L 豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動和能量綜合題 1、如圖，固定于小車上的支架上用細(xì)線懸掛一小球．線長為L．小車以速度V0做勻速直線運(yùn)動，當(dāng)小車突然碰到障障礙物而停止運(yùn)動時．小球上升的高度的可能值是． ( ) A. 等于 B. 小于 C. 大于 D等于2L 2、長為L的輕繩的一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一個質(zhì)量為m的小球，先令小球以O(shè)為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，小球能通過最高點(diǎn)，如圖則（ ） A．小球通過最高點(diǎn)時速度可能為零 B．小球通過最高點(diǎn)時所受輕繩的拉力可能為零 C．小球通過最低點(diǎn)時速度大小可能等于 D．小球通過最低點(diǎn)時所受輕繩的拉力一定不小于6mg 3、如圖所示，O點(diǎn)離地面高度為H，以O(shè)點(diǎn)為圓心，制作一半徑為R的四分之一光滑圓弧軌道，小球從與O點(diǎn)等高的圓弧最高點(diǎn)滾下后水平拋出，試求： ⑴小球落地點(diǎn)到O點(diǎn)的水平距離S； ⑵要使這一距離最大，R應(yīng)滿足什么條件？最大距離為多少？ （1）s= （2）R=時，s最大， 最大水平距離為smax=H 解析: （1）小球在圓弧上滑下過程中受重力和軌道彈力作用，但軌道彈力不做功，即只有重力做功，機(jī)械能守恒，可求得小球平拋的初速度v0. 根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mgR= 設(shè)水平距離為s，根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律可得s=. （2）因H為定值，則當(dāng)R=H-R，即R=時，s最大， 最大水平距離為smax==H 4、（10分）如圖7所示，質(zhì)量m=2kg的小球，從距地面h=3.5m處的光滑斜軌道上由靜止開始下滑，與斜軌道相接的是半徑R=1 m的光滑圓軌道，如圖所示，試求：（1）小球滑至圓環(huán)頂點(diǎn)時對環(huán)的壓力； 圖7 （2）小球應(yīng)從多高范圍內(nèi)由靜止滑下才能使小球不脫離圓環(huán)。 （）（1）40N　　　?。?）h≥2.5m或h≤1m 圖6 5.如圖6所示，和為兩個對稱斜面，其上部足夠長，下部分分別與一個光滑的圓弧面的兩端相切，圓弧圓心角為120°，半徑＝2.0ｍ，一個質(zhì)量為＝1ｋｇ的物體在離弧高度為＝3.0ｍ處，以初速度4.0ｍ／ｓ沿斜面運(yùn)動，若物體與兩斜面間的動摩擦因數(shù)＝0.2，重力加速度＝10ｍ／ｓ2，則 （1）物體在斜面上（不包括圓弧部分）走過路程的最大值為多少？ （2）試描述物體最終的運(yùn)動情況． （3）物體對圓弧最低點(diǎn)的最大壓力和最小壓力分別為多少？ 5、解： （1）物體在兩斜面上來回運(yùn)動時，克服摩擦力所做的功---（1分） 物體從開始直到不再在斜面上運(yùn)動的過程中----------（2分） 解得ｍ-----------------------------------------------------（3分） (2)物體最終是在、之間的圓弧上來回做變速圓周運(yùn)動，----------------（4分） 且在、點(diǎn)時速度為零。--------------------------------------------（5分） （3）物體第一次通過圓弧最低點(diǎn)時，圓弧所受壓力最大．由動能定理得 -----------（7分） 由牛頓第二定律得 ---------------------------------（8分） 解得 N．-----------------------------------------------（9分） 物體最終在圓弧上運(yùn)動時，圓弧所受壓力最小．由動能定理得 --------------------------------------------（10分） 由牛頓第二定律得----------------------------------（11分） 解得N．---------------------------------------------------（12分） D A B O C 6.如圖所示，水平軌道AB與位于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓形光滑軌道BCD相連，半圓形軌道的BD連線與AB垂直。質(zhì)量為m的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）在恒定外力作用下從水平軌道上的A點(diǎn)由靜止開始向左運(yùn)動，到達(dá)水平軌道的末端B點(diǎn)時撤去外力，小滑塊繼續(xù)沿半圓形光滑軌道運(yùn)動，且恰好通過軌道最高點(diǎn)D，滑塊脫離半圓形軌道后又剛好落到A點(diǎn)。已知重力加速度為g。求： （1）滑塊通過D點(diǎn)的速度大??； （2）滑塊經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時對軌道的壓力大?。? （3）滑塊在AB段運(yùn)動過程中的加速度大小。 6、解：（1）設(shè)滑塊恰好通過最高點(diǎn)D的速度為vD，根據(jù)牛頓第二定律有 mg=mvD2/R 解得：vD= （2）滑塊自B點(diǎn)到D點(diǎn)的過程機(jī)械能守恒，設(shè)滑塊在B點(diǎn)的速度為vB，則有 mvB2=mvD2+mg2R，解得：vB2=5gR 設(shè)滑塊經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時所受的支持力為NB，根據(jù)牛頓第二定律有 NB-mg=mvB2/R 解得 NB=6mg 由牛頓第三定律可知，滑塊經(jīng)過B點(diǎn)時對軌道的壓力大小NB′=6mg （3）對于滑塊自D點(diǎn)平拋到A點(diǎn)，設(shè)其運(yùn)動時間為t，則有 2R=gt2，sAB=vDt?？山獾胹AB=2R 設(shè)滑塊由A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中加速度為a，則有 vB2=2asAB 解得：a=5g／4 25、如圖所示，半徑R = 0.4m的光滑半圓軌道與粗糙的水平面相切于A點(diǎn)，質(zhì)量為 m = 1kg的小物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）在水平拉力F的作用下，從C點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)，物體從A點(diǎn)進(jìn)入半圓軌道的同時撤去外力F，物體沿半圓軌道通過最高點(diǎn)B后作平拋運(yùn)動，正好落在C點(diǎn)，已知AC = 2m，F(xiàn) = 15N，g取10m/s2，試求： （1）物體在B點(diǎn)時的速度以及此時半圓軌道對物體的彈力． （2）物體從C到A的過程中，摩擦力做的功． 7、（20分）如25題圖所示，豎直平面內(nèi)的軌道ABCD由水平軌道AB與光滑的四分之一圓弧滑道CD組成，AB恰與圓弧CD在C點(diǎn)相切，軌道固定在水平面上。一個質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道的A端以初動能E沖上水平軌道AB，沿著軌道運(yùn)動，由DC弧滑下后停在水平軌道AB的中點(diǎn)。已知水平滑道AB長為L，求： （1）小物塊與水平軌道的動摩擦因數(shù)μ。 （2）為了保證小物塊不從軌道的D端離開軌道，圓弧軌道的半徑R至少是多大？ （3）若圓弧軌道的半徑R取第（2）問計算出的最小值，增大小物塊的初動能，使得小物塊沖上軌道后可以達(dá)到最大高度是1.5R處，試求小物塊的初動能并分析小物塊能否停在水平軌道上，如果能，將停在何處？如果不能，將以多大速度離開水平軌道？ 25題圖 13、（本題20分） 解：(1) （6分） （2）（6分） （3）（8分） 8．（10分）如圖所示，粗糙的水平面右端B處連接一個豎直的半徑為R 的光滑半圓軌道，B點(diǎn)為水平面與軌道的切點(diǎn)，在距離B點(diǎn)長為X的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動到C 處后又正好落回A點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)和水平面間的動摩擦因數(shù)為μ。 （1）求在上述運(yùn)動過程中推力對小球所做的功。 （2）x為多大時，完成上述運(yùn)動過程所需的推力最小?最小的推力F為多大？ 8（1）質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動又回到A點(diǎn) 在水平方向： x=vCt （1分） 豎直方向上：2R=gt2 （1分） 解得vC= （1分） 質(zhì)點(diǎn)從A到C由動能定理 WF—μmgx—mg·2R=mv （1分） 解得 WF=μmgx+mg·2R +mgx2/8R （1分） （2） 由 WF=μmgx+mg·2R +mgx2/8R 和WF=F x 得： （2分） F 有最小值的條件是： =, 即x=4R （2分） 最小的推力F=mg (μ+1) （1分） 26、某興趣小組設(shè)計了如圖所示的玩具軌道，其中“2008”，四個等高數(shù)字用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，固定在豎直平面內(nèi)（所有數(shù)宇均由圓或半圓組成，圓半徑比細(xì)管的內(nèi)徑大得多），底端與水平地面相切。彈射裝置將一個小物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v=5m/s的水平初速度由a點(diǎn)彈出，從b 點(diǎn)進(jìn)人軌道，依次經(jīng)過“8002 ”后從p 點(diǎn)水平拋出。小物體與地面ab段間的動摩擦因數(shù)μ=0.3 ，不計其它機(jī)械能損失。已知ab段長L=1 . 5m，數(shù)字“0”的半徑R=0.2m，小物體質(zhì)量m=0 .0lkg ，g=10m/s2 。求： ( l ）小物體從p 點(diǎn)拋出后的水平射程。（s=0.8m） ( 2 ）小物體經(jīng)過數(shù)字“0”的最高點(diǎn)時管道對小物體作用力的大小和方向（F=0.3N） 25解析： (1)設(shè)小物體運(yùn)動到p點(diǎn)時的速度大小為v，對小物體由a運(yùn)動到p過程應(yīng)用動能定理得 小物體自P點(diǎn)做平拋運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t．水平射程為s，則 ② s=vt ③ 聯(lián)立①②③式，代入數(shù)據(jù)解得s=0.8m ④ (2)設(shè)在數(shù)字“0”的最高點(diǎn)時管道對小物體的作用力大小為F取豎直向下為正方向 ⑤ 聯(lián)立①⑤式，代入數(shù)據(jù)解得 F=0.3N ⑥ 方向豎直向下 24．(20分）某興趣小組設(shè)計了如圖所示的玩具軌道，它由細(xì)圓管彎成，固定在豎直平面內(nèi)。左右兩側(cè)的斜直管道PA與PB的傾角、高度、粗糙程度完全相同，管口A、B兩處均用很小的光滑小圓弧管連接（管口處切線豎直)，管口到底端的高度H1=0.4m。中間“8”字型光滑細(xì)管道的圓半徑R=10cm(圓半徑比細(xì)管的內(nèi)徑大得多)，并與兩斜直管道的底端平滑連接。一質(zhì)量m=0.5kg的小滑塊從管口 A的正上方H2處自由下落，第一次到達(dá)最低點(diǎn)P的速度大小為10m/s.此后小滑塊經(jīng)“8”字型和PB管道運(yùn)動到B處豎直向上飛出，然后又再次落回，如此反復(fù)。小滑塊視為質(zhì)點(diǎn)，忽略小滑塊進(jìn)入管口時因碰撞造成的能量損失，不計空氣阻力，且取g=10m/s2。求： (1) 滑塊第一次由A滑到P的過程中，克服摩擦力做功； (2)滑塊第一次到達(dá)“8”字型管道頂端時對管道的作用力； (3)滑塊第一次離開管口B后上升的高度；(4）滑塊能沖出槽口的次數(shù)。 18. 某興趣小組設(shè)計了如圖所示的玩具軌道，它由細(xì)圓管彎成，固定在豎直平面內(nèi)。左右兩側(cè)的斜直管道PA與PB的傾角、高度完全相同，粗糙程度均勻且完全相同，管口A、B兩處均用很小的光滑小圓弧管連接（管口處切線豎直），管口到底端的高度H1=0.4m。中間“8”字型光滑細(xì)管道的圓半徑R=10cm（圓半徑比細(xì)管的內(nèi)徑大得多），并與兩斜直管道的底端平滑連接。一質(zhì)量m=0.5kg的小滑塊從管口A的正上方H2=5m處自由下落，第一次到達(dá)最低點(diǎn)P的速度大小為10m/s。此后小滑塊經(jīng)“8”字型和PB管道運(yùn)動到B處豎直向上飛出，然后又再次落回，如此反復(fù)。小滑塊視為質(zhì)點(diǎn)，忽略小滑塊進(jìn)入管口時因碰撞造成的能量損失，不計空氣阻力，g取10m/s2。 （1）求滑塊第一次由A滑到P的過程中，克服摩擦力做的功； （2）求滑塊第一次到達(dá)“8”字型管道頂端時對管道的作用力； （3）求滑塊能沖出兩槽口的總次數(shù)； （4）若僅將“8”字型管道半徑變到30cm，能從B口出來幾次？ 從A、B口出來的總次數(shù)是幾次？ 18.（12分） （1）滑塊第一次滑到P的速度計為V1，由A滑到P的過程中克服摩擦力做功計為W1 ----------------------------------------- 2分 代入數(shù)據(jù)得W1=2J --------------------------------------------------------- 1分 （2）滑塊第一次滑到頂端的速度計為V2 -----------------------------------------------1分 -----------------------------------------------------------1分 FN =455N，滑塊管道對的彈力大小為455N，方向向上 -----------1分 （3）滑塊第一次由A到B克服摩擦力做的功W2=2W1=4J --------------1分 --------------------------------------------------------- 1分 所以滑塊能離開槽口的次數(shù)為6次 ---------------------------------- 1分 （4）要想達(dá)到“8”字型管道最高點(diǎn)，在P點(diǎn)的動能臨界值為Ek臨=4mgR=6J 滑塊具有的初始能量mg(H1+H2)=27J 第6次經(jīng)過P處(VP向右)的動能Ek6=27 -11W1=5J， 由于5J< Ek臨=6J，故無法上到“8”字型管道最高點(diǎn)，沿原路返回P點(diǎn)(VP向左) 又5J>mgH1+W1 = 2+2=4J，還能第4次從B沖出。 第4次從B沖出再回到P處(VP向右)的動能為1J，再無法沖出 所以，沖出B口的次數(shù)為4次，------1分 沖出A口的次數(shù)為2次，------1分 沖出的總次數(shù)為6次。----------1分 9、（20分）如圖所示的“S”形玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，放置在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部分是由兩個半徑相等的半圓對接而成，圓半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平面上不可移動。彈射裝置將一個小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從a點(diǎn)水平彈射向b點(diǎn)并進(jìn)入軌道，經(jīng)過軌道后從最高點(diǎn)d水平拋出。已知小球與地面ab段間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，不計其它機(jī)械能損失，ab段長L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小球質(zhì)量m=0.01kg，軌道質(zhì)量為M=0.26kg，g=10m/s2，求： （1）要使小球從d點(diǎn)拋出后不碰軌道，小球的初速度v0需滿足什么條件？ （2）設(shè)小球進(jìn)入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力， 當(dāng)v0至少為多少時，小球經(jīng)過兩半圓的對接處c點(diǎn)時，軌道對地面的 壓力為零。 （3）若v0=3m/s，小球最終停在何處？ 9.（20分） （1）設(shè)小球到達(dá)d點(diǎn)處速度為vd，由動能定理，得 O ………（1） 如小球由d點(diǎn)做平拋運(yùn)動剛好經(jīng)過圖中的O點(diǎn)，則有 ……………………………………（2） ……………………………………… 3） 聯(lián)立①②③并代入數(shù)值得 …………………… （4） 小球的初速度v0需滿足 …………………………（5） （2）設(shè)小球到達(dá)c點(diǎn)處速度為vc，由動能定理，得 …………………………（6） 當(dāng)小球通過c點(diǎn)時，由牛頓第二定律得 ………………………………………………（7） 要使軌道對地面的壓力為零，則有 N′=Mg …………………………………………………………………（8） 聯(lián)立⑥⑦⑧并代入數(shù)值，解得小球的最小速度 v0=6 m/s …………………………………………………………………（9） （3）小球能通過d點(diǎn)，需滿足，由動能定理 ………………………………………（10） 得： 因，小球過不了d點(diǎn)而沿軌道原路返回…………（11） 對整個過程由動能定理，有 …………………………………………………（12） 得 ……………………………………………………………（13） 小球最終停在a右側(cè)處 ……………………………………………（14） 評分標(biāo)準(zhǔn)：共20分，其中（1）（6）各3分（7）（12）各2分，其余各1分。 21、過山車是游樂場中常見的設(shè)施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑R1=2.0m、R2=1.4m。一個質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以v0=12.0m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動，A、B間距L1=6.0m。小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的。假設(shè)水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取g=10m/s2，計算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字。試求 （1）小球在經(jīng)過第一個圓形軌道的最高點(diǎn)時，軌道對小球作用力的大??； （2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距應(yīng)是多少； （3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設(shè)計中，半徑R3應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)的距離。 R1 R2 R3 A B C D v0 第一圈軌道 第二圈軌道 第三圈軌道 L L L1 21答案：（1）10.0N；（2）12.5m(3) 當(dāng)時， ；當(dāng)時， 解析：（1）設(shè)小于經(jīng)過第一個圓軌道的最高點(diǎn)時的速度為v1根據(jù)動能定理 ① 小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律 ② 由①②得 ③ （2）設(shè)小球在第二個圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v2，由題意 ④ ⑤ 由④⑤得 ⑥ （3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論： I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v3，應(yīng)滿足 ⑦ ⑧ 由⑥⑦⑧得 II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R3，根據(jù)動能定理 解得 為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應(yīng)滿足 解得 R3=27.9m 綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件 或 當(dāng)時，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L′，則 當(dāng)時，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L〞，則 22、傾角為37°的光滑導(dǎo)軌，頂端高H=1.45m，下端通過一小段光滑圓弧與薄壁細(xì)管做成的玩具軌道相接于最低端B。玩具軌道由間距為x0=1m的若干個相同圓環(huán)組成，圓環(huán)半徑R=0.5m，整個玩具軌道固定在豎直平面內(nèi)。第一個圓環(huán)記作0號，第二個圓環(huán)記作1號，其余依次類推，如圖所示。一質(zhì)量m=0.5kg的小球在傾斜導(dǎo)軌頂端A以v0＝2m/s速度水平發(fā)射，在落到傾斜導(dǎo)軌上P點(diǎn)后即沿軌道運(yùn)動（P點(diǎn)在圖中未畫出）。假設(shè)小球落到軌道時平行軌道方向速度不變，玩具軌道圓環(huán)部分內(nèi)壁光滑，水平段的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，取g＝10m/s2，求： （1）小球落到傾斜導(dǎo)軌上的P點(diǎn)位置和開始沿傾斜導(dǎo)軌運(yùn)動的速度大小vP？ （2）小球最終停在什么位置？ x0=1m H=1.45m v0=2m/s 0 1 n 37° B 22.解（1）小球從A做平拋運(yùn)動，經(jīng)過時間t落到傾斜導(dǎo)軌上的P點(diǎn)，水平位移x，豎直位移y，有 （1） （2） （3） （4） （5） 由上述式子得 x=0.6m或 P點(diǎn)位置，即距拋出點(diǎn)l=0.75m （6） （7） （2）設(shè)小球到B點(diǎn)的動能為EkB，從P到B機(jī)械能守恒，有 （9） 設(shè)小球射入某一圓環(huán)低端時動能為Ek0，則要使小球能通過圓環(huán)，必須有 （10） 小球每次通過水平段軌道時克服摩擦力做功Wf，有 （11） 設(shè)小球通過N號圓環(huán)后，剩余能量為EN，共克服水平段軌道摩擦力做功n*1J，當(dāng)其能量E大于1J且小于5J時，就只能到達(dá)N+1號圓環(huán)，但不能通過該圓環(huán)，它將在N號圓環(huán)與N+1號圓環(huán)間來回運(yùn)動 有 （12） n>2.89 （13） 即當(dāng)小球通過2號圓環(huán)后就不能通過3號圓環(huán)，只能在2號、3號圓環(huán)間來回運(yùn)動 （14） 小球剛通過2號圓環(huán)時具有的能量E3=7.89-3=4.89J （15） E3=μmgx，即x=4.89m （16） 所以，最終小球?qū)⑼Ｔ?、3號圓環(huán)之間，離2號圓環(huán)底端0.11m位置 （17） 說明：共18分，其中（17）式2分，其余每式1分，即完成（14）式得14分，其余類推。 10、如圖所示，在同一豎直平面內(nèi)有兩個正對著的相同半圓光滑軌道，相隔一定的距離，虛線沿豎直方向，一小球能在其間運(yùn)動。今在最高點(diǎn)A與最低點(diǎn)B各放一個壓力傳感器，測量小球?qū)壍赖膲毫Γ⑼ㄟ^計算機(jī)顯示出來。當(dāng)軌道距離變化時，測得兩點(diǎn)壓力差與距離x的關(guān)系如圖所示，g取10 m/s2，不計空氣阻力，求： （1）小球的質(zhì)量為多少？ （2）若小球在最低點(diǎn)B的速度為20 m/s，為使小球能沿軌道運(yùn)動，x的最大值為多少？ DFN/N x/m 0 5 10 5 10 15 10解：（1）設(shè)軌道半徑為R，由機(jī)械能守恒定律； 　　　　……………（1） （4分） 　　對B點(diǎn)：　　………（2） ( 2分) 　　對A點(diǎn)：　　……（3） ( 2分) 由（1）（2）（3）式得： 兩點(diǎn)壓力差　………（4） ( 2分) 由圖象得：截距 得 （5） ( 3分) （2）因?yàn)閳D線的斜率 得　……（6） ( 3分) 　　在A點(diǎn)不脫離的條件為：　……（7） ( 2分) 由（1）（5）（6）（7）式得：　………（8） ( 2分) P A O H C D B 11.（20分）如圖所示，ABCDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的 圓周軌道，CDO是直徑為15m的半圓軌道。AB軌道和CDO 軌道通過極短的水平軌道（長度忽略不計）平滑連接。半徑 OA處于水平位置，直徑OC處于豎直位置。一個小球P從A 點(diǎn)的正上方高H處自由落下，從A點(diǎn)進(jìn)入豎直平面內(nèi)的軌道 運(yùn)動（小球經(jīng)過A點(diǎn)時無機(jī)械能損失）。當(dāng)小球通過CDO軌 道最低點(diǎn)C時對軌道的壓力等于其重力的倍，取g為 10m/s2。 ⑴ 試求高度H的大??； ⑵ 試討論此球能否到達(dá)CDO軌道的最高點(diǎn)O，并說明理由； ⑶ 求小球沿軌道運(yùn)動后再次落回軌道上時的速度大小。 11. （20分） 解：（1）在C點(diǎn)對軌道的壓力等于重力的倍，由牛頓第三定律得，在C點(diǎn)軌道 P A O H C D B 對小球的支持力大小為mg--------2分。 設(shè)小球過C點(diǎn)速度v1 --------2分 P到C過程，由機(jī)械能守恒： ---------2分 解得： ---------------2分 （2）設(shè)小球能到達(dá)O點(diǎn)，由P到O，機(jī)械能守恒，到O點(diǎn)的速度v2： --------2分 設(shè)小球能到達(dá)軌道的O點(diǎn)時的速度大小為v0，則 mg = v0 --------2分 v2 >v0 所以小球能夠到達(dá)O點(diǎn)。 --------2分 （3）小球在O點(diǎn)的速度 離開O點(diǎn)小球做平拋運(yùn)動： 水平方向： --------1分 豎直方向：--------1分 且有：--------2分 解得： 再次落到軌道上的速度--------2分 12．如圖3所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切，圓弧的半徑為R．一個質(zhì)量為m的物體（可以看作質(zhì)點(diǎn)）從直軌道上的P點(diǎn)由靜止釋放，結(jié)果它能在兩軌道間做往返運(yùn)動．已知P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動摩擦因數(shù)為μ．求： （1）物體做往返運(yùn)動的整個過程中在AB軌道上通過的總路程； （2）最終當(dāng)物體通過圓弧軌道最低點(diǎn)E時，對圓弧軌道的壓力； （3）為使物體能順利到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)D，釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L′應(yīng)滿足什么條件． 圖3 12．解析：（1）因?yàn)槟Σ潦冀K對物體做負(fù)功，所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧上往復(fù)運(yùn)動． 對整體過程由動能定理得：mgR·cos θ－μmgcos θ·s＝0，所以總路程為s＝． （2）對B→E過程mgR（1－cos θ）＝mv① FN－mg＝② 由①②得對軌道壓力：FN＝（3－2cos θ）mg． （3）設(shè)物體剛好到D點(diǎn)，則mg＝③ 對全過程由動能定理得：mgL′sin θ－μmgcos θ·L′－mgR（1＋cos θ）＝mv④ 由③④得應(yīng)滿足條件：L′＝·R． 答案：（1）?。?）（3－2cos θ）mg?。?）·R 13．（19分）如圖（甲）所示，彎曲部分AB和CD是兩個半徑相等的四分之一圓弧，中間的BC段是豎直的薄壁細(xì)圓管（細(xì)圓管內(nèi)徑略大于小球的直徑），分別與上、下圓弧軌道相切連接，BC段的長度L可作伸縮調(diào)節(jié)。下圓弧軌道與地面相切，其中D、A分別是上、下圓弧軌道的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，整個軌道固定在豎直平面內(nèi)。一小球多次以某一速度從A點(diǎn)水平進(jìn)入軌道而從D點(diǎn)水平飛出。今在A、D兩點(diǎn)各放一個壓力傳感器，測試小球?qū)壍繟、D兩點(diǎn)的壓力，計算出壓力差△F。改變BC間距離L，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)，最后繪得△F-L的圖線如圖（乙）所示。（不計一切摩擦阻力，g取10m/s2） （1）某一次調(diào)節(jié)后D點(diǎn)離地高度為0.8m。小球從D點(diǎn)飛出，落地點(diǎn)與D點(diǎn)水平距離為2.4m，求小球過D點(diǎn)時速度大小。 △F/N 20 （甲） A D C B v L （乙） 15 10 0.5 0 1 L/m 第24題圖 （2）求小球的質(zhì)量和彎曲圓弧軌道的半徑大小。 13．解： ⑴小球在豎直方向做自由落體運(yùn)動， （2分） 水平方向做勻速直線運(yùn)動 （2分） 得： （1分） ⑵設(shè)軌道半徑為r，A到D過程機(jī)械能守恒： （3分） 在A點(diǎn)： （2分） 在D點(diǎn)： （2分） 由以上三式得： （2分） 由圖象縱截距得：6mg=12 得m=0.2kg （2分） 由L=0.5m時 △F=17N （1分） 代入得： r=0.4m （2分） 14．如圖15所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，彈簧處于自然狀態(tài)時其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑圓弧形軌道MNP，其半徑R＝0.8 m，OM為水平半徑，ON為豎直半徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R，∠PON＝45°第一次用質(zhì)量m1＝1.1 kg的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后物塊停在B點(diǎn)(B點(diǎn)為彈簧原長位置)，第二次用同種材料、質(zhì)量為m2＝0.1 kg的物塊將彈簧也緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊過B點(diǎn)后做勻減速直線運(yùn)動，其位移與時間的關(guān)系為，物塊從桌面右邊緣D點(diǎn)飛離桌面后，由P點(diǎn)沿圓軌道切線落入圓軌道．(g＝10 m/s2，不計空氣阻力) 求：(1)BC間的距離； (2)m2由B運(yùn)動到D所用時間； (3)物塊m2運(yùn)動到M點(diǎn)時，m2對軌道的壓力． 14、 (1)由x＝6t－2t2知 vB＝6 m/s　a＝－4 m/s2 (2分) m2在BD上運(yùn)動時－m2gμ＝m2a 解得μ＝0.4 (1分) 設(shè)彈簧長為AC時，彈簧的彈性勢能為Ep m1釋放時Ep＝μm1gsBC (1分) m2釋放時Ep＝μm2gsBC＋m2vB2 (1分) 解得sBC＝0.45 m (1分) (2)設(shè)m2由D點(diǎn)拋出時速度為vD，落到P點(diǎn)的豎直速度為vy 在豎直方向vy2＝2gR，解得vy＝＝4 m/s (1分) 在P點(diǎn)時tan 45°＝ (1分) 解得vD＝4 m/s (1分) m2由B到D所用的時間t＝＝0.5 s (2分) (3)m2由P運(yùn)動到M的過程，由機(jī)械能守恒定律得 m2vP2＋m2g(R－Rcos 45°)＝m2vM2＋m2gR (2分) 在M點(diǎn)時，對m2受力分析，由牛頓第二定律得 FN＝m (1分) 解得FN＝(4－) N 由牛頓第三定律知，小球?qū)壍赖膲毫?4－) N (1分) 0 P 15、（16）如圖所示，質(zhì)量為m的小球用不可伸長的細(xì)線懸于O點(diǎn)，細(xì)線長為L，在O點(diǎn)正下方P處有一釘子，將小球拉至與懸點(diǎn)等高的位置無初速釋放，小球剛好繞P處的釘子作圓周運(yùn)動。那么釘子到懸點(diǎn)的距離OP等于多少？ 3L/5 16．如圖所示，豎直平面內(nèi)的3/4圓弧形光滑軌道半徑為R，A端與圓心O等高，AD為水平面，B點(diǎn)在O的正上方，一個小球在A點(diǎn)正上方由靜止釋放，自由下落至A點(diǎn)進(jìn)入圓軌道并恰能到達(dá)B點(diǎn)。求：⑴釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度；⑵落點(diǎn)C與A點(diǎn)的水平距離。(3)小球落到C點(diǎn)的速度。 A C D B O 16、（1）h= （2）S= A H R小 O B C D E 17（18分）如圖所示，四分之三周長圓管的半徑R=0.4m，管口B和圓心O在同一水平面上，D是圓管的最高點(diǎn)，其中半圓周BE段存在摩擦，BC和CE段動摩擦因數(shù)相同，ED段光滑；直徑稍小于圓管內(nèi)徑、質(zhì)量m=0.5kg的小球從距B正上方高H=2.5m處的A處自由下落，到達(dá)圓管最低點(diǎn)C時的速率為6m/s，并繼續(xù)運(yùn)動直到圓管的最高點(diǎn)D飛出，恰能再次進(jìn)入圓管，假定小球再次進(jìn)入圓管時不計碰撞能量損失，取重力加速度g=10m/s2，求 （1） 小球飛離D點(diǎn)時的速度 （2） 小球從B點(diǎn)到D點(diǎn)過程中克服摩擦所做的功 （3） 小球再次進(jìn)入圓管后，能否越過C點(diǎn)？請分析說明理由 17、解（1）小球飛離D點(diǎn)做平拋運(yùn)動，有 （1） （2） 由（1）（2）得 （3） （2）設(shè)小球從B到D的過程中克服摩擦力做功Wf1，在A到D過程中根據(jù)動能定理，有 （4） 代入計算得， Wf1=10J （5） （3）設(shè)小球從C到D的過程中克服摩擦力做功Wf2，根據(jù)動能定理，有 （6） 代入計算得， Wf2=4.5J （7） 小球從A到C的過程中，克服摩擦力做功Wf3，根據(jù)動能定理，有 Wf3=5.5J 小球再次從D到C的過程中，克服摩擦力做功Wf4，根據(jù)動能定理，有 （8） （9） 小球過BE段時摩擦力大小隨速度減小而減小，摩擦力做功也隨速度減小而減少。第二次通過BC段與CE段有相等的路程，速度減小 （10） 所以 Wf4<Wf2=4.5J （11） 由此得v’c>0，即小球能過C點(diǎn)。 A B C S h L R 18、某校物理興趣小組決定舉行遙控塞車比賽。比賽路徑如圖所示，賽車從起點(diǎn)A出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動L后，出B點(diǎn)進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運(yùn)動到C點(diǎn)，并能越過壕溝。已知賽車質(zhì)量m＝0.1kg，通電后以額定功率ρ＝1.5W工作，進(jìn)入豎直圓軌道前受到的阻值為0.3N，隨后在運(yùn)動中受到的阻力均可不計。圖中L＝10.00m，R=0.32m，h＝1.25m,S＝1.50m。問：要使賽車完成比賽，電動機(jī)至少工作多長時間？（取g＝10 m/s2） 18．解：從C平拋過壕溝，至少有， 得： 則從圓軌道出來到B位置速度至少為, 得： 而能經(jīng)過圓軌道最高點(diǎn)，設(shè)有v，進(jìn)入圓軌道速度為 得： 可見進(jìn)入圓軌道速度至少為 根據(jù)動能定理： 得： 圖9 H R O 19．如圖9所示，在圓柱形屋頂中心天花板上的O點(diǎn)，掛一根L＝3m的細(xì)繩，繩的下端掛一個質(zhì)量為m＝0.5kg的小球，已知繩能承受的最大拉力為10N。小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，當(dāng)速度逐漸增大到繩斷裂后，小球以v＝9m/s的速度落在墻邊。求這個圓柱形屋頂?shù)母叨菻和半徑R。（g取10m/s2） 19.設(shè)繩與豎直方向夾角為θ，則cosθ=,所以θ=60°，小球在繩斷時離地高度為：h=H-Lcosθ ① 小球做勻速圓周運(yùn)動的半徑為：r=Lsinθ ② F向=m=mgtanθ ③ 聯(lián)立①②③式求得：H=3.3 m,平拋運(yùn)動時間為：t==0.6 s, 水平距離為：s=v0t=m,圓柱半徑為：R==4.8 m. 20. 如下圖所示，一個質(zhì)量為M的人，站在臺秤上，手拿一個質(zhì)量為m，懸線長為R的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，且擺球正好通過圓軌道最高點(diǎn)，求臺秤示數(shù)的變化范圍。 20.解：小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時，懸線對人的拉力最大，且方向豎直向下，故臺秤示數(shù)最大，由機(jī)械能守恒定律得： 所以臺秤的最大示數(shù)為F＝（M＋6m）g 當(dāng)小球經(jīng)過如下圖所示的狀態(tài)時， 23.如圖所示，滑塊A的質(zhì)量m=0.01kg，與水平地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，用細(xì)線懸掛的小球質(zhì)量均為m=0.01kg，沿x軸排列，A與第一只小球及相鄰兩小球間距離均為s=2m，線長分別為L1、L2、L3…(圖中只畫出三只小球，且小球可視為質(zhì)點(diǎn)).開始時，滑塊以速度v0=10m/s沿x軸正方向運(yùn)動，設(shè)滑塊與小球碰撞時不損失機(jī)械能，碰撞后小球均能 x v0 A L1 O1 O2 L2 O3 L3 在豎直平面內(nèi)完成完整的圓周運(yùn)動并再次與滑塊正碰，g取10m/s2，求: (1)滑塊能與幾個小球碰撞？ (2)求出碰撞中第n個小球懸線長Ln的表達(dá)式. (3)滑塊與第一個小球碰撞后瞬間，懸線對小球的拉力為多大？ 23解:(1)因滑塊與小球質(zhì)量相等且碰撞中機(jī)械能守恒，所以滑塊與小球相碰撞會互換速度，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，機(jī)械能守恒，設(shè)滑塊滑行總距離為s0，有: (2分) 得s0=25m (1分) 個 (2分) (2)滑塊與第n個小球碰撞，設(shè)小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時速度為vn′ 對小球由機(jī)械能守恒定律得: (2分) 小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)，則 (2分) 對滑塊由動能定理得: (2分) 由以上三式得: (2分) (3)滑塊做勻減速運(yùn)動到第一個小球處與第一個小球碰前的速度為v1，則有: (2分) 由于滑塊與小球碰撞時不損失機(jī)械能，則碰撞前后動量守恒、動能相等，滑塊與小球相互碰撞會互換速度，碰撞后瞬間小球的速度也為v1，此時小球受重力和繩子的拉力作用，由牛頓第二定律得: (2分) 因?yàn)? (1分) 由以上三式得:T=0.6N (2分) 25．（12分） 一輕質(zhì)細(xì)繩一端系一質(zhì)量為的小球A，另一端掛在光滑水平軸O 上，O到小球的距離為L=0.1m，小球跟水平面接觸，但無相互作用，在球的兩側(cè)等距離處分別固定一個光滑的斜面和一個擋板，如圖所示，水平距離s為2m，動摩擦因數(shù)為0.25．現(xiàn)有一小滑塊B，質(zhì)量也為m，從斜面上滑下，與小球碰撞時交換速度，與擋板碰撞不損失機(jī)械能．若不計空氣阻力，并將滑塊和小球都視為質(zhì)點(diǎn)，g取10m/s2，試問： （1）若滑塊B從斜面某一高度h處滑下與小球第一次碰撞后，使小球恰好在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，求此高度h. （2）若滑塊B從h=5m處滑下，求滑塊B與小球第一次碰后瞬間繩子對小球的拉力． （3）若滑塊B從h=5m 處下滑與小球碰撞后，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，求小球做完整圓周運(yùn)動的次數(shù)n． 17.（1）小球剛能完成一次完整的圓周運(yùn)動，它到最高點(diǎn)的速度為v0，在最高點(diǎn)，僅有重力充當(dāng)向心力，則有 （2分） ① 在小球從h處運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，則有 ② 解上式有h=0．5m （2分） （2）若滑塊從=5m處下滑到將要與小球碰撞時速度為，則有 ③ （2分） 滑塊與小球碰后的瞬間，同理滑塊靜止，小球以的速度開始作圓周運(yùn)動，繩的拉力T和重力的合力充當(dāng)向心力，則有 ④ 解④式得T=48N （2分） （3）滑塊和小球第一次碰撞后，每在平面上經(jīng)s路程后再次碰撞，則 （2分） 解得，n=10次 （ 2分 ） 27．如圖所示是放置在豎直平面內(nèi)的游戲滑軌，有一質(zhì)量m＝2 kg的小球穿在軌道上．滑軌由四部分粗細(xì)均勻的滑桿組成；水平軌道AB；與水平面間的成夾角且長L＝6m的傾斜直軌道CD；半徑R＝1 m的圓弧軌道APC；半徑R＝3 m的圓弧軌道BQED。直軌道與圓弧軌道相切，切點(diǎn)分別為A、B、D、C，E為最低點(diǎn)．傾斜軌道CD與小球間的動摩擦因數(shù)，其余部分均為光滑軌道，取，，．現(xiàn)讓小球從AB的正中央以初速度開始向左運(yùn)動，問： (1)第一次經(jīng)過E處時，軌道對小球的作用力為多大? (2)小球第一次經(jīng)過C點(diǎn)時的速度為多大?　(3)小球在運(yùn)動過程中，損失的機(jī)械能最多為多少 26.（18分） （1）設(shè)球第一次過E點(diǎn)時，速度大小為，由機(jī)械能守恒定律，有： ------- （2分） 在E點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律，有 ------ （2分） 聯(lián)立式，可解得： 軌道對小球的支持力為 （2分） （2）從E到C的過程中，重力做功： ------ （1分） 從D到C的過程中，滑動摩擦力做功 -------（1分） 設(shè)第一次到達(dá)C點(diǎn)的速度大小為，小球從E到C的過程中，由動能定理，有 --------（2分） 由式，可解得 （2分） （3）經(jīng)過多次運(yùn)動后，小球最終在E兩側(cè)的圓軌道上做來回的運(yùn)動，在E點(diǎn)右側(cè)，最高能到達(dá)D點(diǎn)。（2分） 所以，小球在運(yùn)動過程中，損失的機(jī)械能最多為 （4分） 28．（18分）在半徑為R=5000km某星球表面，宇航員做了如下實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由斜軌道AB和圓弧軌道BC組成，將質(zhì)量m=0.2kg的小球，從軌道AB上的高H處的某點(diǎn)靜止釋放，用力傳感器測出小球經(jīng)過C點(diǎn)時對軌道的壓力F，改變H的大小，可測出F隨H的變化關(guān)系如圖乙所示，求： （1）圓軌道的半徑； （2）該星球的第一宇宙速度。 22．（18分） （1）小球過C點(diǎn)時滿足 ①…………2分 又根據(jù) ②…………3分 由①②得： ③…………2分 由圖可知：； 代入③可得 …………2分 ； 代入③可得 …………3分 （2）據(jù) …………3分 可得 …………3分 D A B O C 29.如圖所示，水平軌道AB與位于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓形光滑軌道BCD相連，半圓形軌道的BD連線與AB垂直。質(zhì)量為m的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）在恒定外力作用下從水平軌道上的A點(diǎn)由靜止開始向左運(yùn)動，到達(dá)水平軌道的末端B點(diǎn)時撤去外力，小滑塊繼續(xù)沿半圓形光滑軌道運(yùn)動，且恰好通過軌道最高點(diǎn)D，滑塊脫離半圓形軌道后又剛好落到A點(diǎn)。已知重力加速度為g。求： （1）滑塊通過D點(diǎn)的速度大?。? （2）滑塊經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時對軌道的壓力大??； （3）滑塊在AB段運(yùn)動過程中的加速度大小。 15、解：（1）設(shè)滑塊恰好通過最高點(diǎn)D的速度為vD，根據(jù)牛頓第二定律有 mg=mvD2/R 解得：vD= （2）滑塊自B點(diǎn)到D點(diǎn)的過程機(jī)械能守恒，設(shè)滑塊在B點(diǎn)的速度為vB，則有 mvB2=mvD2+mg2R，解得：vB2=5gR 設(shè)滑塊經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時所受的支持力為NB，根據(jù)牛頓第二定律有 NB-mg=mvB2/R 解得 NB=6mg 由牛頓第三定律可知，滑塊經(jīng)過B點(diǎn)時對軌道的壓力大小NB′=6mg （3）對于滑塊自D點(diǎn)平拋到A點(diǎn)，設(shè)其運(yùn)動時間為t，則有 2R=gt2，sAB=vDt?？山獾胹AB=2R 設(shè)滑塊由A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中加速度為a，則有 vB2=2asAB 解得：a=5g／4 30．如圖所示，在水平桌面上有一半徑R=0.8 m、豎直放置的光滑圓弧軌道MNQ，MN為豎直直徑，OQ連線與MN夾α=53。角。在光滑圓弧軌道左側(cè)放有一傾角為θ=37°的固定斜面， Q點(diǎn)到斜面的豎直邊的距離為d=0.6?，F(xiàn)在斜面的底端有一質(zhì)量為m的電動小車 B M R O 53° Q d θ A （大小可忽略），小車與斜面間動摩擦因數(shù)為μ=0.5?，F(xiàn)電動小車以恒定功率P0沿著斜面向上運(yùn)動，當(dāng)小車到達(dá)斜面最高時水平飛出，同時關(guān)閉電動裝置，速率不變。過一段時間后進(jìn)入球面的Q點(diǎn)沿著球面運(yùn)動，剛好能到達(dá)球面的最高點(diǎn)M。試求： （1）小車通過Q點(diǎn)時速度大小。 （2）斜面最高點(diǎn)離水平面的高度。 （3）小車在斜面上運(yùn)動時間。 N 24．（20分）解答： （1）小車到達(dá)M點(diǎn)時速度vM滿足： ……① （3分） 小車在Q運(yùn)動到M的過程中滿足機(jī)械能守恒，在Q點(diǎn)速度vQ為： ……② （3分） 由①、②解得：。（2分） （2）令小車從B點(diǎn)飛出時水平初速度為v0，BQ間豎直方向高度為y，根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律得： ……③ （1分） ……④ （1分） ……⑤ （2分） 由③、④、⑤解得：y=0.5R，因而得斜面最高點(diǎn)離水平面高度為yb=y+R(1-cos53°)=0.9R。（2分） （3）小車在斜面上運(yùn)動時間t滿足： ……⑥ （4分） 由⑥解得： （2分） 31．一列長為L的游覽車，如圖所示，可以看成是由許多節(jié)長度很短的相同車廂連接而成，從高處的平臺上沿斜面由靜止滑下，全部進(jìn)人水平軌道后，又遇到一個半徑為 R 的豎直圓形軌道（L > 2πR），欲使游覽車能安全駛過豎直圓形軌道，平臺距水平軌道的高度 h 至少應(yīng)為多大？（設(shè)游覽車無動力，不計各處的阻力） 73．答案： 32．（14分)北京奧運(yùn)會的開閉幕式給我們留下了深刻的印象。在閉幕式演出中出現(xiàn)了一種新型彈跳鞋叫彈跳蹺，主要是由后面的彈簧(弓)和鋁件組成。綁在腳上，能夠一步行走二到三米的距離，彈跳高度達(dá)到一