八年級數(shù)學暑假專題 三角形的中位線 魯教版 【本講教育信息】 一、教學內(nèi)容： 專題1：三角形的中位線 二、知識點 1. 三角形中位線的定義。 如圖1，連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。 圖1 2. 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。 如圖1，△ABC中，DE是中位線，則有DE∥BC，。 3. 三角形中位線定理的證明 教材上的證明方法如圖2所示，延長DE到點F，使EF=DE， 圖2 連接CF，進一步證明四邊形DBCF是平行四邊形。 下面介紹幾種其他的證明方法。 （1）運用相似三角形進行證明： 在圖1中，由于，∠A=∠A，所以△ADE∽△ABC。因此∠ADE=∠B， 所以DE∥BC，。 （2）運用同一法進行證明： 如圖3，過點D作DF∥BC，交AC于點F，則有 圖3 ∠ADE=∠B，∠AFD=∠C，因此△ADF∽△ABC 所以，，因為，所以，即點F是AC的中點，因此點E與點F重合。所以DE與DF重合。因此DE∥BC，。 （3）在三角形內(nèi)部構(gòu)建平行四邊形進行證明 如圖4，作EF∥AB，交BC于點F，易得△CEF∽△CAB。 圖4 因為點E是AC的中點，所以。 因此點F是BC的中點，，又因為EF∥AB， 圖4 所以四邊形DBFE是平行四邊形。所以DE∥BC，. 4. 三角形中位線的判定方法 （1）三角形中位線的定義是判定的主要方法。 （2）如圖5，運用定理“過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線平分第三邊”來判定線段是三角形的中位線. 圖5 已知，△ABC中，點D是AB的中點，DE∥BC，試說明線段 DE是△ABC的中位線。 由于DE∥BC，易得△ADE∽△ABC。 因此，，即點E是邊AC的中點，因此，線段DE是△ABC的中位線。 5. 三角形中位線定理的應用 （1）證明線段平行 （2）證明線段之間的等量關系。 三、重點難點 重點：三角形中位線定理的證明及其應用 難點：對構(gòu)建三角形的中位線定理的圖形進行證明。 四、考點分析 三角形的中位線定理的應用很廣泛，是三角形的重要性質(zhì)。它是證明線段平行、線段相等的重要方法。另外，生活中的實際測量問題，也能發(fā)揮三角形中位線的作用。因此，三角形的中位線是中考題經(jīng)常關注的知識點。 【典型例題】 例1. 如圖，DE是△ABC的中位線，圖（1）是沿DE將△ADE折疊，圖（2）是繞點E將△ADE順時針旋轉(zhuǎn)180°。 （1）在圖（1）中，點是否落在BC上？△和△有什么特點？ （2）在圖（2）中，四邊形有什么特點？ 圖（1） 圖（2） 分析：圖（1）中，由于DE是△ABC的中位線，點A和點關于DE對稱，因此點應落在BC上，圖（2）中，繞點E將△ADE順時針旋轉(zhuǎn)180°，點在同一直線上。由于DE∥BC，，因此，∥BC，= BC，四邊形是平行四邊形。 解：（1）在圖（1）中，點是落在BC上，△和△都是等腰三角形。 由于AD=BD，，因此.（或者由于DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠=∠，由于∠ADE=∠，所以∠B=∠，因此。） 圖（1） 圖（2） （2）圖（2）中，繞點E將△ADE順時針旋轉(zhuǎn)180°，點在同一直線上。由于DE∥BC，，因此，∥BC，= BC，四邊形是平行四邊形。 評析：三角形的中位線是三角形的一條重要線段，沿中位線折疊或繞點旋轉(zhuǎn)都可以把三角形轉(zhuǎn)化成其他的特殊圖形。 例2. 如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點， 求證：（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） 分析：教材上是通過構(gòu)建矩形，然后利用矩形的性質(zhì)進行證明。 因為點D是斜邊的中點，也可以利用三角形的中位線定理證明這個問題。 證明：方法一、構(gòu)造矩形完成證明： 如圖，延長CD到點E，使DE=CD，連接AE和BE。 由于AD=BD，所以四邊形ACBE是平行四邊形， 又因為∠ACB=90°，所以ACBE是矩形。所以CE=AB， 由于，所以。 方法二、構(gòu)造三角形的中位線完成證明： 延長BC到點E使CE=BC，連接AE?！唿cD是AB的中點，點C是BE的中點， ∴CD是△BAE的中位線，∴. 在△ACE與△ACB中， ∵AC=AC，CE=BC，∠ACB =∠ACE=90°， ∴△ACE≌△ACB（SAS）。∴AE=AB，∴。 評析：見到三角形邊的中點以及線段之間成倍數(shù)關系時，可以考慮構(gòu)造三角形的中位線，利用中位線定理解決問題。 拓展：如圖，△ABC中，點D是AB的中點，。求證：∠ACB=90° 例3. 如圖，ABCD中，E、F分別是AD、BC邊上的點，AE=BF，AF與BE相交于點M， CE與DF相交于點N. 求證：MN∥BC. 分析：從要證明的結(jié)論可以看到MN與BC的關系很像三角形的中位線與三角形的第三邊之間的關系。因此，應考慮證明點M、N分別是EB和EC的中點。 證明：如圖，連接EF，在ABCD中， AD=BC，AD∥BC， ∵AE=BF，∴DE=CF ∴四邊形ABFE和四邊形EFCD都是平行四邊形。 ∴點M、N分別是EB和EC的中點。 ∴MN是△EBC的中位線。 ∴MN∥BC. 評析：本題借助平行四邊形的性質(zhì)，通過證明三角形的中位線，然后利用中位線定理證明結(jié)論。 例4. 如圖，四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AC=BD，M、P、N分別是邊AB、BC、CD的中點，Q是MN的中點， （1）求證：PQ⊥MN； （2）判定△OEF的形狀. 分析：本題出現(xiàn)的線段中點比較多，考慮運用三角形的中位線定理解決問題。 證明：（1）如圖，連接PM和PN， ∵M、P分別是邊AB、BC的中點，∴PM是△BAC的中位線。 ∴PM∥AC，。 同理，PN∥BD，. ∵AC=BD，∴PM=PN . ∵Q是MN的中點，∴PQ⊥MN. （2）△OEF是等腰三角形。 ∵PM∥AC，PN∥BD，∴∠OFE =∠PMN，∠OEF =∠PNM。 ∵PM=PN，∴∠PMN =∠PNM， ∴∠OFE =∠OEF， ∴△OEF是等腰三角形。 評析：綜合利用三角形的中位線定理和等腰三角形的性質(zhì)解決問題。 【本講思想方法】 本講的重點內(nèi)容就是三角形的中位線定理及其應用，基本的思想是借助輔助線構(gòu)造三角形中位線定理圖形達到轉(zhuǎn)化、利用的目的。 【模擬試題】（答題時間：60分鐘） 一、選擇題 *1. 點D、E分別是△ABC的邊AB和AC上的點，下列說法不正確的是（ ） A、若點D、E分別是AB和AC的中點，則 B、若點D是AB的中點，DE∥BC，則點E也是AC的中點。 C、若點D是AB的中點，，則DE∥BC。 D、若DE∥BC，，則點D、E分別是AB和AC的中點。 2. 如圖，已知，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點，下列說法中不正確的是（ ） A、四邊形EFGH是平行四邊形。 B、若AC=BD，則四邊形EFGH是菱形。 C、若AC⊥BD，則四邊形EFGH是矩形。 D、四邊形EFGH的形狀不能確定。 3. 如圖，依次取三角形三邊的中點組成三角形，最大三角形的周長是20cm，最小三角形的周長是（ ） A、10cm B、5cm C、3cm D、2cm **4. 如圖，△ABC 中，AB=8cm，AC=6cm，點E是BC的中點，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，線段DE的長為（ ） A、1cm B、2 cm C、3 cm D、4cm *5. 如圖，點D、E分別是△ABC的邊AB和AC的中點， BE和CD相交于點F，則DF：DC等于（ ） A、1：2 B、1：3 C、2：3 D、3：4 二、填空題 6. 如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點，E、F分別是AB和CD的中點，AD=BC，∠PEF=18°，則∠PFE的度數(shù)是 。 7. 如圖，△ABC中，D、E、F分別是邊BC、CA、AB的中點，AB=7cm， AC=5cm ，則四邊形AFDE的周長等于 。 *8. 如圖，矩形ABCD，P、G分別是BC和CD上的點，E、F分別是AP和GP的中點，如果DG=3，AD=4，則EF的長為 。 9. 順次連接等腰梯形四邊中點得到的四邊形的形狀是 。 三、解答題 10. 如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點， E、F分別是AC和BC的中點。 求證：CD=EF. *11. 如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是兩底的中點。 求證：。 【試題答案】 一、選擇題 1. C 2. D 3. B 4. A（提示：延長CD交AB于點F） 5. B 二、6. 18° 7. 12cm 8. 2.5 9. 菱形 三、10. 證明：∵E、F分別是AC和BC的中點，∴ ∵∠ACB=90°，點D是AB的中點，∴. ∴CD=EF。 11. 證明：如圖，連接BD，取BD的中點 M，連接ME和MF。 ∵M、E分別是BD、AD的中點， ∴ME是△ABD的中位線。 ∴， 同理，. 在△MEF中，∵ME+MF>EF， ∴ME+MF=+=（+）>EF