1,,,第八章第２部分彎曲應(yīng)力,材料力學(xué),,2,８–1引言８–2平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力８–3梁橫截面上的剪應(yīng)力８–4梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件?梁的合理截面８–5＊非對稱截面梁的平面彎曲?開口薄壁截面的彎曲中心８–6＊考慮材料塑性時的極限彎矩,第五章彎曲應(yīng)力,,,,,,,,,,８－１引言,彎曲應(yīng)力,,,,1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力,平面彎曲時橫截面s純彎曲梁(橫截面上只有M而無Q的情況)平面彎曲時橫截面t剪切彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況),彎曲應(yīng)力,,,,2、研究方法,,,,,,縱向?qū)ΨQ面,,,P1,P2,例如：,某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。,彎曲應(yīng)力,,,,,,P,P,,,,,,a,a,A,B,,,,,,,,,Q,M,x,x,純彎曲(PureBending):,,P,P,Pa,８－2平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,1.梁的純彎曲實驗,橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。,（一）變形幾何規(guī)律：,一、純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,彎曲應(yīng)力,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?橫截面上只有正應(yīng)力。,?平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，距中性軸等高處，變形相等。,（可由對稱性及無限分割法證明）,3.推論,,,,彎曲應(yīng)力,2.兩個概念,?中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。?中性軸：中性層與橫截面的交線。,,,,,4.幾何方程：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,彎曲應(yīng)力,,,,（二）物理關(guān)系：,假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應(yīng)力狀態(tài)。,,,,彎曲應(yīng)力,（三）靜力學(xué)關(guān)系：,,,,彎曲應(yīng)力,（對稱面）,……(3),,,,,,,（四）最大正應(yīng)力：,,,,彎曲應(yīng)力,……(5),,,例1受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）1——1截面上1、2兩點的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。,,,,彎曲應(yīng)力,解：?畫M圖求截面彎矩,,,,彎曲應(yīng)力,?求應(yīng)力,?求曲率半徑,,,,彎曲應(yīng)力,,８－3梁橫截面上的剪應(yīng)力,一、矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力,1、兩點假設(shè)：①剪應(yīng)力與剪力平行；②矩中性軸等距離處，剪應(yīng)力相等。,2、研究方法：分離體平衡。①在梁上取微段如圖b；②在微段上取一塊如圖c，平衡,,,,彎曲應(yīng)力,,,,,,Q(x)+dQ(x),,,M(x),,y,,M(x)+dM(x),Q(x),,,,dx,,,圖a,圖b,圖c,,,,彎曲應(yīng)力,,,,,,Q(x)+dQ(x),,,M(x),,y,,M(x)+dM(x),Q(x),,,,dx,,,圖a,圖b,圖c,由剪應(yīng)力互等,,,,彎曲應(yīng)力,,t方向：與橫截面上剪力方向相同；t大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。,二、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力,1、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計算公式亦為：,其中Q為截面剪力；Sz為y點以下的面積對中性軸之靜矩；,2、幾種常見截面的最大彎曲剪應(yīng)力,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,彎曲應(yīng)力,Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b為y點處截面寬度。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,④槽鋼：,,,,彎曲應(yīng)力,,,８－４梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件?梁的合理截面,1、危險面與危險點分析：,①一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。,,,,彎曲應(yīng)力,一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件,2、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件：,②帶翼緣的薄壁截面，最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力的情況與上述相同；還有一個可能危險的點，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。（以后講）,,,,彎曲應(yīng)力,3、強度條件應(yīng)用：依此強度準(zhǔn)則可進行三種強度計算：,4、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：,②鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核剪應(yīng)力。,①梁的跨度較短，M較小，而Q較大時，要校核剪應(yīng)力。,③各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。,,,,,、校核強度：,,,,,,,,,,,,,,彎曲應(yīng)力,解：?畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力,例2矩形(b?h=0.12m?0.18m）截面木梁如圖，[?]=7MPa，[?]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強度。,,,,彎曲應(yīng)力,A,B,L=3m,?求最大應(yīng)力并校核強度,?應(yīng)力之比,,,,彎曲應(yīng)力,,,,,解：?畫彎矩圖并求危面內(nèi)力,例3T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[?L]=30MPa，[?y]=60MPa，其截面形心位于C點，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？,4,,,,彎曲應(yīng)力,?畫危面應(yīng)力分布圖，找危險點,?校核強度,?T字頭在上面合理。,,,,彎曲應(yīng)力,,,,,A3,⊕,○,,二、梁的合理截面,,（一）矩形木梁的合理高寬比,,,,北宋李誡于1100年著營造法式一書中指出:矩形木梁的合理高寬比(h/b=)1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲學(xué)與機械技術(shù)講義一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為,,,,彎曲應(yīng)力,強度：正應(yīng)力：,剪應(yīng)力：,1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面,（二）其它材料與其它截面形狀梁的合理截面,,,,彎曲應(yīng)力,,,,彎曲應(yīng)力,工字形截面與框形截面類似。,,,,彎曲應(yīng)力,對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險截面處又上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：,,,,彎曲應(yīng)力,2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀,,,,彎曲應(yīng)力,（三）采用變截面梁，如下圖：,,最好是等強度梁，即,,若為等強度矩形截面，則高為,同時,,,８－５非對稱截面梁的平面彎曲?開口薄壁截面的彎曲中心,幾何方程與物理方程不變。,,,,彎曲應(yīng)力,依此確定正應(yīng)力計算公式。,剪應(yīng)力研究方法與公式形式不變。,,,,彎曲應(yīng)力,彎曲中心(剪力中心)：使桿不發(fā)生扭轉(zhuǎn)的橫向力作用點。（如前述坐標(biāo)原點O）,槽鋼：,,,,彎曲應(yīng)力,非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用在主慣性面內(nèi)，中性軸為形心主軸，,若是橫向力，還必須過彎曲中心。,,彎曲中心的確定:,(1)雙對稱軸截面，彎心與形心重合。,(2)反對稱截面，彎心與反對稱中心重合。,(3)若截面由兩個狹長矩形組成，彎心與兩矩形長中線交點重合。,(4)求彎心的普遍方法：,,,,彎曲應(yīng)力,,８－６考慮材料塑性時的極限彎矩,（一）物理關(guān)系為：,全面屈服后,平面假設(shè)不再成立;仍做縱向纖維互不擠壓假設(shè)。,,,,彎曲應(yīng)力,理想彈塑性材料的s-e圖,彈性極限分布圖,塑性極限分布圖,（二）靜力學(xué)關(guān)系：,（一）物理關(guān)系為：,,,,彎曲應(yīng)力,,,,彎曲應(yīng)力,[例4]試求矩形截面梁的彈性極限彎矩Mmax與塑性極限彎矩Mjx之比。,解：,,,,彎曲應(yīng)力,,41,第八章練習(xí)題一、推導(dǎo)梁彎曲正應(yīng)力公式時，采用了哪兩個假設(shè)？二、矩形截面懸臂梁在自由端作用力偶M。已知梁頂面的縱向正應(yīng)變?yōu)?.0008，試求梁軸線的曲率半徑。三、正方形截面簡支梁受均布載荷作用，若[σ]=6[τ]，試求當(dāng)梁的最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力同時達到許用應(yīng)力時，比值L/a的大小.,,彎曲應(yīng)力,,,42,四、圖示木梁的許用應(yīng)力[σ]=10MPa.試求在保證梁強度的條件下圓孔的最大直徑d(不考慮應(yīng)力集中).,,彎曲應(yīng)力,,,43,本章結(jié)束,,