第2課時(shí) 平面與圓錐面的截線 素質(zhì)訓(xùn)練 1．在圓錐內(nèi)部嵌入Dandelin雙球，一個(gè)位于平面π的上方，一個(gè)位于平面π的下方，并且與平面π及圓錐均相切，若平面π與雙球的切點(diǎn)不重合，則平面π與圓錐面的截線是(　　) A．圓　 B．橢圓 C．雙曲線　 D．拋物線 【答案】B 2．設(shè)截面和圓錐的軸的夾角為β，圓錐的母線和軸所成角為α，當(dāng)截面是橢圓時(shí)，其離心率等于(　　) A．　 B． C．　 D． 【答案】C 【解析】由定理2知，橢圓的離心率為e＝.故選C． 3．(2016年濱州期末)雙曲線的實(shí)軸為2a，虛軸為2b，焦距為2c，則a，b，c的關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)2＝c2－b2　 B．a(chǎn)2＝b2＋c2 C．b2＝a2＋c2　 D．c2＝a2－b2 【答案】A 【解析】由雙曲線的定義知，a，b，c的關(guān)系是a2＝c2－b2.故選A． 4．如圖所示，已知橢圓兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的一點(diǎn)且PF1＋PF2＝3，MN為過點(diǎn)F1的橢圓的弦，則△MNF2的周長是________． 【答案】6 【解析】由橢圓的定義知，PF1＋PF2＝2a＝3，所以a＝. 所以△MNF2的周長＝MN＋MF2＋NF2＝(MF1＋MF2)＋(NF1＋NF2)＝2a＋2a＝4a＝6. 5．已知圓錐母線與軸夾角為60°，平面π與軸夾角為45°，則平面π與圓錐交線的離心率是________，該曲線的形狀是________． 【答案】　雙曲線 【解析】依題意，得e＝＝＝＝.∵e>1，∴曲線為雙曲線． 6．設(shè)圓錐面V是由直線l′繞直線l旋轉(zhuǎn)而得，l′與l交點(diǎn)為V，l′與l的夾角為α(0°<α<90°)，不經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)V的平面π與圓錐面V相交，設(shè)軸l與平面π所成的角為β，則： (1)當(dāng)________時(shí)，平面π與圓錐面的交線為圓； (2)當(dāng)________時(shí)，平面π與圓錐面的交線為橢圓； (3)當(dāng)________時(shí)，平面π與圓錐面的交線為雙曲線； (4)當(dāng)________時(shí)，平面π與圓錐面的交線為拋物線． 【答案】(1)β＝90°　(2)α<β<90°　(3)β<α　(4)β＝α 【解析】根據(jù)定理2，知： (1)當(dāng)β＝90°時(shí)，平面π與圓錐面的交線為圓； (2)當(dāng)α<β<90°時(shí)，平面π與圓錐面的交線為橢圓； (3)當(dāng)β<α?xí)r，平面π與圓錐面的交線為雙曲線； (4)當(dāng)β＝α?xí)r，平面π與圓錐面的交線為拋物線． 7．求與圓(x＋2)2＋y2＝2外切，并且過定點(diǎn)B(2,0)的動(dòng)圓圓心M的軌跡方程． 【解析】圓(x＋2)2＋y2＝2的圓心為A(－2,0)，半徑為. 設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，則依題意，得 ?|MA|－|MB|＝. 所以點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，如圖所示． 設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b，焦距為2c，則 a＝，c＝2，所以b2＝. 所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為－＝1. 8．設(shè)正圓錐的頂角(圓錐軸截面上兩條母線的夾角)為120°，當(dāng)正圓錐的截面與軸成45°角時(shí)，求截得的二次曲線的形狀及離心率． 【解析】由題意知，α＝60°，β＝45°，滿足β<α，這時(shí)截面截圓錐所得的交線是雙曲線，其離心率e＝＝＝＝. 能力提升 9．我們已經(jīng)知道方程C：＋＝1(a>b>0)表示長軸在x軸上的橢圓，如圖所示，試根據(jù)方程的特征，探求橢圓的一些幾何性質(zhì)． 【解析】橢圓的一些幾何性質(zhì)如下： (1)范圍：－a≤x≤a，－b≤y≤b； (2)對(duì)稱性：對(duì)稱軸是x軸和y軸，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O； (3)頂點(diǎn)：橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為：A1(－a,0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，其中，A1A2叫長軸，B1B2叫短軸，且|A1A2|＝2a，|B1B2|＝2b； (4)離心率：e＝(0<e<1)； (5)準(zhǔn)線：x＝±. - 4 -