兩人各射擊兩次，共擊中目標(biāo)2次的概率為 P＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝. 18．(本小題滿分12分)因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出一種拯救果樹的方案，該方案需分兩年實(shí)施且相互獨(dú)立，該方案預(yù)計(jì)第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分別是0.3、0.3、0.4. (1)求兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的概率； (2)求兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率． 解析：(1)令A(yù)表示兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量這一事件， 則P(A)＝0.2×0.4＋0.4×0.3＝0.2. (2)令B表示兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量這一事件， 則P(B)＝0.2×0.6＋0.4×0.6＋0.4×0.3＝0.48. 19．(本小題滿分12分)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)都解同一道競(jìng)賽題，若各自單獨(dú)解題，每個(gè)同學(xué)解出正確答案的概率都為；若任意兩個(gè)同學(xué)合成一組解，則這一組得出正確答案的概率為；若三個(gè)同學(xué)合成一組，則得出正確答案的概率為.問(wèn)：怎樣安排，才能使這道題的解答正確的概率最大？說(shuō)明理由． 解析：記A、B、C分別為事件“分三組解題、分二組解題、分一組解題，得出正確答案” 則P(A)＝1－P()＝1－3＝ P(B)＝1－P()＝1－·＝ P(C)＝.P(B)＞P(C)＞P(A) ∴三個(gè)同學(xué)分兩人一組，一人一組解題，解出正確答案的概率最大． 20．(本小題滿分12分)某城市有30%的家庭訂閱了A報(bào)，有60%的家庭訂閱了B報(bào)，有20%的家庭同時(shí)訂閱了A報(bào)和B報(bào)，從該城市中任取4個(gè)家庭． (1)求這4個(gè)家庭中恰好有3個(gè)家庭訂閱了A報(bào)的概率； (2)求這4個(gè)家庭中至多有3個(gè)家庭訂閱了B報(bào)的概率； (3)求這4個(gè)家庭中恰好有2個(gè)家庭A、B報(bào)都沒有訂閱的概率． 解析：(1)設(shè)“這4個(gè)家庭中恰好有3個(gè)家庭訂閱了A報(bào)”的事件為A， P(A)＝C43(0.3)3×(0.7)＝0.0756. (2)設(shè)“這4個(gè)家庭中至多有3個(gè)家庭訂閱了B報(bào)”的事件為B， P(B)＝1－(0.6)4＝1－0.1296＝0.8704. (3)設(shè)“這4個(gè)家庭中恰好有2個(gè)家庭A、B報(bào)都沒有訂閱”的事件為C， 因?yàn)橛?0%的家庭訂閱了A報(bào)，有60%的家庭訂閱了B報(bào)．有20%的家庭同時(shí)訂閱了A報(bào)和B報(bào)．所以兩份報(bào)紙都沒有訂閱的家庭有30%. 所以P(C)＝C42(0.3)2×(0.7)2＝0.2646. 21．(本小題滿分12分)某家具城進(jìn)行促銷活動(dòng)，促銷方案是：顧客每消費(fèi)1000元，便可以獲得獎(jiǎng)券一張，每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為，若中獎(jiǎng)，則家具城返還顧客現(xiàn)金1000元．某顧客購(gòu)買一張價(jià)格為3400元的餐桌，得到3張獎(jiǎng)券． (1)求家具城恰好返還顧客現(xiàn)金1000元的概率； (2)求家具城至少返還顧客現(xiàn)金1000元的概率． 解析：(1)家具城恰好返還給該顧客現(xiàn)金1000元即該顧客的三張獎(jiǎng)券有且只有一張中獎(jiǎng) P＝C31×2＝. (2)解法一：設(shè)家具城至少返還給該顧客現(xiàn)金1000元為事件A，這位顧客的三張獎(jiǎng)券有且只有一張中獎(jiǎng)為事件A1，這位顧客有且只有兩張中獎(jiǎng)為事件A2，這位顧客三張都中獎(jiǎng)為事件A3，則A＝A1＋A2＋A3，A1、A2、A3是互斥事件． P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝C31×2＋C322×＋C333 ＝＋＋＝. 解法二：家具城至少返還給該顧客現(xiàn)金1000元即這位顧客的三張獎(jiǎng)券中至少有一張中獎(jiǎng)，設(shè)為事件B.則它的對(duì)立事件為：三張獎(jiǎng)券都沒有中獎(jiǎng) P(B)＝1－P() ∵P()＝C300×3＝ ∴P(B)＝1－P()＝. 22．(本小題滿分12分)某足球俱樂(lè)部2020年1月份安排4次體能測(cè)試，規(guī)定每位運(yùn)動(dòng)員一開始就要參加測(cè)試，一旦某次測(cè)試合格就不必參加以后的測(cè)試，否則4次測(cè)試都要參加．若運(yùn)動(dòng)員李明4次測(cè)試每次合格的概率依次組成一公差為的等差數(shù)列，他第一次測(cè)試合格的概率不超過(guò)，且他直至第二次測(cè)試才合格的概率為. (1)求李明第一次參加測(cè)試就合格的概率P1； (2)求李明1月份參加測(cè)試合格的概率． 解析：(1)設(shè)四次測(cè)試合格的概率為a，a＋，a＋，a＋，則(1－a)＝，即a2－a＋＝0，解得a＝或a＝(舍去)． ∴P1＝a＝. ∴李明第一次參加測(cè)試就合格的概率P1為. (2)解法一：由(1)知李明四次測(cè)試合格的概率分別為 ，，，， 直至第3次測(cè)試才合格的概率為 P3＝××＝； 直至第4次測(cè)試才合格的概率為 P4＝×××＝， ∴P1＋P2＋P3＋P4＝＋＋＋＝， ∴李明1月份參加測(cè)試合格的概率為. 解法二：由(1)知李明四次測(cè)試合格的概率分別為，，，，則李明四次測(cè)試不合格的概率分別為，，，， ∴1月份李明參加測(cè)試不合格的概率為 ×××＝， ∴李明1月份參加測(cè)試合格的概率為1－＝.