第一講 柱、錐、臺、球體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積 一、知識回顧 知識點1：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，如面ABCD；相鄰兩個面的公共邊叫多面體的棱，如棱AB；棱與棱的公共點叫多面體的頂點，如頂點A. 知識點2：由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫旋轉(zhuǎn)體，這條 面 頂點 棱 定直線叫旋轉(zhuǎn)體的軸. 軸 知識點3：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的 公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.（兩底面之間的距離叫棱柱的高）；①按底面多邊形的邊數(shù)來分，三棱柱、四棱柱、五棱柱…②按照側(cè)棱是否和底面垂直，棱柱可分為斜棱柱和直棱柱.③用表示底面各頂點的字母表示棱柱，如圖中棱柱表示為棱柱—. 知識點4：有一個面是多邊形，其余各個面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.頂點到底面的距離叫做棱錐的高；棱錐也可以按照底面的邊數(shù)分為三棱錐（四面體）、四棱錐…等等，棱錐可以用頂點和底面各頂點的字母表示，如圖中的棱錐. 知識點5：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分形成的幾何體 叫做棱臺.原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面.其余各面是棱臺的側(cè)面， 相鄰側(cè)面的公共邊叫側(cè)棱，側(cè)面與兩底面的公共點叫頂點.兩底面間的距離叫棱臺的高. 知識點6：1. 平行六面體:底面是平行四邊形的四棱柱； 正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱； 3. 正棱錐：底面是正多邊形并且頂點在底面的射影是底面正多邊形中心的棱錐； 4. 正棱臺：由平行與正棱錐底面的平面截正棱錐得的棱臺叫做正棱臺. 知識點7：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體，叫做圓柱，旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線，如圖所示： 圓柱用表示它的軸的字母表示，圖中的圓柱可表示為 .圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體. 知識點8：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓錐.圓錐也用表示它的軸的字母表示.棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體. 知識點9：圓柱、圓錐的軸截面：過圓柱或圓錐軸的平面與圓柱或圓錐相交得到的平面形狀，通常圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是三角形. 知識點10：直角梯形以垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓臺.用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的部分也是圓臺. 圓臺和圓柱、圓錐一樣，也有軸、底面、側(cè)面、母線， 棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體. 知識點11：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑；球通常用表示球心的字母表示，如球. 知識點12：由具有柱、錐、臺、球等簡單幾何體組合而成的幾何體叫簡單組合體.現(xiàn)實生活中的物體大多是簡單組合體.簡單組合體的構(gòu)成有兩種方式：由簡單幾何體拼接而成；由簡單幾何體截去或挖去一部分而成. 知識點13：（.表面積是幾何體表面的面積，表示幾何體表面的大小；體積是幾何體所占空間的大小. 知識點14：棱柱、棱錐、棱臺都是多面體，它們的表面積就是其側(cè)面展開圖的面積加上底面的面積. 知識點15：（1）設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓柱的側(cè)面積（矩形）加上底面積（兩個圓），即. （2）設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓錐的側(cè)面積（扇形）加上底面積（圓形），即. （3）設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為，，母線長為，則它的表面積等上、下底面的面積（大、小圓）加上側(cè)面的面積（扇環(huán)），即 .知識點16：柱體體積公式為：， 錐體體積公式為：，（為底面積，為高） 臺體體積公式為：（，分別為上、下底面面積，為高） 補充：柱體的高是指兩底面之間的距離；錐體的高是指頂點到底面的距離；臺體的高是指上、下底面之間的距離. 知識點17： 球的體積公式 球的表面積公式 （為球的半徑） 三、典型例題 例1、 如圖所示，三棱錐的頂點為，是它的三條側(cè)棱,且三線兩兩垂直，又，，求三棱錐的表面積S與體積. 小結(jié)：求解三棱錐(四面體) 體積時，它的每一個面都可以當(dāng)作底面來處理. 例2、 粉碎機的上料斗是正四棱臺形狀，它的上、下底面邊長分別為80、440，高(上下底面的距離)是200,制造這樣一個下料斗所需鐵板的面積.它的容積是多少？ 例3、 已知一個圓錐的底面半徑為,高為,在其中有個高為的內(nèi)接圓柱. (1) 求圓柱的側(cè)面積； （2） 為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？ 例4 如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑(即圓柱內(nèi)有一內(nèi)切球)，求證 （1）球的體積等于圓柱體積的； （2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積. B C A D 4 5 2 例5、.如圖，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積. 例6、.圓錐的底面半徑為，母線長，為的中點，一個動點 自底面圓周上的點沿圓錐側(cè)面移動到，求這點移動的最短距離. (在中,邊分別為,所對角為,則有) 三、課堂練習(xí) 1. 如果圓錐的軸截面是正三角形,則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比是_____________. 2. 棱臺不具有的性質(zhì)是（ ）. A.兩底面相似 B.側(cè)面都是梯形 C.側(cè)棱都相等 D.側(cè)棱延長后都交于一點 3. 已知圓錐的全面積是底面積的倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角______度. 4. 已知圓臺的上、下底面半徑和高的比為︰4︰4,母線長為10,則圓臺的側(cè)面積為___________. 5. 一個斜棱柱的的體積是30，和它等底等高的棱錐的體積為________. 6. 各棱長均為的三棱錐中，任意一個頂點到其對應(yīng)面的距離為（ ）. A. B. C. D. 7. 記與正方體各個面相切的球為，與各條棱相切的球為，過正方體各頂點的球為則這3個球的體積之比為（ ）. A.1:2:3 B.1:: C.1:: D.1:4:9 8. 已知球的一個截面的面積為9π，且此截面到球心的距離為4，則球的表面積為__________. 9．長方體的一個頂點上的三條棱長為3、、，若它的八個頂點都在同一個球面上，求出此球的表面積和體積. 10. 正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點都在同一個球面上，則該球的體積為多少? 四、總結(jié)提升 1. 多面體、旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)概念； 2. 棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征及簡單的幾何性質(zhì). 3. 圓柱、圓錐、圓臺、球的幾何特征及有關(guān)概念； 4. 棱柱、棱錐、棱臺及圓柱、圓錐、圓臺的表面積計算公式； 五、課后作業(yè) F E C B A D 1. 在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，現(xiàn)在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點重合，重合后的點記為.問折起后的圖形是個什么幾何體？它每個面的面積是多少？體積是多少？ 2.有一堆規(guī)格相同的鐵制(鐵的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六邊形，邊長為12，內(nèi)孔直徑為10，高為10，問這堆螺帽大約有多少個(取3.14). 3. 一個圓臺上下底面半徑分別為5、10，母線=20.一只螞蟻從的中點繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到下底面圓周上的點，求螞蟻爬過的最短距離. 4．若三個球的表面積之比為﹕﹕，則它們的體積之比為多少?