能力升級練(四)　算法、定積分與推理證明 一、選擇題 1.01|x-1|dx=(　　) A.12 B.1 C.2 D.3 解析01|x-1|dx=01(1-x)dx=x-12x2 01=1-12=12. 答案A 2.執(zhí)行如下程序框圖,若輸入a,b,i的值分別為6,8,0,則輸出的i=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析執(zhí)行程序框圖,a=6,b=8,i=0; i=1,不滿足a>b,不滿足a=b,b=8-6=2; i=2,滿足a>b,a=6-2=4; i=3,滿足a>b,a=4-2=2; i=4,不滿足a>b,滿足a=b, 故輸出的a=2,i=4.故選B. 答案B 3.設(shè)△ABC的三邊長分別為a,b,c,△ABC的面積為S,則△ABC的內(nèi)切圓半徑為r=2Sa+b+c.將此結(jié)論類比到空間四面體:設(shè)四面體S-ABC的四個面的面積分別為S1,S2,S3,S4,體積為V,則四面體的內(nèi)切球半徑為(　　) A.VS1+S2+S3+S4 B.2VS1+S2+S3+S4 C.3VS1+S2+S3+S4 D.4VS1+S2+S3+S4 解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,球心O到四個面的距離都是R,則四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn),分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和,即V=13(S1+S2+S3+S4)R,所以R=3VS1+S2+S3+S4. 答案C 4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為(　　) A.43 B.55 C.61 D.81 解析S=1+24=25,n=24-6=18;S=25+18=43,n=18-6=12;S=43+12=55,n=12-6=6;S=55+6=61,n=6-6=0;結(jié)束循環(huán)輸出S=61,選C. 答案C 5.閱讀如圖所示的程序如圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸出的S為1112,則判斷框中填寫的內(nèi)容可以是(　　) A.n=6? B.n<6? C.n≤6? D.n≤8? 解析S=0,n=2,判斷是,S=12,n=4,判斷是,S=12+14=34,n=6,判斷是,S=12+14+16=1112,n=8,判斷否,輸出S,故填n≤6?. 答案C 6.(2018云南昆明七校調(diào)研)閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸出S的值為1,則判斷框內(nèi)為(　　) A.i>6? B.i>5? C.i≥3? D.i≥4? 解析依題意,執(zhí)行程序框圖,進(jìn)行第一次循環(huán)時,S=1×(3-1)+1=3,i=1+1=2;進(jìn)行第二次循環(huán)時,S=3×(3-2)+1=4,i=2+1=3;進(jìn)行第三次循環(huán)時,S=4×(3-3)+1=1,i=4,因此當(dāng)輸出的S的值為1時,判斷框內(nèi)為“i≥4?”,故選D. 答案D 7.(2018遼寧大連模擬)下列推理是演繹推理的是(　　) A.由于f(x)=cos x滿足f(-x)=f(x)對任意的x∈R都成立,推斷f(x)=cos x為偶函數(shù) B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的表達(dá)式 C.由圓x2+y2=1的面積S=πr2,推斷:橢圓x2a2+y2b2=1的面積S=πab D.由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì) 解析由特殊到一般的推理過程,符合歸納推理的定義;由特殊到與它類似的另一個特殊的推理過程,符合類比推理的定義;由一般到特殊的推理符合演繹推理的定義.A是演繹推理,B是歸納推理,C和D為類比推理,故選A. 答案A 8.由直線x=-π6,x=π6,y=0與曲線y=cos x所圍成的封閉圖形的面積為(　　) A.12 B.1 C.32 D.3 解析所求封閉圖形的面積為-π6π6cos xdx=sin x -π6π6=sinπ6-sin-π6=12+12=1,故選B. 答案B 9.(2018安徽合肥模擬)《聊齋志異》中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”:223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,…,則按照以上規(guī)律,若99n=99n具有“穿墻術(shù)”,則n=(　　) A.25 B.48 C.63 D.80 解析由223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,…,可得若99n=99n具有“穿墻術(shù)”,則n=92-1=80,故選D. 答案D 二、填空題 10.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入的t∈[-1,3],則輸出的S屬于區(qū)間　　　　　.  解析由程序框圖可知S=3t,t<1,4t-t2,t≥1,故當(dāng)t∈[-1,1)時,S=3t∈[-3,3);當(dāng)t∈[1,3]時S=4t-t2=-(t-2)2+4∈[3,4],所以輸入的t∈[-1,3],則輸出的S屬于區(qū)間[-3,4]. 答案[-3,4] 11.有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2.”乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1.”丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5.”則甲的卡片上的數(shù)字是　　　　　.  解析由丙說的話可知丙的卡片上的數(shù)字一定不是2和3.若丙的卡片上的數(shù)字是1和2,則乙的卡片上的數(shù)字是2和3,甲的卡片上的數(shù)字是1和3,滿足題意;若丙的卡片上的數(shù)字是1和3,則乙的卡片上的數(shù)字是2和3,此時,甲的卡片上的數(shù)字只能是1和2,不滿足題意.故甲的卡片上的數(shù)字是1和3. 答案1和3 12.已知定義在R上的函數(shù)f(x)與g(x),若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),函數(shù)g(x)為奇函數(shù),且0af(x)dx=6,則-aa[f(x)+2g(x)]dx=　　　　　.  解析∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù),函數(shù)g(x)為奇函數(shù), ∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱. ∴-aaf(x)dx=20af(x)dx=12,-aag(x)dx=0, ∴-aa[f(x)+2g(x)]dx =-aaf(x)dx+2-aag(x)dx=12. 答案12 13.(2018湖北武漢調(diào)研)一名法官在審理一起珍寶盜竊案時,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下,甲說:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙說:“我沒有作案,是丙偷的”;丙說:“甲、乙兩人中有一人是小偷”;丁說:“乙說的是事實(shí)”.經(jīng)過調(diào)查核實(shí),四人中有兩人說的是真話,另外兩人說的是假話,且這四人中只有一人是罪犯,由此可判斷罪犯是　　　　　.  解析這個問題的關(guān)鍵是四人中有兩人說真話,另外兩人說了假話,這是解決本題的突破口. 從甲、乙、丙、丁四人的供詞中,可以看出乙、丁兩人的觀點(diǎn)是一致的,因此乙、丁兩人的供詞應(yīng)該是同真或同假(即都是真話或者都是假話,不會出現(xiàn)一真一假的情況). 假設(shè)乙、丁兩人說的是真話,那么甲、丙兩人說的是假話.由乙說真話推出丙是罪犯的結(jié)論.由甲說假話推出乙、丙、丁三人不是罪犯的結(jié)論.顯然這兩個結(jié)論是相互矛盾的.所以乙、丁兩人說的是假話,而甲、丙兩人說的是真話.由甲、丙的供述內(nèi)容可以斷定乙是罪犯. 答案乙 三、解答題 14.觀察下列等式: sinπ3-2+sin2π3-2=43×1×2; sinπ5-2+sin2π5-2+sin3π5-2+sin4π5-2=43×2×3; sinπ7-2+sin2π7-2+sin3π7-2+…+sin6π7-2=43×3×4; sinπ9-2+sin2π9-2+sin3π9-2+…+sin8π9-2=43×4×5; …… 照此規(guī)律,計(jì)算sinπ2n+1-2+sin2π2n+1-2+sin3π2n+1-2+…+sin2nπ2n+1-2的結(jié)果. 解觀察前4個等式,由歸納推理可知sinπ2n+1-2+sin2π2n+1-2+…+sin2nπ2n+1-2=43n(n+1). 15.將函數(shù)f(x)=sin2x+π3的圖象向右平移2π3個單位,再將所得的函數(shù)圖象上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)與x=-π2,x=π3,x軸圍成的圖形面積. 解將f(x)=sin2x+π3的圖象向右平移2π3個單位,得y=sin2x+π6-2π3=sin2x-π2=sin(2x-π)=-sin2x的圖象,再將所得的函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到g(x)=-sinx的圖象,所以g(x)=-sinx與x=-π2,x=π3,x軸圍成的圖形面積為S=-0π3(-sin x)dx+-π20(-sin x)dx=-cos x 0π3+cos x -π20=12+1=32. 8