標準仿真模擬練（二） (120分鐘　150分) 第Ⅰ卷 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要求的) 1.設(shè)集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},則(?RS)∪T= (　　) A.(-2,1] B.(-∞,-4] C.(-∞,1] D.[1,+∞) 【解析】選C.因為S={x|x>-2},所以?RS={x|x≤-2},而T={x|x2+3x-4≤0}={x|-4≤x≤1}, 所以(?RS)∪T={x|x≤1}. 2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i,則= (　　) A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i 【解析】選C.設(shè)z=a+bi(a,b∈R), 由題意知,=i,所以1+2i=ai-b, 則a=2,b=-1,所以z=2-i,=2+i. 3.若tan=-3,則cos2α+2sin 2α= (　　) A. B.1 C.- D.- 【解析】選A.tan(α+)==-3,解得tan α=2, cos2α+2sin 2α===. 4.在等比數(shù)列{an}中,a3=7,前3項之和S3=21,則公比q的值為 (　　) A.1 B.- C.1或- D.-1或 【解析】選C.根據(jù)已知條件得所以=3,即2q2-q-1=0,解得q=1或q=-. 5.方程x+lg x=3的解x0∈ (　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) 【解析】選C.若x∈(0,1),則lg x<0,則x+lg x<1;若x∈(1,2),則0<lg x<1,則1<x+lg x<3;若x∈(2,3),則0<lg x<1,則2<x+lg x<4;若x>3,lg x>0,則x+ lg x>3. 6.函數(shù)f(x)=的圖象關(guān)于原點對稱,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函數(shù),則a+b= (　　) A.1 B.-1 C.- D. 【解析】選D.函數(shù)f(x)關(guān)于原點對稱,且當x=0時,f(x)有意義.所以f(0)=0,得a=1.又g(x)為偶函數(shù), 所以g(-1)=g(1),得b=-.所以a+b=. 7.分別在區(qū)間[1,6]和[1,4]內(nèi)任取一個實數(shù),依次記為m和n,則m>n的概率為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.如圖,則在區(qū)間[1,6]和[1,4]內(nèi)任取一個實數(shù), 依次記為m和n,則(m,n)表示的圖形面積為3×5=15, 其中滿足m>n,即在直線m=n右側(cè)的點表示的圖形面積為:×(2+5)×3=,故m>n的概率P==. 8.定義d(a,b)=|a-b|為兩個向量a,b間的“距離”.若向量a,b滿足:①|(zhì)b|=1;②a≠b;③對任意的t∈R,恒有d(a,tb)≥d(a,b).則 (　　) A.a⊥b B.a⊥(a-b) C.b⊥(a-b) D.(a+b)⊥(a-b) 【解析】選C.如圖所示,因為|b|=1,所以b的終點在單位圓上.設(shè)點B在單位圓上.點A不在單位圓上,則可用表示b,用表示a,用表示a-b.設(shè)=tb,所以d(a,tb)=||, d(a,b)=||,因為對任意t∈R,d(a,tb)≥d(a,b),所以||≥||恒成立,所以⊥,即b⊥(a-b). 9.已知x,y滿足如果目標函數(shù)z=的取值范圍為[0,2),則實數(shù)m的取值范圍為 (　　) A. B. C. D.(-∞,0] 【解析】選C.由約束條件,作出可行域如圖中陰影部分所示,而目標函數(shù)z=的幾何意義為可行域內(nèi)的點(x,y)與A(m,-1)連線的斜率,由得即B(2,-1).由題意知m=2不符合題意,故點A與點B不重合,因而當連接AB時,斜率取到最小值0.由y=-1與2x-y-2=0,得交點C,在點A由點C向左移動的過程中,可行域內(nèi)的點與點A連線的斜率小于2,因而目標函數(shù)的取值范圍滿足z∈[0,2),則m<. 10.已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A,B兩點,且|+|=|-|(其中O為坐標原點),則實數(shù)a等于 (　　) A.2 B.-2 C.2或-2 D.或- 【解析】選C.由|+|=|-|知OA⊥OB,所以由題意可得=,所以a=±2.另外也可以用畫圖直接寫出答案. 11.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),執(zhí)行程序框圖(如圖),當k=4時,輸出S=, 則= (　　) A.2 015 B.2 016 C.2 017 D.2 018 【解析】選D.由程序框圖可知,{an}是公差為1的等差數(shù)列,且+++=, 所以-+-+-+-=-=,所以-=,解得a1=2, 所以a2 017=a1+2 016d=2+2 016=2 018. 12.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,則不等式f(x)>+1(e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為 (　　) A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞) 【解析】選A.由f(x)>+1,得exf(x)>3+ex. 構(gòu)造函數(shù)F(x)=exf(x)-ex-3,得F′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)-1]. 由f(x)+f′(x)>1,ex>0,可知F′(x)>0,即F(x)在R上單調(diào)遞增. 又因為F(0)=e0f(0)-e0-3=f(0)-4=0. 所以F(x)>0的解集為(0,+∞). 第Ⅱ卷 　　本卷包含必考題和選考題兩部分.第13題～第21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22題～第23題為選考題,考生根據(jù)要求作答. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分) 13.已知點A(x1,),B(x2,)是函數(shù)y=ax(a>1)的圖象上任意不同兩點,依據(jù)圖象可知,線段AB總是位于A,B兩點之間函數(shù)圖象的上方,因此有結(jié)論>成立.運用類比思想方法可知,若點A(x1,sin x1),B(x2,sin x2)是函數(shù)y=sin x(x∈(0,π))的圖象上任意不同兩點,則類似地有____________成立.  【解析】對于函數(shù)y=ax(a>1)的圖象上任意不同兩點A,B,依據(jù)圖象可知,線段AB總是位于A,B兩點之間函數(shù)圖象的上方,因此有結(jié)論>成立;對于函數(shù)y=sin x(x∈(0,π))的圖象上任意不同的兩點A(x1,sin x1),B(x2,sin x2),線段AB總是位于A,B兩點之間函數(shù)圖象的下方,類比可知應(yīng)有<sin成立. 答案:<sin 14.如圖,在△ABC中,D是BC的中點,E,F是AD上的兩個三等分點,·=4,·=-1,則·的值是____________.  【解析】令=a,=b, 則=-b,=2a,=3a, 則=3a-b,=3a+b,=2a-b, =2a+b,=a-b,=a+b, 則·=9a2-b2,·=a2-b2, ·=4a2-b2, 由·=4,·=-1可得9a2-b2=4,a2-b2=-1, 因此a2=,b2=, 因此·=4a2-b2==. 答案: 15.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=,an+bn=1,=,n∈N+,則b2 019=______.  【解析】因為an+bn=1,a1=,所以b1=,因為bn+1=,所以bn+1===,所以-=-1,又b1=,所以=-2,所以數(shù)列是以-2為首項,-1為公差的等差數(shù)列,所以=-n-1,所以bn=.故b2 019=. 答案: 16.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,sin2A+sin2B+sin2C= 2sin Asin Bsin C且a=2,則△ABC的外接圓的半徑R=____________.  【解析】由正弦定理得a2+b2+c2=a2+b2+a2+b2-2abcos C=2absin C,即a2+b2=2absin,由于a2+b2=2absin≤2ab,又a2+b2≥2ab,所以2absin=2ab,即sin=1,故只能a=b且C+=,故△ABC為正三角形,由正弦定理得==2R,所以R=. 答案: 三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 17.(本小題滿分12分)如圖,在一條海防警戒線上的點A,B,C處各有一個水聲監(jiān)測點,B,C兩點到A的距離分別為20千米和50千米,某時刻,B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波信號,8秒后A,C同時接收到該聲波信號,已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒. (1)設(shè)A到P的距離為x千米,用x表示B,C到P的距離,并求x的值. (2)求P到海防警戒線AC的距離. 【解析】(1)依題意,有PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12, 在△PAB中,AB=20,cos∠PAB===, 同理,在△PAC中,AC=50, cos∠PAC===. 因為cos∠PAB=cos∠PAC,所以=,解得x=31. (2)作PD⊥AC于點D,在△ADP中,由cos∠PAD=,得sin∠PAD= =,所以PD=PAsin∠PAD=31×=4.故靜止目標P到海防警戒線AC的距離為4千米. 18.(本小題滿分12分)為了解人們對于國家新頒布的“生育二孩放開”政策的熱度,現(xiàn)在某市進行調(diào)查,隨機調(diào)查了50人,他們年齡頻數(shù)分布及支持“生育二孩”人數(shù)如下表: 年齡 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) 頻數(shù) 5 10 15 10 5 5 支持“生 育二孩” 4 5 12 8 2 1 (1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表,并問是否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下(有99%的把握)認為以45歲為分界點對“生育二孩放開”政策的支持度有差異: 年齡不低于 45歲的人數(shù) 年齡低于 45歲的人數(shù) 合計 支持 a= c= 不支持 b= d= 合計 (2)若對年齡在[5,15)的被調(diào)查人中隨機選取兩人進行調(diào)查,恰好這兩人都支持“生育二孩放開”的概率是多少? 參考數(shù)據(jù):P(K2≥3.841)=0.050,P(K2≥6.635)=0.010,P(K2≥10.828)=0.001. 【解析】(1)2×2列聯(lián)表 年齡不低于 45歲的人數(shù) 年齡低于 45歲的人數(shù) 合計 支持 a=3 c=29 32 不支持 b=7 d=11 18 合計 10 40 50 K2=≈6.27<6.635. 所以不能在犯錯誤的概率不超0.01的前提下(沒有99%的把握)認為以45歲為分界點對“生育二孩放開”政策的支持度有差異. (2)年齡在[5,15)中支持“生育二孩”的4人分別為a,b,c,d,不支持“生育二孩”的人記為M, 則從年齡在[5,15)的被調(diào)查人中隨機選取兩人所有可能的結(jié)果有: (a,b),(a,c),(a,d),(a,M),(b,c),(b,d),(b,M),(c,d),(c,M),(d,M). 設(shè)“恰好這兩人都支持“生育二孩””為事件A, 則事件A所有可能的結(jié)果有:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d), 所以P(A)==. 所以對年齡在[5,15)的被調(diào)查人中隨機選取兩人進行調(diào)查時,恰好這兩人都支持“生育二孩”的概率為. 19.(本小題滿分12分)如圖,△ABC為邊長為2的正三角形,AE∥CD,且AE⊥平面ABC,2AE=CD=2. (1)求證:平面BDE⊥平面BCD. (2)求棱錐D-BCE的高. 【解析】(1)如圖所示:取BD邊的中點F,BC邊的中點G,連接AG,FG,EF,由題意可知, FG是△BCD的中位線, 所以FG∥AE且FG=AE,所以四邊形AEFG是平行四邊形, 所以AG∥EF,由題意知CD⊥平面ABC, 所以AG⊥CD,又因為AG⊥BC,BC∩CD=C, 所以AG⊥平面BCD,所以EF⊥平面BCD, 又因為EF?平面BDE, 所以平面BDE⊥平面BCD. (2)過B作BM⊥AC,垂足為M,因為AE⊥平面ABC,所以AE⊥BM, 因為AC∩AE=A, 所以BM⊥平面ACDE,且BM=2×=, 所以V四棱錐B-ACDE=×(1+2)×2×=, V三棱錐E-ABC=××2××1=, 所以V三棱錐D-BCE=V四棱錐B-ACDE-V三棱錐E-ABC =-=, 因為AB=AC=2,AE=1,所以BE=CE=,又BC=2, 所以S△ECB=×2×=2, 設(shè)所求的高為h,則由等體積法得×2×h=, 所以h=. 20.(本小題滿分12分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2x-y+6=0相切. (1)求橢圓C的標準方程. (2)已知點A,B為動直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個交點,問:在x軸上是否存在定點E,使得+·為定值?若存在,試求出點E的坐標和定值;若不存在,請說明理由. 【解析】　(1)由e=,得=,即c=a, ① 又以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2+y2=a2,且該圓與直線2x-y+6=0相切,所以a==,代入①得c=2,所以b2=a2-c2=2,所以橢圓C的標準方程為+=1. (2)由得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=. 根據(jù)題意,假設(shè)x軸上存在定點E(m,0),使得+·=(+)·=·為定值, 則·=(x1-m,y1)·(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(k2+1)x1x2- (2k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2)=,要使上式為定值,即與k無關(guān),只需3m2-12m+10=3(m2-6),解得m=,此時,+·=m2-6=-, 所以在x軸上存在定點E,使得+·為定值,且定值為-. 21.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-ax2-bx. (1)當a=b=時,求f(x)的最大值. (2)令F(x)=f(x)+ax2+bx+(0<x≤3),其圖象上任意一點P(x0,y0)處切線的斜率k≤恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. (3)當a=0,b=-1,方程2mf(x)=x2有唯一實數(shù)解,求正數(shù)m的值. 【解析】(1)依題意知f(x)的定義域為(0,+∞), 當a=b=時,f(x)=ln x-x2-x, f′(x)=-x-=. 令f′(x)=0,解得x=1.(x>0) 當0<x<1時,f′(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增; 當x>1時,f′(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減. 所以f(x)的極大值為f(1)=-,此即為最大值. (2)F(x)=ln x+,x∈(0,3],則有k=F′(x0)=≤,在x0∈(0,3]上恒成立, 所以a≥,x0∈(0,3], 當x0=1時,-+x0取得最大值, 所以a≥. (3)因為方程2mf(x)=x2有唯一實數(shù)解, 所以x2-2mln x-2mx=0有唯一實數(shù)解, 設(shè)g(x)=x2-2mln x-2mx, 則g′(x)=, 令g′(x)=0,x2-mx-m=0, 因為m>0,x>0, 所以x1=<0(舍去), x2=, 當x∈(0,x2)時,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減, 當x∈(x2,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)單調(diào)遞增, 當x=x2時,g′(x2)=0,g(x)取最小值g(x2). 則即 所以2mln x2+mx2-m=0, 因為m>0,所以2ln x2+x2-1=0　(*). 設(shè)函數(shù)h(x)=2ln x+x-1,因為當x>0是,h(x)是增函數(shù),所以h(x)=0至多有一解. 因為h(1)=0,所以方程(*)的解為x2=1, 即=1,解得m=. 　　請考生在第22、23二題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分. 22.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程 點Ρ是曲線ρ=2(0≤θ≤π)上的動點,Α(2,0),ΑΡ的中點為Q. (1)求點Q的軌跡C的直角坐標方程. (2)若C上點Μ處的切線斜率的取值范圍是,求點Μ橫坐標的取值范圍. 【解析】(1)由ρ=2(0≤θ≤π),得+=4(y≥0), 設(shè)P(x1,y1),Q(x,y), 則x=,y=,即x1=2x-2,y1=2y, 代入+=4(y≥0), 得(2x-2)2+(2y)2=4,所以(x-1)2+y2=1(y≥0). (2)軌跡C是一個以(1,0)為圓心,1半徑的半圓,如圖所示, 設(shè)M(1+cos φ,sin φ),設(shè)點M處切線l的傾斜角為α,由l斜率范圍, 可得≤α≤,而φ=α-, 所以≤φ≤,所以≤1+cos φ≤, 所以,點M橫坐標的取值范圍是. 23.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講 設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-4|-a. (1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的最小值. (2)若f(x)≥+1對任意的實數(shù)x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. 【解析】 (1)當a=1時,f(x)=|x+1|+|x-4|-1≥|x+1-(x-4)|-1=4,所以f(x)min=4. (2)f(x)≥+1對任意的實數(shù)x恒成立?|x+1|+|x-4|-1≥a+對任意的實數(shù)x恒成立?a+≤4, 當a<0時,上式成立; 當a>0時,a+≥2=4, 當且僅當a=,即a=2時上式取等號,此時a+≤4成立. 綜上,實數(shù)a的取值范圍為(-∞,0)∪{2}. 16