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1、第五章彎曲應(yīng)力,,,目錄,第五章彎曲應(yīng)力,,,5-2純彎曲時的正應(yīng)力,5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力,5-4彎曲切應(yīng)力,5-6提高彎曲強度的措施,目錄,5-1純彎曲,回顧與比較,內(nèi)力,應(yīng)力,,,目錄,5-1純彎曲,彎曲時，截面上的分布內(nèi)力系可以合成為剪力Fs、彎矩M。,平面對稱彎曲：梁有縱向?qū)ΨQ面，外力作用在此面內(nèi)，梁的變形對稱于縱向?qū)ΨQ面。,純彎曲,梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力－－純彎曲,梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力－－橫力彎曲,,,5-1純彎曲,目錄,5-2純彎曲時的正應(yīng)力,一、變形幾何關(guān)系,5-2純彎曲時的正應(yīng)力,,平面假設(shè)：橫截面變形后保持為平面，且仍然垂直于變形后的梁軸線，只是繞

2、截面內(nèi)某一軸線偏轉(zhuǎn)了一個角度。,單向受力假設(shè)：縱向纖維只承受單向拉、壓，相互之間沒有擠壓。,,（b）必然有一層纖維既不伸長，也不縮短，稱為中性層。,內(nèi)部變形,將梁視為無數(shù)平行底面的縱向纖維層（垂直縱向?qū)ΨQ面），則：,（a）每層上的各條纖維伸、縮量相等。（同層上的纖維條受力相同）,,純彎曲變形的特點：橫截面繞中性軸產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動。,中性層與橫截面的交線為中性軸。,中性軸z垂直與梁的縱向?qū)ΨQ面（加載平面）。,,,,,5-2純彎曲時的正應(yīng)力,目錄,建立坐標,(a),橫截面內(nèi)正應(yīng)力的分布,此式不能用于求應(yīng)力，ρ未知。,(b),胡克定理,二、物理關(guān)系,,,中性軸過形心,截面對z軸的慣性矩,橫截面上法向分布

3、力系可以簡化為FN、My、Mz,dA,彎曲變形基本公式,EIz：截面抗彎剛度,yz為形心主軸,三、靜力學(xué)關(guān)系,彎曲正應(yīng)力公式,σ——橫截面上距中性軸為y的點的應(yīng)力。,M——橫截面上的彎矩。,Iz——橫截面對中性軸z的慣性矩。,M、y代絕對值，應(yīng)力為拉應(yīng)力或壓應(yīng)力由彎矩方向確定。,與中性軸距離相等的點，正應(yīng)力相等；,正應(yīng)力大小與其到中性軸距離成正比；,中性軸上,正應(yīng)力等于零,,應(yīng)力分布圖,,,,,,,,,,,,,常見截面的IZ和WZ,圓截面,矩形截面,空心圓截面,空心矩形截面,,,5-2純彎曲時的正應(yīng)力,目錄,5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力,,,目錄,彈性力學(xué)精確分析表明，當跨度l與橫截面高度h之比l

4、/h>5（細長梁）時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力彎曲近似成立。,橫力彎曲,橫力彎曲正應(yīng)力公式,橫力彎曲最大正應(yīng)力,,,目錄,5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力,細長梁的純彎曲或橫力彎曲,橫截面慣性積IYZ=0,彈性變形階段,公式適用范圍,彎曲正應(yīng)力強度條件,1.等截面梁彎矩最大的截面上,2.離中性軸最遠處,4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，兩方面都要考慮,3.變截面梁要綜合考慮與,,,目錄,5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力,利用強度條件，可以進行三方面強度計算。,（1）校核強度；,（2）設(shè)計幾何尺寸；,（3）確定許可載荷；,解題思路：,（1）外力分析（一般要求反力）；,（2）內(nèi)力分析（要畫內(nèi)力圖）；,（3）應(yīng)力分析

5、與強度計算。,確定許可載荷應(yīng)先設(shè)定單位,,解：,（1）作彎矩圖，求最大彎矩。,（2）最大應(yīng)力。,在固定端。,固定端截面彎矩為負，截面上半部受拉，下半部受壓。,,,,,1.C截面上K點正應(yīng)力,2.C截面上最大正應(yīng)力,3.全梁上最大正應(yīng)力,4.已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρ,1.求支反力,（壓應(yīng)力）,解：,,,例題5-1,目錄,5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力,2.C截面最大正應(yīng)力,C截面彎矩,C截面慣性矩,,,目錄,5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力,3.全梁最大正應(yīng)力,最大彎矩,截面慣性矩,,,目錄,5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力,4.C截面曲率半徑ρ,C截面彎矩,C截面慣性矩,,,目錄,5-3橫力彎曲時的

6、正應(yīng)力,例題5－2、T字形截面鑄鐵梁受力及截面尺寸如圖所示，已知材料的許用拉應(yīng)力[?t]=40MPa，許用壓應(yīng)力[?C]=80MPa，該校核該梁的強度。,解：,（1）求反力,畫彎矩圖,3.5kN,13.5kN,,,,,,,（2）確定截面幾何性質(zhì),?求形心的位置,?求截面對形心軸z的慣性矩,Iz=7.64?106mm4,,,Iz=7.64?106mm4,正彎矩段：上壓、下拉，最大拉壓應(yīng)力發(fā)生在C截面（M+max）,負彎矩段：上拉、下壓，最大拉壓應(yīng)力發(fā)生在B截面（M-max）,梁上最大拉、壓應(yīng)力,例7-2,要求校核強度。,強度滿足要求。,5-4彎曲切應(yīng)力,,,目錄,分幾種截面形狀討論彎曲切應(yīng)力,一

7、、矩形截面梁,1、橫截面上各點的切應(yīng)力方向平行于剪力,2、切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布,關(guān)于切應(yīng)力的分布作兩點假設(shè)：,5-4彎曲切應(yīng)力,,,目錄,根據(jù)微段靜力平衡方程和切應(yīng)力互等定理可以推導(dǎo)出橫截面上距離中性軸為y的橫線上的切應(yīng)力為,Sz*—距中性軸為y的直線一側(cè)的面積對中性軸的靜矩。,Fs—截面上的剪力；,Iz—截面的對中性軸z的慣性矩；,b—截面上承受切應(yīng)力的寬度；,,討論1、沿高度方向呈拋物線分布；2、中性軸上切應(yīng)力最大；3、梁上下表面處切應(yīng)力為零。,,矩形截面上的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力1.5倍；,,5-4彎曲切應(yīng)力,二、圓形截面梁,Fs,腹板是一狹長矩形，關(guān)于矩形截面的切應(yīng)力的假設(shè)仍然成立

8、。,只討論腹板上的切應(yīng)力,三、工字形截面,腹板上切應(yīng)力近似均布，且承受了整個截面上97%的剪力。,中性軸上,在整個截面上,解：,最大彎矩,最大正應(yīng)力,最大切應(yīng)力,各個截面的剪力,若l＝5h，則?max＝0.05?max,可見，最大切應(yīng)力遠小于最大正應(yīng)力。,實心截面梁正應(yīng)力與切應(yīng)力比較,對于直徑為d的圓截面,5-4彎曲切應(yīng)力,,,目錄,（l為梁的跨度）,實心截面梁正應(yīng)力與切應(yīng)力比較,對于寬為b、高為h的矩形截面,5-4彎曲切應(yīng)力,,,目錄,（l為梁的跨度）,對于細長梁，控制因素為正應(yīng)力。一般滿足了正應(yīng)力強度條件，就滿足切應(yīng)力強度條件。,梁的跨度較短（l/h<5），彎矩小、剪力大的梁，例如在支座附

9、近作用較大載荷（載荷靠近支座）；鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力強度。薄壁截面梁,有些情況必須考慮彎曲切應(yīng)力,彎曲切應(yīng)力強度校核,一般而言，對于等直梁，梁上的最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力最大截面的中性軸上，且,型鋼可查表,是中性軸一側(cè)的面積對中性軸的靜矩。,切應(yīng)力強度條件：,梁上的最大切應(yīng)力?max≤[?],例題4-10圖示梁為工字型截面，跨長2a=4m、q=25KN/m；材料許用應(yīng)力[s]=160MPa，[t]=100MPa。試選擇工字鋼型號。,2、內(nèi)力分析——確定Fsmax、Mmax,解：1、外力分析——支反力,,,,

10、(-),3、按正應(yīng)力強度條件選型鋼,查表選32a工字鋼,4、校核切應(yīng)力,,因此，設(shè)計梁的主要依據(jù)是彎曲正應(yīng)力強度條件。,梁的合理設(shè)計可從以下幾個方面考慮：,提高梁抗彎能力，也就是用盡可能少的材料，使梁承受盡可能大的載荷；或在載荷一定的情況下，減小最大應(yīng)力，減小破壞的可能性。,1、合理安排梁的受力(降低最大彎矩）,2、選用合理的截面(增大彎曲截面系數(shù)）,3、采用變截面梁,,理論和實驗證明：,5-6提高彎曲強度的措施,1、合理安排梁的受力,（1）合理安排載荷,（2）分散載荷(從使用方案考慮),（3）調(diào)整支座位置（從設(shè)計角度）,(降低最大彎矩）,（1）合理安排載荷,1、合理安排梁的受力,(降低最大彎

11、矩）,（2）分散載荷(從使用方面考慮),1、合理安排梁的受力(降低最大彎矩）,若：,,（3）調(diào)整支座位置（從設(shè)計角度）,1、合理安排梁的受力(降低最大彎矩）,合理的支座位置應(yīng)使最大正彎矩和最大負彎矩數(shù)值相等。,合理布置支座位置，使Mmax盡可能小。,移動支座后，可降低梁內(nèi)的最大彎矩。,雙杠,,,當人在兩支座中點時，,當人在自由端點時，,合理的設(shè)計應(yīng)使：,（1）在面積相等（即用材相等）的情況下，盡量增大彎曲截面系數(shù)。,2、選用合理的截面,即用最少的材料獲取最好的抗彎效果。,矩形截面梁豎放比平放抗彎效果好。,（2）在滿足所需彎曲截面系數(shù)的前提下，選擇適當截面，盡量減少面積，以達到減輕自重節(jié)約材料的

12、目的。,d=137,250000,3950,20b號h＝200,250000,10400,b=72h=144,250000,要求的Wz（mm3）,截面形狀,所需尺寸（mm）,14800,截面面積（mm2）,,采用關(guān)于中性軸對稱的截面,采用關(guān)于中性軸不對稱的截面,塑性材料,脆性材料,可調(diào)整各部分尺寸，使,（3）合理截面要符合材料的力學(xué)性能,理想情況：,,,3、采用變截面梁,以危險截面的彎矩設(shè)計梁的截面，而在其他截面的彎矩較小，材料不能被充分利用。,從強度的角度來看，如果在彎矩大的部位采用較大的截面，彎矩較小的部位采用較小的截面，就比較合理。截面尺寸沿梁軸線變化的梁叫變截面梁。,若各個截面上的最大應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力，這種梁叫等強度梁。,設(shè)截面寬度不變，高度隨截面位置變化，,則：,由,得,例:設(shè)計等強度矩形截面懸臂梁。,由,得,由于等強度梁加工困難，因此采用近似的、便于加工的變截面梁。,汽車疊板彈簧,,,目錄,小結(jié),,,1、了解純彎曲梁彎曲正應(yīng)力的推導(dǎo)方法,2、熟練掌握彎曲正應(yīng)力的計算、彎曲正應(yīng)力強度條件及其應(yīng)用,3、了解提高梁強度的主要措施,目錄,