《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一） 一、 判斷題（20分）： 1.若f(z)在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函數(shù)必在整個(gè)復(fù)平面為常數(shù). ( ) 3.若收斂，則與都收斂. ( ) 4.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且，則（常數(shù)）. ( ) 5.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開為冪級(jí)數(shù). ( ) 6.若z0是的m階零點(diǎn)，則z0是1/的m階極點(diǎn). ( ) 7.若存在且有限，則z0是函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn). ( ) 8.若函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則. ( ) 9. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對(duì)D內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線C. ( ) 10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù).（ ） 二.填空題（20分） 1、 __________.（為自然數(shù)） 2. _________. 3.函數(shù)的周期為___________. 4.設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有__________. 5.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為__________. 6.若函數(shù)f(z)在整個(gè)平面上處處解析，則稱它是__________. 7.若，則______________. 8.________，其中n為自然數(shù). 9. 的孤立奇點(diǎn)為________ . 10.若是的極點(diǎn)，則. 三.計(jì)算題（40分）： 1. 設(shè)，求在內(nèi)的羅朗展式. 2. 3. 設(shè)，其中，試求 4. 求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部. 四. 證明題.(20分) 1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù). 2. 試證: 在割去線段的平面內(nèi)能分出兩個(gè)單值解析分支, 并求出支割線上岸取正值的那支在的值. 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）參考答案 一． 判斷題 1．2．√?。常獭。矗獭。担?　6．√?。罚福梗?0． 二．填空題 1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 1 6. 整函數(shù)； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. . 三．計(jì)算題. 1. 解 因?yàn)?所以 . 2. 解 因?yàn)? , . 所以. 3. 解 令, 則它在平面解析, 由柯西公式有在內(nèi), . 所以. 4. 解 令, 則 . 故 , . 四. 證明題. 1. 證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù), 得 因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? . 消去得, . 1) 若, 則 為常數(shù). 2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , . 所以. (為常數(shù)). 所以為常數(shù). 2. 證明的支點(diǎn)為. 于是割去線段的平面內(nèi)變點(diǎn)就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周, 故能分出兩個(gè)單值解析分支. 由于當(dāng)從支割線上岸一點(diǎn)出發(fā),連續(xù)變動(dòng)到 時(shí), 只有的幅角增加. 所以 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割線上岸取正值, 于是可認(rèn)為該分支在上岸之幅角為0, 因而此分支在的幅角為, 故. 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二） 一. 判斷題.（20分） 1. 若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù). ( ) 2. cos z與sin z在復(fù)平面內(nèi)有界. ( ) 3. 若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù). ( ) 4. 有界整函數(shù)必為常數(shù). ( ) 5. 如z0是函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn)，則一定不存在. ( ) 6. 若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對(duì)D內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線C. ( ) 8. 若數(shù)列收斂，則與都收斂. ( ) 9. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析. ( ) 10. 存在一個(gè)在零點(diǎn)解析的函數(shù)f(z)使且. ( ) 二. 填空題. (20分) 1. 設(shè)，則 2.設(shè)，則________. 3. _________.（為自然數(shù)） 4. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為__________ . 5. 若z0是f(z)的m階零點(diǎn)且m>0，則z0是的_____零點(diǎn). 6. 函數(shù)ez的周期為__________. 7. 方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________. 8. 設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有_________. 9. 函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為________. 10. . 三. 計(jì)算題. (40分) 1. 求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式. 2. 在復(fù)平面上取上半虛軸作割線. 試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實(shí)軸取正實(shí)值的一個(gè)解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點(diǎn)及右沿的點(diǎn)處的值. 3. 計(jì)算積分：，積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓. 4. 求 . 四. 證明題. (20分) 1. 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析. 2. 試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理. 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）參考答案 一. 判斷題. 1．√ ２．３．√ ４．√ ５．6．７．８．√ ９．10．. 二. 填空題 1.1，， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. . 6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0. 三. 計(jì)算題 1. 解 . 2. 解 令. 則. 又因?yàn)樵谡龑?shí)軸去正實(shí)值，所以. 所以. 3. 單位圓的右半圓周為, . 所以. 4. 解 =0. 四. 證明題. 1. 證明 (必要性) 令,則. (為實(shí)常數(shù)). 令. 則. 即滿足, 且連續(xù), 故在內(nèi)解析. (充分性) 令, 則 , 因?yàn)榕c在內(nèi)解析, 所以 , 且. 比較等式兩邊得 . 從而在內(nèi)均為常數(shù),故在內(nèi)為常數(shù). 2. 即要證“任一 次方程 有且只有 個(gè)根”. 證明 令, 取, 當(dāng)在上時(shí), 有 . . 由儒歇定理知在圓 內(nèi), 方程 與 有相 同個(gè)數(shù)的根. 而 在 內(nèi)有一個(gè) 重根 . 因此次方程在 內(nèi)有 個(gè)根. 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（三） 一. 判斷題. (20分). 1. cos z與sin z的周期均為. ( ) 2. 若f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件, 則f(z)在z0解析. ( ) 3. 若函數(shù)f(z)在z0處解析，則f(z)在z0連續(xù). ( ) 4. 若數(shù)列收斂，則與都收斂. ( ) 5. 若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)解析且在D內(nèi)的某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，則數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù). ( ) 6. 若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo). ( ) 7. 如果函數(shù)f(z)在上解析,且,則 . （ ） 8. 若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開為冪級(jí)數(shù). ( ) 9. 若z0是的m階零點(diǎn), 則z0是1/的m階極點(diǎn). ( ) 10. 若是的可去奇點(diǎn)，則. ( ) 二. 填空題. (20分) 1. 設(shè)，則f(z)的定義域?yàn)開__________. 2. 函數(shù)ez的周期為_________. 3. 若，則__________. 4. ___________. 5. _________.（為自然數(shù)） 6. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為__________. 7. 設(shè)，則f(z)的孤立奇點(diǎn)有__________. 8. 設(shè)，則. 9. 若是的極點(diǎn)，則. 10. . 三. 計(jì)算題. (40分) 1. 將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù). 2. 試求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 3. 算下列積分：，其中是. 4. 求在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù). 四. 證明題. (20分) 1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù). 2. 設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n，以及兩個(gè)正數(shù)R及M，使得當(dāng)時(shí) ， 證明是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù)。 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（三）參考答案 一. 判斷題 1． ２．３．√ ４．√ ５．√6．√７． √ ８．√ ９．√ 10．√. 二.填空題. 1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ; 6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. . 三. 計(jì)算題. 1. 解 . 2. 解 . 所以收斂半徑為. 3. 解 令 , 則 . 故原式. 4. 解 令 , . 則在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 內(nèi), 方程只有一個(gè)根. 四. 證明題. 1. 證明 證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù), 得 因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? . 消去得, . 1) , 則 為常數(shù). 2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , . 所以. (為常數(shù)). 所以為常數(shù). 2. 證明 取 , 則對(duì)一切正整數(shù) 時(shí), . 于是由的任意性知對(duì)一切均有. 故, 即是一個(gè)至多次多項(xiàng)式或常數(shù). 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（四） 一、 判斷題（24分） 1. 若函數(shù)在解析，則在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo).（ ） 2. 若函數(shù)在處解析，則在滿足Cauchy-Riemann條件.（ ） 3. 如果是的可去奇點(diǎn)，則一定存在且等于零.（ ） 4. 若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)，則.（ ） 5. 若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（ ） 6. 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析，且在內(nèi)某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（ ） 7. 若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).（ ） 二、 填空題（20分） 1. 若，則___________. 2. 設(shè)，則的定義域?yàn)開___________________________. 3. 函數(shù)的周期為______________. 4. _______________. 5. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為________________. 6. 若是的階零點(diǎn)且，則是的____________零點(diǎn). 7. 若函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面處處解析，則稱它是______________. 8. 函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為__________. 9. 方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________. 10. _________________. 三、 計(jì)算題（30分） 1、 求. 2、 設(shè)，其中，試求. 3、設(shè)，求. 4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式. 5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部. 6、利用留數(shù)定理計(jì)算積分：，. 四、 證明題（20分） 1、方程在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為7. 2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù). 3、 若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn). 五、 計(jì)算題（10分） 求一個(gè)單葉函數(shù)，去將平面上的上半單位圓盤保形映射為平面的單位圓盤 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（四）參考答案 一、判斷題：1.√ 2. √ 3. 4.√ 5.√ 6.√ 7. √ 8. 二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 三、計(jì)算題： 1. 解： 2. 解： 因此 故 . 3. 解： 因此 4. 解： 由于，從而. 因此在內(nèi) 有 5．解：設(shè), 則. 6.解：設(shè)，則， ，故奇點(diǎn)為 . 四、證明題： 1. 證明：設(shè) 則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為7. 2.證明：設(shè)，則 已知在區(qū)域內(nèi)解析，從而有 將此代入上上述兩式得 因此有 于是有. 即有 故在區(qū)域恒為常數(shù). 3.證明：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè) ， 其中在的某鄰域內(nèi)解析且， 于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點(diǎn). 五、計(jì)算題 解：根據(jù)線性變換的保對(duì)稱點(diǎn)性知關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)應(yīng)該變到關(guān)于圓周的對(duì)稱點(diǎn)，故可設(shè) 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（五） 一、判斷題（20分） 1、若函數(shù)在解析，則在連續(xù).（ ） 2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（ ） 3、如果是的本性奇點(diǎn)，則一定不存在.（ ） 4、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)解析，并且，則是區(qū)域的單葉函數(shù).（ ） 5、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（ ） 6、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)均可導(dǎo)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（ ） 7、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且，則在內(nèi)恒為常數(shù).（ ） 1. 存在一個(gè)在零點(diǎn)解析的函數(shù)使且.（ ） 2. 如果函數(shù)在上解析，且，則.（ ） 3. 是一個(gè)有界函數(shù).（ ） 二、填空題（20分） 1、若，則___________. 2、設(shè)，則的定義域?yàn)開___________________________. 3、函數(shù)的周期為______________. 4、若，則_______________. 5、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為________________. 6、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式為______________________________. 7、若是單位圓周，是自然數(shù)，則______________. 8、函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為__________. 9、方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________. 10、若，則的孤立奇點(diǎn)有_________________. 三、計(jì)算題（30分） 1、求 2、設(shè)，其中，試求. 3、設(shè)，求. 4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式. 5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部. 四、證明題（20分） 1、方程在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為7. 2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則二元函數(shù)與都在內(nèi)連續(xù). 1、 若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn). 一、 計(jì)算題（10分） 求一個(gè)單葉函數(shù)，去將平面上的區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤. 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（五）參考答案 一、判斷題：1.√ 2. 3. √ 4. 5.√ 6.√ 7. √ 8. 9. √ 10. 二、填空題：1. 2. 3. 4. 5. 1 6. 7. 8. 9. 5 10. 三、計(jì)算題： 1. 解：由于在解析， 所以 而 因此. 2. 解： 因此 故 . 3. 解： 因此 4.解： 由于，從而 因此在內(nèi)有 5．解：設(shè), 則. 6．解：設(shè), 則 在內(nèi)只有一個(gè)一級(jí)極點(diǎn) 因此 . 四、證明： 1. 證明：設(shè) 則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為7 2. 證明：因?yàn)?，在?nèi)連續(xù), 所以, 當(dāng)時(shí)有 從而有 即與在連續(xù)，由的任意性知與都在內(nèi)連續(xù) 3.證明：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè) ， 其中在的某鄰域內(nèi)解析且， 于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點(diǎn). 五、解：1.設(shè)，則將區(qū)域保形映射為區(qū)域 2.設(shè), 則將上半平面保形變換為單位圓. 因此所求的單葉函數(shù)為 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（六） 一、判斷題（40分）： 1、若函數(shù)在解析，則在的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo).（ ） 2、如果是的本性奇點(diǎn)，則一定不存在.（ ） 3、若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則與都在內(nèi)連續(xù).（ ） 4、與在復(fù)平面內(nèi)有界.（ ） 5、若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).（ ） 6、若在處滿足柯西-黎曼條件，則在解析.（ ） 7、若存在且有限，則是函數(shù)的可去奇點(diǎn).（ ） 8、若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對(duì)內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線都有.（ ） 9、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（ ） 10、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，且在內(nèi)某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（ ） 二、填空題（20分）： 1、函數(shù)的周期為_________________. 2、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為_________________. 3、設(shè)，則的定義域?yàn)開________________. 4、的收斂半徑為_________________. 5、=_________________. 三、計(jì)算題（40分）： 1、 2、求 3、 4、設(shè) 求，使得為解析函數(shù)，且滿足。其中（為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）. 5、求，在內(nèi)根的個(gè)數(shù) 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（六）參考答案 一、判斷題（40分）： 1.√ 2. √ 3.√ 4. 5. √ 6. 7. √ 8. √ 9. √ 10. √ 二、填空題（20分）： 1. 2. 3. 4. 5. 三、計(jì)算題（40分） 1. 解：在上解析，由積分公式，有 2. 解：設(shè)，有 3. 解： 4. 解：， 故， 5. 解：令， 則，在內(nèi)均解析，且當(dāng)時(shí) 由定理知根的個(gè)數(shù)與根的個(gè)數(shù)相同. 故在內(nèi)僅有一個(gè)根. 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（七） 一、 判斷題。（正確者在括號(hào)內(nèi)打√，錯(cuò)誤者在括號(hào)內(nèi)打，每題2分） 1．設(shè)復(fù)數(shù)及，若或，則稱與是相等的復(fù)數(shù)。（ ） 2．函數(shù)在復(fù)平面上處處可微。 （ ） 3．且。 （ ） 4．設(shè)函數(shù)是有界區(qū)域內(nèi)的非常數(shù)的解析函數(shù)，且在閉域上連續(xù)，則存在，使得對(duì)任意的，有。 （ ） 5．若函數(shù)是非常的整函數(shù)，則必是有界函數(shù)。（ ） 二、填空題。（每題2分） 1． _____________________。 2．設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，________________。 3．若已知，則其關(guān)于變量的表達(dá)式為__________。 4．以________________為支點(diǎn)。 5．若，則_______________。 6．________________。 7．級(jí)數(shù)的收斂半徑為________________。 8．在（為正整數(shù)）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_______________。 9．若為函數(shù)的一個(gè)本質(zhì)奇點(diǎn)，且在點(diǎn)的充分小的鄰域內(nèi)不為零，則是的________________奇點(diǎn)。 10．設(shè)為函數(shù)的階極點(diǎn)，則_____________________。 三、計(jì)算題（50分） 1．設(shè)區(qū)域是沿正實(shí)軸割開的平面，求函數(shù)在內(nèi)滿足條件的單值連續(xù)解析分支在處之值。 （10分） 2．求下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并確定其類型（對(duì)于極點(diǎn)要指出它們的階），并求它們留數(shù)。（15分） （1）的各解析分支在各有怎樣的孤立奇點(diǎn)，并求這些點(diǎn)的留數(shù) （10分） （2）求。 （5分） 3．計(jì)算下列積分。（15分） （1） （8分）， （2） （7分）。 4．?dāng)⑹鋈逍ɡ聿⒂懻摲匠淘趦?nèi)根的個(gè)數(shù)。（10分） 四、證明題（20分） 1．討論函數(shù)在復(fù)平面上的解析性。 （10分） 2．證明： 。 此處是圍繞原點(diǎn)的一條簡(jiǎn)單曲線。（10分） 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（七）參考答案 一、判斷題. 1. 2. 3. 4. √ 5. 二、填空題. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.本性 10. 三、計(jì)算題. 1.解： 由 得 從而有 2.解：（1）的各解析分支為，. 為的可去奇點(diǎn)，為的一階極點(diǎn)。 （2） 3.計(jì)算下列積分 解：（1） （2）設(shè) 令， 則 4.儒歇定理：設(shè)是一條圍線，及滿足條件： （1）它們?cè)诘膬?nèi)部均解析，且連續(xù)到； （2）在上， 則與在的內(nèi)部有同樣多零點(diǎn)， 即 有 由儒歇定理知在沒有根。 四、證明題 1證明：.設(shè) 有 易知，在任意點(diǎn)都不滿足條件，故在復(fù)平面上處處不解析。 2.證明：于高階導(dǎo)數(shù)公式得 即 故 從而