______________________________________________________________________________________________________________ 1.1.1 集合的概念 【教學目標】 1. 初步理解集合的概念；理解集合中元素的性質(zhì)． 2. 初步理解“屬于”關(guān)系的意義；知道常用數(shù)集的概念及其記法． 3. 引導學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，培養(yǎng)獨立思考和創(chuàng)造性地解決問題的意識． 【教學重點】 集合的基本概念，元素與集合的關(guān)系． 【教學難點】 正確理解集合的概念． 【教學方法】 本節(jié)課采用問題教學和講練結(jié)合的教學方法，運用現(xiàn)代化教學手段，通過創(chuàng)設(shè)情景，引導學生自己獨立地去發(fā)現(xiàn)、分析、歸納，形成概念． 【教學過程】 環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 導 入 師生共同欣賞圖片“中國所有的大熊貓”、“我們班的所有同學”． 師：“物以類聚”；“人以群分”；這些都給我們以集合的印象． 引入課題． 聯(lián)系實際； 激發(fā)興趣． 新 課 新 課 新 課 課件展示引例： (1) 某學校數(shù)控班學生的全體； (2) 正數(shù)的全體； (3) 平行四邊形的全體； (4) 數(shù)軸上所有點的坐標的全體． 1. 集合的概念． (1) 一般地，把一些能夠確定的對象看成一個整體，我們就說，這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合(簡稱為集)． (2) 構(gòu)成集合的每個對象都叫做集合的元素． (3) 集合與元素的表示方法：一個集合，通常用大寫英文字母 A，B，C，…表示，它的元素通常用小寫英文字母 a，b，c，… 表示． 2. 元素與集合的關(guān)系． (1) 如果 a 是集合 A 的元素，就說a屬于A，記作aÎA，讀作“a屬于A”． (2)如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作a Ï A．讀作“a不屬于A”． 3. 集合中元素的特性． (1) 確定性：作為集合的元素，必須是能夠確定的．這就是說，不能確定的對象，就不能構(gòu)成集合． (2) 互異性：對于一個給定的集合，集合中的元素是互異的．這就是說，集合中的任何兩個元素都是不同的對象． 4. 集合的分類． (1) 有限集：含有有限個元素的集合叫做有限集． (2) 無限集：含有無限個元素的集合叫做無限集． 5. 常用數(shù)集及其記法． (1) 自然數(shù)集：非負整數(shù)全體構(gòu)成的集合，記作 N； (2) 正整數(shù)集：非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集合，記作 N＋或 N*； (3) 整數(shù)集：整數(shù)全體構(gòu)成的集合，記作 Z； (4) 有理數(shù)集：有理數(shù)全體構(gòu)成的集合，記作 Q； (5) 實數(shù)集：實數(shù)全體構(gòu)成的集合，記作 R． 例1 判斷下列語句能否構(gòu)成一個集合，并說明理由． (1) 小于 10 的自然數(shù)的全體； (2) 某校高一(2)班所有性格開朗的男生； (3) 英文的 26 個大寫字母； (4) 非常接近 1 的實數(shù)． 練習1 判斷下列語句是否正確： (1) 由2，2，3，3構(gòu)成一個集合，此集合共有4個元素； (2) 所有三角形構(gòu)成的集合是無限集； (3) 周長為20 cm 的三角形構(gòu)成的集合是有限集； (4) 如果a Î Q，b Î Q，則 a＋b Î Q． 例2 用符號“Δ或“Ï”填空： (1) 1 N，0 N，－4 N，0.3 N； (2) 1 Z，0 Z，－4 Z，0.3 Z； (3) 1 Q，0 Q，－4 Q，0.3 Q； (4) 1 R，0 R，－4 R，0.3 R． 練習2 用符號“Δ或“Ï”填空： (1) －3 N；(2) 3.14 Q； (3) Z； (4) － R； (5) R； (6) 0 Z． 師：每個例子中的“全體”是由哪些對象構(gòu)成的？這些對象是否確定？ 你能舉出類似的幾個例子嗎？ 學生回答． 教師引導學生閱讀教材，提出問題如下： (1) 集合、元素的概念是如何定義的？ (2) 集合與元素之間的關(guān)系為何？是用什么符號表示的？ (3) 集合中元素的特性是什么？ (4) 集合的分類有哪些？ (5) 常用數(shù)集如何表示？ 教師檢查學生自學情況，梳 理本節(jié)課知識，并強調(diào)要注意的問題． 教師要把集合與元素的定義分析透徹． 請同學舉出一些集合的例子，并說出所舉例子中的元素． 教師強調(diào)：“Δ的開口方向，不能把aÎA顛倒過來寫． 教師強調(diào)集合元素的確定性．師：高一(1)班高個子同學的全體能否構(gòu)成集合？ 生：不能構(gòu)成集合．這是由于沒有規(guī)定多高才算是高個子，因而“高個子同學”不能確定． 教師強調(diào)：相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合的一個元素． 請學生試舉有限集和無限集的例子． 師：說出自然數(shù)集與非負整數(shù)集的關(guān)系． 生：自然數(shù)集與非負整數(shù)集是相同的． 師：也就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0． 師：出示例題，引導學生討論、思考． 生：討論，回答，明確說出理由． 生：模仿練習；討論并口答． 師：點撥、解答學生疑難． 師：出示例題，請學生填寫． 生：口答各題結(jié)果． 師：引導學生進行訂正，并說明錯誤原因． 學生模仿練習； 老師訂正、點撥． 從具體事例直觀感知集合，為給出集合的定義做好準備． 老師提出問題，放手讓學生自學，培養(yǎng)自學能力，提高學生的學習能力． 檢查自學、梳理知識階段，穿插講解 解難點、強調(diào)重點、舉例說明疑點等環(huán)節(jié)，使學生真正掌握所學知識． 通過具體例子，師生的問答，鞏固集合概念及其元素特性． 通過練習進一步強化學生對集合中元素特性的理解． 通過例題2和練習2，加深對特殊數(shù)集的理解以及元素與集合關(guān)系的理解與表示，既突出重點又分解難點． 小 結(jié) 本節(jié)課學習了以下內(nèi)容： 1. 集合的有關(guān)概念：集合、元素． 2. 元素與集合的關(guān)系：屬于、不屬于． 3. 集合中元素的特性． 4. 集合的分類：有限集、無限集． 5. 常用數(shù)集的定義及記法． 學生暢談本節(jié)課的收獲，老師引導梳理，總結(jié)本節(jié)課的知識點． 梳理總結(jié)也可針對學生薄弱或易錯處強調(diào)總結(jié)． 作 業(yè) 教材P4，練習A組第1~3題． 學生課后完成． 鞏固拓展． 1.1.2 集合的表示方法 【教學目標】 1. 掌握集合的表示方法；能夠按照指定的方法表示一些集合． 2. 發(fā)展學生運用數(shù)學語言的能力；培養(yǎng)學生分析、比較、歸納的邏輯思維能力． 3. 讓學生感受集合語言的意義和作用，學習從數(shù)學的角度認識世界；通過合作學習培養(yǎng)學生的合作精神． 【教學重點】 集合的表示方法，即運用集合的列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合. 【教學難點】 集合特征性質(zhì)的概念，以及運用描述法表示集合. 【教學方法】 本節(jié)課采用實例歸納，自主探究，合作交流等方法．在教學中通過列舉例子，引導學生討論和交流，并通過創(chuàng)設(shè)情境，讓學生自主探索一些常見集合的特征性質(zhì)． 【教學過程】 環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 導 入 1. 集合、元素、有限集和無限集的概念是什么？ 2. 用符號“Δ與“Ï”填空白： (1) 0 N； (2) － Q； (3)－ R． 師：剛才復習了集合的有關(guān)概念，這節(jié)課我們一起研究如何將集合表示出來． 回顧舊知； 學習新知． 新 課 新 課 新 課 1. 列舉法． 當集合元素不多時，我們常常把集合的元素列舉出來，寫在大括號“{}”內(nèi)表示這個集合，這種表示集合的方法叫列舉法． 例如，由1，2，3，4，5，6這6個數(shù)組成的集合，可表示為： {1，2，3，4，5，6}． 又如，中國古代四大發(fā)明構(gòu)成的集合，可以表示為： {指南針，造紙術(shù)，活字印刷術(shù)，火藥}． 有些集合元素較多，在不發(fā)生誤解的情況下，可列幾個元素為代表，其他元素用省略號表示． 如：小于100的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合，可表示為 {0，1，2，3，…，99}． 例1 用列舉法表示下列集合： (1) 所有大于3且小于10的奇數(shù)構(gòu)成的集合； (2) 方程 x2－5 x＋6＝0的解集． 解 (1) {5，7，9}； (2) {2，3}． 練習1 用列舉法表示下列集合： (1) 大于3小于9的自然數(shù)全體； (2) 絕對值等于1的實數(shù)全體； (3) 一年中不滿31天的月份全體； (4) 大于3.5且小于12.8的整數(shù)的全體． 2. 性質(zhì)描述法． 給定 x 的取值集合 I，如果屬于集合 A 的任意元素 x 都具有性質(zhì) p(x)，而不屬于集合 A 的元素都不具有性質(zhì)p(x)，則性質(zhì) p(x)叫做集合A的一個特征性質(zhì)，于是集合 A 可以用它的特征性質(zhì)描述為 {xÎI | p(x)} ，它表示集合 A是由集合 I 中具有性質(zhì) p(x)的所有元素構(gòu)成的．這種表示集合的方法，叫做性質(zhì)描述法． 使用特征性質(zhì)描述法時要注意： (1) 特征性質(zhì)明確； (2) 若元素范圍為 R，“xÎR”可以省略不寫． 例2 用性質(zhì)描述法表示下列集合： (1) 大于3的實數(shù)的全體構(gòu)成的集合； (2) 平行四邊形的全體構(gòu)成的集合； (3) 平面 a 內(nèi)到兩定點 A，B 距離相等的點的全體構(gòu)成的集合． 解 (1){ x | x >3}； (2){ x | x 是兩組對邊分別平行的四邊形}； (3) l＝{ P Îa ，|PA|＝|PB|，A，B 為a 內(nèi)兩定點}． 練習2 用性質(zhì)描述法表示下列集合： (1) 目前你所在班級所有同學構(gòu)成的集合； (2) 正奇數(shù)的全體構(gòu)成的集合； (3) 絕對值等于3的實數(shù)的全體構(gòu)成的集合； (4) 不等式4 x－5<3的解構(gòu)成的集合； (5)所有的正方形構(gòu)成的集合． 師：強調(diào)要注意的問題： ①注意區(qū)別 a 與 {a}． a 是集合{a}的一個元素，而{a}表示一個集合． 例如，某個代表團只有一個人，這個人本身和這個人構(gòu)成的代表團是完全不同的； ②用列舉法表示集合時，不必考慮元素的前后順序． 師：集合{1，2}與{2，1}表示同一個集合嗎？ 生：是． 多媒體展示例題1． 學生口答. 通過教師講解、師生問答，詳細說明什么是特征性質(zhì)． 出示例子：正偶數(shù)構(gòu)成的集合．它的每一個元素都具有性質(zhì)“能被2整除且大于0”，而這個集合外的其他元素都不具有這種性質(zhì)，性質(zhì)“能被2整除，且大于0”就是此集合的一個特征性質(zhì)． 引導學生根據(jù)上面的描述總結(jié)集合的特征性質(zhì)是什么？ 師生共同歸納出性質(zhì)描述法． 教師強調(diào)用特征性質(zhì)描述法時應(yīng)注意的兩個要點． 講解例題2，板書詳細的解題過程． 師：(1) 一個集合的特征性質(zhì)不是唯一的．如平行四邊形全體也可表示為 { x | x 是有一組對邊平行且相等的四邊形}． (2) 在幾何中，通常用大寫字母表示點(元素)，用小寫字母表示點的集合． 學生模仿練習．請學生在黑板上寫下答案，引導全班學生統(tǒng)一訂正． 老師點撥、解答學生疑難． 按集合元素不多和集合元素較多分類講解，便于學生接受． 多舉實例也有利于概念的理解． 通過一組簡單的口答題，掌握集合的列舉法． 通過例1和練習1，鞏固列舉法的使用． 對集合性質(zhì)描述法的理解是難點，此處通過舉例，由特殊到一般，便于學生突破這一思維障礙． 通過例2，讓學生掌握由描述法表示集合的不同類型：有限集、無限集或代數(shù)、幾何的表示方法，并使學生規(guī)范解題步驟． 通過練習，進一步突出重點，深化兩種表示方法的靈活運用． 小 結(jié) 本節(jié)課學習了以下內(nèi)容： 1. 列舉法． 2. 性質(zhì)描述法． 3. 比較兩種表示集合的方法，分析它們所適用的不同情況． 師生共同分析總結(jié)： 1. 有些集合的公共屬性不明顯，難以概括，不便用描述法表示，只能用列舉法． 如：集合{2}． 2. 有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來，或者不便于、不需要一一列舉出來，常用描述法． 如：集合 {xÎQ|1≤x≤4}． 以學生為主體，關(guān)注學生對本節(jié)課的體驗． 作 業(yè) 教材 P9，練習B組 第1，2題． 學生課后完成． 鞏固拓展． 1.1.3 集合之間的關(guān)系(一) 【教學目標】 1. 理解子集、真子集概念；掌握子集、真子集的符號及表示方法；會用它們表示集合間的關(guān)系． 2. 了解空集的意義；會求已知集合的子集、真子集并會用符號及Venn圖表示． 3. 培養(yǎng)學生使用符號的能力；建立數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想；培養(yǎng)學生用集合的觀點分析問題、解決問題的能力． 【教學重點】 子集、真子集的概念． 【教學難點】 集合間包含關(guān)系的正確表示． 【教學方法】 本節(jié)課采用講練結(jié)合、問題解決式教學方法，并運用現(xiàn)代化教學手段輔助教學．設(shè)計典型題目，并提出問題，層層引導學生探究知識，讓學生在完成題目的同時，思維得以深化；切實體現(xiàn)以人為本的思想，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，培養(yǎng)其探索精神和運用數(shù)學知識的意識． 【教學過程】 環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 導 入 已知：M＝{－1，1}，N＝{－1，1，3}，P＝{ x | x2－1＝0}．問 1. 哪些集合表示方法是列舉法？ 2. 哪些集合表示方法是描述法？ 3. 集合 M 中元素與集合 N 有何關(guān)系？集合 M 中元素與集合 P 有何關(guān)系？ 師：出示三個集合，并根據(jù)這些集合提出一組問題． 生：思考并回答問題， 師：通過回答上面的問題，我們發(fā)現(xiàn)了：集合M與集合N；集合M與集合P通過元素建立了某種關(guān)系，本節(jié)課，我們就來研究有關(guān)兩個集合之間關(guān)系的問題． 溫故而知新，以舊帶新，便于引導學生在已有的基礎(chǔ)上去探求新知識，使學生對出現(xiàn)的新概念不至于感到突然，符合學生的認識規(guī)律，很自然地引入本節(jié)課內(nèi)容． 新 課 新 課 新 課 1. 子集定義． 如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集． 記作 A Í B或B Ê A； 讀作 “A包含于B”，或“B包含A”． 2. 真子集定義． 如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A是集合B的真子集． 記作 A B(或B A)； 讀作 “A真包含于B”， 或“B真包含A”． 3. Venn圖表示． 集合B同它的真子集A之間的關(guān)系，可用Venn圖表示如下． A B 4. 空集定義． 不含任何元素的集合叫空集． 記作 Æ． 如，{x| x2＜0}；{x | x＋1＝x＋2}，這兩個集合都為空集． 5．性質(zhì)． (1) A Í A 任何一個集合是它本身的子集． (2) Æ Í A 空集是任何集合的子集． (3) 對于集合A，B，C，如果A Í B，B Í C，則AÍC． (4) 對于集合A，B，C，如果AB，BC，則 AC． 例1 判斷：集合A是否為集合B的子集，若是則在( )打“√”，若不是則在( )打“×”． (1) A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3，4，5，6} ( ) (2) A＝{1，3，5}，B＝{1，3，6，9} ( ) (3) A＝{0}，B＝{ x | x2＋2＝0} ( ) (4) A＝{ a，b，c，d }， B＝{ d，b，c，a } ( ) 例2 (1) 寫出集合 A＝{1，2}的所有子集及真子集． (2) 寫出集合 B＝{1，2，3}的所有子集及真子集． 解 (1)集合 A 的所有子集是 Æ，{1}，{2}，{1，2}． 在上述子集中，除去集合A本身，即{1，2}，剩下的都是A的真子集． (2) 集合B的所有子集是 Æ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}． 在上述子集中，除去集合B本身，即{1，2，3}，剩下的都是B的真子集． 練習 寫出集合A＝{a，b，c}的所有子集及真子集． 師：通過對引例中元素與集合關(guān)系的分析，得出子集的定義． 請學生舉滿足“A Í B”的實例． 在理解了“子集”定義的基礎(chǔ)上，引導學生根據(jù)元素與集合的關(guān)系，試敘述“真子集”的定義． 老師總結(jié)，得出真子集的定義． 介紹用Venn圖表示集合及集合間關(guān)系的方法． 請學生畫圖表示：A B． 請學生舉空集的例子． 師：能否把子集說成是由原來集合中的部分元素組成的集合？ 生：分組討論，派代表發(fā)表各組看法． 解疑：不能． 因為集合的子集也包括它本身，而這個子集是由它的全體元素組成的．空集是任一個集合的子集，而這個集合中并不含有B中的元素． 師：出示題目，請學生思考、判斷． 生：根據(jù)定義作出判斷． 師：引導全班學生進行訂正，加深對定義的理解． 生：嘗試解答例題． 師：引導學生訂正；請學生歸納“寫出一個集合的所有子集”的步驟． 學生模仿練習，進一步理解子集及真子集的概念． 啟發(fā)學生對引例進行深入分析、提煉，從而為概念的形成作好鋪墊． 遵循從特殊到一般的認知規(guī)律，歸納出定義． 集合間包含關(guān)系的正確理解與表示是難點，通過讓學生舉例可以突破這一難點，增進學生對定義的理解． 滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，提高學生的數(shù)學能力． 通過置疑、解疑的過程，使學生深刻理解子集的概念． 通過分組討論，關(guān)注學生的自主體驗，分解了難點． 在學習定義之后緊跟上一組根據(jù)定義進行判斷的題目，利于加深學生對定義的理解，鞏固新知． 在板書的過程中，突出解題思路，體現(xiàn)解題步驟． 通過練習，進一步突出重點． 小 結(jié) 本節(jié)課主要學習的知識點： 1. 子集． 2. 真子集． 在學生歸納、總結(jié)的基礎(chǔ)上，老師梳理總結(jié)． 以學生為主體，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力． 作 業(yè) 教材 P12，練習A組第3、4題． 學生課后完成． 鞏固拓展． 1.1.3 集合之間的關(guān)系(二) 【教學目標】 1. 理解兩個集合相等概念．能判斷兩集合間的包含、相等關(guān)系． 2. 理解掌握元素與集合、集合與集合之間關(guān)系的區(qū)別． 3. 學習類比方法，滲透分類思想，提高學生思維能力，增強學生創(chuàng)新意識． 【教學重點】 1. 理解集合間的包含、真包含、相等關(guān)系及傳遞關(guān)系． 2. 元素與集合、集合與集合之間關(guān)系的區(qū)別． 【教學難點】 弄清元素與集合、集合與集合之間關(guān)系的區(qū)別． 【教學方法】 本節(jié)課采用講練結(jié)合、問題解決式教學方法，并運用現(xiàn)代化教學手段進行教學．使學生初步經(jīng)歷使用最基本的集合語言表示有關(guān)數(shù)學對象的過程，體會集合語言，發(fā)展運用數(shù)學語言進行交流的能力．精心設(shè)計問題情境，引起學生強烈的求知欲望，通過啟發(fā)，使學生的思考、發(fā)現(xiàn)、歸納等一系列的探究思維活動始終處于自主的狀態(tài)中． 【教學過程】 環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 導 入 課件展示下列集合： (1) A＝{1，3}，B＝{1，3，5，6}； (2) C＝{x | x 是長方形}， D＝{x | x是平行四邊形}； (3) P＝{x | x 是菱形}， Q＝{x | x 是正方形}； (4) S＝{x | x＞3}， T＝{x | 3 x－6＞3}； (5) E＝{x|(x＋1)(x＋2)＝0}， F＝{－1，－2}． 師提出問題： 1．第(1)，(2)，(3)題中兩個集合的關(guān)系如何？ 2．第(4)，(5)題中，第二個集合是不是第一個集合的子集？第一個集合是不是第二個集合的子集？ 生：觀察并回答問題． 師繼續(xù)提出問題：第(4)，(5)題中，兩個集合中的元素有什么特點？ 復習舊知； 引入新知． 在引導學生思考、回答問題的過程中，順利引出新課． 新 課 新 課 新 課 如果兩個集合的元素完全相同，那么我們就說這兩個集合相等． 記作 A＝B． 讀作 集合A等于集合B． 如果A Í B，且B Í A，那么A＝B； 反之，如果A＝B，那么AÍB，且B Í A． 例1 指出下面各組中集合之間的關(guān)系： (1) A＝{x | x2－9＝0}， B＝{－3，3}； (2) M＝{x | |x|＝1}，N＝{－1，1}． 解 (1) A＝B； (2) M＝N． 例2 判斷以下各組集合之間的關(guān)系： (1) A＝{2，4，5，7}，B＝{2，5}； (2) P＝{x | x2＝1}，Q＝{－1，1}； (3) C＝{x | x 是正奇數(shù)}，D＝{x | x是正整數(shù)}； (4) M＝{x | x 是等腰直角三角形}， N＝{x | x 是有一個角是45°的直角三角形}． 解 (1) B A；(2) P＝Q； (3) C D；(4) M＝N． 練習1 用適當?shù)姆?Î，Ï，＝，，)填空： (1) a {a，b，c}； (2) {4，5，6} {6，5，4}； (3) {a} {a，b，c}； (4) {a， b，c } { b，c}； (5) Æ {1，2，3}； (6) {x | x是矩形} {x | x是平行四邊形}； (7) 5 {5}； (8) {2，4，6，8} {2，8}． 例3 指出下列各集合之間的關(guān)系，并用Venn圖表示： A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}． 解 A B C D 練習2 U S T F 集合U，S，T，F(xiàn)如圖所示，下列關(guān)系中哪些是對的？哪些是錯的？ (1) S U；(2) F T； (3) S T；(4) S F； (5) S F；(6) F U． 師：可見，集合A＝B，是指A，B的所有元素完全相同． 如，{1，－1}＝{－1，1}． 師：如果集合A＝B，根據(jù)子集的定義判斷：AÍB成立嗎？ 生：討論，得出結(jié)論． 學生容易得出：A＝B． 請學生在黑板上板書． 教師引導學生訂正后，總結(jié)集合與集合的關(guān)系． 師：出示題目，請學生思考、試做． 生：分析、試做． 師：出示答案訂正，請學生核對做題情況，改正錯題并找出自己出錯的原因． 生：交流做錯的題目與出錯的原因． 師：匯總、強調(diào)學生容易出錯的問題，引起全班同學重視． 師：出示問題，請學生分組討論，并畫圖． 生：將答案畫到黑板上，全班同學討論訂正． 師：點評，給以賞識性評價． 首先學生分組討論，最后各選一個代表回答本組討論結(jié)果，其余同學補充． 最后教師公布答案，加以點評． 從具體實例直觀感知集合相等． 有效設(shè)置問題，理解用子集的觀點來理解集合相等． 及時鞏固集合相等的定義． 放手讓學生獨立完成，培養(yǎng)自學能力，既提高學生的學習能力，又進一步鞏固了集合之間的關(guān)系． 用符號表示元素與集合的關(guān)系、集合間關(guān)系是難點，通過學生試做、老師訂正、學生反思、師生糾錯多個環(huán)節(jié)，使學生興趣盎然，在思考與爭論中得到正確答案，學生之間交流，教師與學生之間的交流達到高潮，有效地突破難點． 通過例3和練習2，滲透數(shù)形結(jié)合思想，強化學生的畫圖、讀圖能力；培養(yǎng)學生用Venn圖解決集合間關(guān)系問題的意識． 小 結(jié) 1. 子集，真子集，集合相等． 2. 元素與集合、集合與集合的關(guān)系． 讓學生暢談本節(jié)課的收獲，老師引導梳理，總結(jié)本節(jié)課的知識點． 便于學生掌握本節(jié)課的知識，利于學生對知識進行反饋、記憶． 作 業(yè) 教材P12，練習B組第1、2、3題． 學生課下完成． 鞏固拓展． 1.1.4 集合的運算(一) 【教學目標】 1. 理解交集與并集的概念與性質(zhì)． 2. 掌握交集和并集的表示法，會求兩個集合的交集和并集． 3. 發(fā)展學生運用數(shù)學語言進行表達、交流的能力；培養(yǎng)學生觀察、歸納、分析的能力． 【教學重點】 交集與并集的概念與運算． 【教學難點】 交集和并集的概念、符號之間的區(qū)別與聯(lián)系． 【教學方法】 這節(jié)課主要采用發(fā)現(xiàn)式教學法和自學法．運用現(xiàn)代化教學手段，通過創(chuàng)設(shè)情景，提出問題，引導學生自己獨立地去發(fā)現(xiàn)問題、分析歸納、形成概念．并通過對比，自學相似概念，深化對概念的理解． 【教學過程】 環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 導 入 實例引入，以我校食堂每天買菜的品種構(gòu)成的集合為例，引出集合運算的定義． 第一天買菜的品種構(gòu)成的集合記為 A＝{黃瓜，冬瓜，鯽魚，蝦，茄子}； 第二天買菜的品種構(gòu)成的集合記為 B＝{黃瓜，豬肉，毛豆，芹菜，蝦，土豆}． 師：提出問題： 1. 兩天所買相同菜的品種構(gòu)成的集合記為 C，則集合 C 等于什么？ 2. 兩天買過的所有菜的品種構(gòu)成的集合記為 D，則集合 D 等于什么？ 生：思考，感知集合運算． 聯(lián)系實際，引出集合運算： 問題中新得到的集合C，D是由已知集合的元素組成的． 我們就把由已知集合，按照某種指定的法則，構(gòu)造出一個新的集合，稱為集合的運算． 新 課 新 課 新 課 新 課 一、 集合的交 1. 交集的定義． 給定兩個集合A，B，由既屬于A又屬于B的所有公共元素所構(gòu)成的集合，叫做A，B的交集． 記作 A ∩ B， 讀作 “A 交 B”． A B 2. 交集的Venn圖表示． A B A B A (B) 3. 交集的性質(zhì)． (1) A ∩ B B ∩ A； (2) (A ∩ B) ∩ C A ∩ (B ∩ C)； (3) A ∩ A＝ ； (4) A ∩ Æ＝Æ A＝ ． 例1(1) 已知：A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，C＝{5，3}， 則 A ∩ B＝ ； B ∩ C＝ ； (A ∩ B)∩ C＝ ． 例2(1) 已知A＝{x | x 是奇數(shù)}，B＝{x | x 是偶數(shù)}，Z＝{x | x 是整數(shù)}，求 A ∩ Z，B ∩ Z，A ∩ B． 解 A ∩ Z＝{x | x 是奇數(shù)} ∩ {x | x是整數(shù)}＝{x | x 是奇數(shù)}＝A； B ∩ Z＝{x | x 是偶數(shù)} ∩ {x | x是整數(shù)}＝{x | x 是偶數(shù)}＝B； A ∩ B＝{x | x 是奇數(shù)} ∩ {x | x是偶數(shù)}＝Æ． 二、 集合的并 1. 并集的定義． 給定兩個集合A，B，把它們所有的元素合并在一起構(gòu)成的集合，叫做A與B的并集 記作 A ∪ B， 讀作 “A 并 B”． 2. 并集的Venn圖表示． A B A B A (B) A B 3. 并集的性質(zhì)． (1) A ∪ B B ∪ A； (2) (A∪B)∪C A∪(B∪C)； (3) A ∪ A＝ ； (4) A ∪ Æ＝Æ A＝ ． 例1(2) 已知：A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，C＝{5，3}． 則 A ∪ B＝ ； B ∪ C＝ ； (A ∪ B)∪ C＝ ． 例2(2) 已知 A＝{x | x 是奇數(shù)}，B＝{x | x 是偶數(shù)}，Z＝{x | x 是整數(shù)}，求 A ∪ Z，B ∪ Z，A ∪ B． 解 A ∪ Z＝{x | x 是奇數(shù)} ∪{x | x 是整數(shù)}＝{x | x 是整數(shù)}＝Z； B ∪ Z＝{x | x 是偶數(shù)} ∪ {x | x是整數(shù)}＝{x | x 是整數(shù)}＝Z； A ∪ B＝{x | x 是奇數(shù)} ∪ {x | x是偶數(shù)}＝{x | x 是整數(shù)}＝Z． 三、 綜合應(yīng)用 例3 已知 C＝{x | x≥1}，D＝{x | x＜5}，求 C ∩ D，C∪D． 解 C ∩ D＝{x | x≥1} ∩ {x | x＜5} ＝{x | 1≤x＜5}； C∪D＝{x | x≥1}∪{x | x＜5}＝R． 練習1 已知 A＝{x | x是銳角三角形}， B＝{x | x 是鈍角三角形}． 求 A ∩ B，A ∪ B． 練習2 已知 A＝{x | x是平行四邊形}，B＝{x | x 是菱形}，求 A ∩ B，A ∪ B． 練習3 已知 A＝{x | x 是菱形}，B＝{x | x 是矩形}，求 A ∩ B． 例4 已知 A＝{(x，y) | 4 x＋y＝6}，B＝{(x，y)| 3 x＋2 y＝7}，求 A ∩ B． 解 A ∩ B＝{(x，y)| 4 x＋y＝6} ∩ {(x，y)| 3 x＋2 y＝7} ＝{(x，y)| ＝{(1，2)}． 啟發(fā)學生觀察引入中的例子，并發(fā)現(xiàn)結(jié)論：集合 Ｃ 中的元素是集合A與B的公共元素，即集合C是由既屬于A又屬于B的元素構(gòu)成的． 出示四組圖片，請學生討論：如何根據(jù)交運算的定義，用陰影表示出“A ∩ B”． 以填空的形式出示各條性質(zhì)． 請學生根據(jù)交集的定義和上面的Venn圖進行討論，填寫性質(zhì)． 想一想，如果A Í B，那么A ∩ B＝ ． 師：出示例1(1) 生：口答． 師：出示例2(1)，引導學生弄清： (1) 整數(shù)的分類； (2) {x | x 是整數(shù)}，{x | x 是奇數(shù)}，{x | x 是偶數(shù)}各集合之間的關(guān)系． 生：試畫出Venn圖，并解答此題． 在引例中，集合D是集合A與B的什么運算？ 師：出示自學提綱： (1) 并集的定義是什么？其記法與讀法如何？ (2) 如何用Venn圖表示集合A與B的并集． (3) 并集有哪些性質(zhì)？ 生：自學教材P14～15——集合的并，每四人為一組，討論并回答自學提綱中提出的問題． 師：以提問的方式檢查學生自學情況，訂正學生回答的問題結(jié)果，并出示各知識點． 想一想：如果A Í B，那么A ∪ B＝ ． 給學生以賞識性評價． 師：出示例1(2)，例2(2) 生：口答． 師：請學生對比交、并運算定義的不同，強調(diào)定義中“公共元素”與“所有元素”的不同含義． 師：引導學生畫圖、討論、解答，在黑板上寫出各題答案． 師：訂正答案，對學生出現(xiàn)的問題給以糾正、講解． 例4教師首先引導學生分析得出：A ∩ B的元素是集合A與集合B中兩方程所構(gòu)成的方程組的解，然后板書詳細的解題過程，并強調(diào)注意點集的表示方法． 引導學生感知、歸納、總結(jié)，形成概念． 通過畫圖，深化理解交集定義中“公共元素”的含意． 加強學生間的合作交流； 通過討論，深化對交集定義的理解 通過一組簡單的有限集求交集的口答題，使學生初步掌握交集的定義． 借助Venn圖解答題目，數(shù)形結(jié)合深化對交集的理解． 通過類比，得出并集的定義，提高學生的自學能力． 通過學生自己畫圖，深化理解并集定義中“所有元素”的含意． 以學生填空和自己畫圖的方法，調(diào)動學生自己類比交集，并主動參與到教學中來． 通過一組簡單的有限集求并集的口答題，使學生初步掌握并集的定義． 通過例1(1)，例2(1)與例1(2)，例2(2)的對比，幫助學生區(qū)別交集、并集的定義． 通過綜合應(yīng)用，使學生進一步掌握求交集、并集的方法，并與前面學過的知識結(jié)合，使學生對學過的集合有更新的認識． 在板書例4的過程中，使學生明確初中方程組的解的含義． 小 結(jié) 定義 記法 圖示 性質(zhì) 交集 并集 1. 學生讀書、反思： 讀教材P13～16，總結(jié)本節(jié)課收獲． 2. 教師引導梳理，出示表格．學生填表，鞏固所學內(nèi)容． 通過對比，加深理解，強化記憶． 梳理總結(jié)也可對學生薄弱或易錯處強調(diào)總結(jié). 作 業(yè) 教材 P16， 練習A組第1～4題． 學生課后完成． 鞏固拓展． 1.1.4 集合的運算（二) 【教學目標】 1. 了解全集的意義；理解補集的概念，掌握補集的表示法；理解集合的補集的性質(zhì)；會求一個集合在全集中的補集． 2. 發(fā)展學生運用數(shù)學語言進行表達、交流的能力；培養(yǎng)學生建立數(shù)形結(jié)合的思想，將滿足條件的集合用Venn圖或數(shù)軸一一表示出來；提高學生觀察、比較、分析、概括的能力． 3. 鼓勵學生主動參與“教”與“學”的整個過程，激發(fā)其求知欲望，增強其學習數(shù)學的興趣與自信心． 【教學重點】 補集的概念與運算． 【教學難點】 全集的意義；數(shù)集的運算． 【教學方法】 本節(jié)課采用發(fā)現(xiàn)式教學法，通過引入實例，進而分析實例，引導學生尋找、發(fā)現(xiàn)其一般結(jié)果，歸納其普遍規(guī)律． 【教學過程】 環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 導 入 1. 復習提問：集合的交運算與并運算． 2. 實例引入，以我校食堂每天買菜的品種構(gòu)成的集合為例： 計劃購進的品種構(gòu)成的集合記為 U＝{黃瓜，冬瓜，鯽魚，蝦，茄子，豬肉，毛豆，芹菜，土豆}； 已經(jīng)購進的品種構(gòu)成的集合記為 A＝{黃瓜，鯽魚，茄子，豬肉，芹菜，土豆}． 師：提問上節(jié)課知識，并引出新問題之后，引入課題． 生：感受到數(shù)學在生活中處處存在． 師：出示引例，提出問題： 問題1：集合A與集合U什么關(guān)系？ 問題2：沒有購進的品種構(gòu)成的集合是什么？ 溫故而知新，便于引導學生在已有的基礎(chǔ)上去探求新知識． 聯(lián)系實際，使學生對將要學習的概念有感性認識，符合學生的認識規(guī)律． 新 課 新 課 新 課 一、全集 1. 定義：我們在研究集合與集合之間的關(guān)系時，如果一些集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為這些集合的全集．通常用字母U表示． 2. 特征：全集是一個相對的概念，是一個給定的集合，在研究不同問題時，全集也不一定相同． 我們在研究數(shù)集時，常常把實數(shù)集R作為全集． 二、補集 1. 定義． 如果 A 是全集U的一個子集，由U中的所有不屬于 A 的元素構(gòu)成的集合，叫做 A 在U 中的補集． 記作 U A． 讀作 “A 在U中的補集”． 2. 補集的Venn圖表示． A U CU A 例1 已知：U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}． 則 U A＝ ； A ∩ U A＝ ； A ∪ U A＝ ． 解 {2，4，6}；Æ；U． 例2 已知 U＝{ x | x是實數(shù)}，Q＝{ x | x 是有理數(shù)}． 則 UQ＝ ； Q ∩U Q＝ ； Q ∪U Q＝ ． 解 { x | x 是無理數(shù)}；Æ；U． 3. 補集的性質(zhì)． (1) A ∪ U A＝U ； (2) A ∩ U A＝Æ ； (3) U(U A)＝A ． 例3 已知全集U＝R，A＝{x | x＞5}，求 U A． 解 U A＝{x | x≤5}． 練習 1 (1) 已知全集 U＝R，A＝{ x | x＜1}，求U A． (2) 已知全集 U＝R，A＝{ x | x≤1}，求 U A． 練習2 設(shè) U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{5，2，1}，B＝{5，4，3，2}．求 U A；U B；U A ∩U B； U A ∪U B． 練習3 已知全集 U＝R，A＝{x | -１< x < 1}．求U A，U A∩U，U A∪U，A ∩U A，A ∪U A． 師：提出問題，請學生觀察并回答；集合A與集合U之間關(guān)系怎樣？ 生：觀察集合間的關(guān)系，得出；集合A是集合U的子集． 師：通過上例，介紹全集的定義與特征． 師：通過引導學生回答引例中的問題2“沒有購進的品種構(gòu)成的集合是什么？”，得出補集的定義和特征；介紹補集的記法和讀法． 生：根據(jù)定義，試用陰影表示補集． 師：訂正、講解補集Venn圖表示法. 生：對例1口答填空． 師：引導學生畫出例2的Venn圖，明確集合間關(guān)系，請學生觀察并說出結(jié)果． 師：以填空的形式出示各條性質(zhì)． 生：填寫性質(zhì)． 師：結(jié)合數(shù)軸講解例3. 學生解答練習1，并總結(jié)解題規(guī)律． 學生做練習2、3，老師點撥、解答學生疑難． 從引例的集合關(guān)系中直觀感知全集涵義． 通過引導學生回答問題1，得出全集的定義和特征． 從引例的集合關(guān)系中直觀感知補集涵義． 通過畫圖來理解補集定義，突破難點． 借助簡單題目使學生初步理解補集定義． 例2中補充兩問，為學生得出性質(zhì)做鋪墊． 結(jié)合具體例題和Venn圖，使學生自己得出補集的各個性質(zhì)，深化對補集概念的理解． 培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學意識． 通過練習加深學生對補集的理解． 小 結(jié) 補 集 定義 記法 圖示 性質(zhì) 1. 學生讀書、反思，說出自己學習本節(jié)課的收獲和存在問題． 2. 老師引導梳理，總結(jié)本節(jié)課的知識點，學生填表鞏固. 讓學生讀書、反思，培養(yǎng)學生形成良好的學習習慣，提高學習能力． 作 業(yè) 教材P17，練習A組第1～4題． 學生課后完成． 鞏固拓展． 1.2.1 充要條件 【教學目標】 1. 使學生正確理解充分條件、必要條件和充要條件三個概念． 2. 能在判斷、論證中靈活運用上述三個概念． 3. 培養(yǎng)學生思維的嚴密性． 【教學重點】 正確理解充分條件、必要條件和充要條件三個概念． 【教學難點】 正確區(qū)分充分條件、必要條件． 【教學方法】 本節(jié)課采用啟發(fā)式教學和講練結(jié)合的教學方法，引導學生分析歸納，形成概念． 【教學過程】 環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 導 入 問題：判斷命題“如果 x＝y(tǒng)，則x2＝y(tǒng)2”是否正確． 師生一起感受命題推理． 聯(lián)系實際； 激發(fā)興趣． 新 課 新 課 新 課 1．命題與推出． 在數(shù)學中，我們經(jīng)常遇到“如果 p，則 q”形式的命題，這種命題的真假要通過推理來判斷．如果p真，證明q也為真，那么“如果p，則q”就是真命題．這時我們就說，由p可推出q． 符號記作：p Þ q， 讀作：“p推出q”． 2．推出與充分、必要條件． p推出q，通常還可表述為 p是q的充分條件； q是p的必要條件． 這就是說， 如果p，則q；(真) p Þ q； p是q的充分條件； q是p的必要條件． 這四句話表達的都是同一意義． 例1 (1)“如果 x＝y(tǒng)，則 x2＝y(tǒng)2”(真)這個命題還可表述為哪幾種形式？ (2)“在△ABC中，如果AB＝AC，則∠B＝∠C”(真)這個命題還可表述為哪幾種形式？ 解 (1)“如果 x＝y(tǒng)，則 x2＝y(tǒng)2”(真)這個命題還可表述為 x＝y(tǒng) Þ x2＝y(tǒng)2； 或 x＝y(tǒng) 是 x2＝y(tǒng)2 的充分條件； 或 x2＝y(tǒng)2 是 x＝y(tǒng) 的必要條件． (2)“在△ABC中，如果AB＝AC，則∠B＝∠C”(真)這個命題還可表述為 在△ABC中，AB＝ACÞ∠B＝∠C； 或 在△ABC中，AB＝AC是∠B＝∠C 的充分條件； 或 在△ABC中，∠B＝∠C是AB＝AC 的必要條件． 練習1 教材P22 練習A組第1題． 練習2 教師寫出四種等價說法中的一種，學生說出其他三種． 3．充要條件． 觀察例1(2)“在△ABC中，如果 AB＝AC，則∠B＝∠C”． 反過來，“在△ABC 中，如果 ∠B＝∠C，則 AB＝AC”這個命題是否正確？若正確，用剛學過的“推出符號”和充分、必要條件怎么敘述? 引出充要條件的概念． 如果p是q的充分條件(p Þ q )，p又是q的必要條件(q Þ p )，則稱p是q的充分且必要條件，簡稱充要條件． 記作 p Û q． 顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．又常說成q當且僅當p，或p與q等價． 例如：兩個三角形對應(yīng)角相等是兩個三角形相似的充要條件． 4.綜合練習． 例2 用充分條件、必要條件或充要條件填空： (1) x 是整數(shù)是 x 是有理數(shù)的 ； (2) x＝3 是 x2＝9的 ； (3) 同位角相等是兩直線平行的 ； (4) (x－2)(x－3)＝0是 x－2＝0的 ； 練習3 教材 P22，A組第2題． 例3 已知 p 是 q 充分條件，s是 r 必要條件，p 是 s 充要條件．求q與r的關(guān)系． 解 根據(jù)已知可得 p Þ q，r Þ s，p Û s． 所以 r Þ s Û p Þ q． 所以 r Þ q． 即，r 是 q 的充分條件，q 是 r 的必要條件． 練習4 用充分而不必要條件、必要而不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件填空： (1) a＝b 是 a c＝b c 的 ； (2) 兩個三角形全等是兩個三角形相似的 ； (3) 四邊形的對角線相等是四邊形是矩形的 ； (4) a＋5是無理數(shù)是 a 是無理數(shù)的 ． 生：結(jié)合引例，閱讀教材P21第1行到第15行，每四人為一組討論：p推出q還有幾種表達方式？ 根據(jù)學生的回答，教師引導學生弄清幾個關(guān)鍵詞：推出，充分條件，必要條件；同時強調(diào)這四句話表達的都是同一意義． 師：板書例題，引導學生用四種不同的表述方法表述同一命題． 讓各個學生參與到練習中來． 教師分析例1中的(2)，引導學生得出充要條件的定義． 生：比較例1中(1)和(2)的不同，得出充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法：僅看“前推后”是不夠的，還要看“后推前”． 師：你能舉出幾個充要條件的例子嗎？ 師：引導學生總結(jié)解題思路，可簡記為： 1. 前推后充分； 2. 后推前必要； 3. 互推充要． 練習3學生模仿練習． 師：出示例題． 生：討論，理清各命題之間的關(guān)系． 師：總結(jié)學生發(fā)言，梳理解題思路，板書解題過程． 生：思考、討論，說出練習4各題的結(jié)果． 師：引導學生訂正答案，并說明原因，加深對各種條件的理解． 從實例直觀感知概念． 培養(yǎng)學生自學能力和邏輯思維能力． 幾種表達方式的理解是難點，通過觀察、自學、類比、思考突破學生這一思維障礙． 通過例題1，熟練使用四種不同表達方式，加深對充分條件，必要條件的理解. 練習2使學生熟悉四種等價說法的相互轉(zhuǎn)換，為例3做準備． 在分析例(2)，的基礎(chǔ)上得出“充要條件”的概念，使學生明確充分條件，必要條件，充要條件的關(guān)系． 培養(yǎng)學生思維的嚴密性． 引導學生用剛學過的數(shù)學語言描述初中的等價命題，培養(yǎng)數(shù)學語言的應(yīng)用意識． 在板書例2的過程中，突出解題思路與步驟． 通過例3，將不同表達方式的轉(zhuǎn)化運用到判定中，加深充分條件，必要條件，充要條件的理解． 加深對充分條件，必要條件，充要條件的理解，形成技能． 小 結(jié)