《《復變函數(shù)》PPT課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《《復變函數(shù)》PPT課件.ppt（58頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 第 四 章 級 數(shù) 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 主 要 內 容本 章 主 要 包 括 ：1、 復 數(shù) 項 級 數(shù) ;2、 冪 級 數(shù) 的 概 念 、 性 質 及 其 斂 散 性 的 判 定 ;3、 解 析 函 數(shù) 展 開 為 泰 勒 級 數(shù) ;4、 解 析 函 數(shù) 展 開 為 洛 朗 級 數(shù) . 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 2、 冪 級 數(shù) 3、 泰 勒 級 數(shù) 4、 洛 朗 級 數(shù) 1、 復 數(shù) 項 級 數(shù) 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 1 復 數(shù) 項 級 數(shù)2、 復 數(shù) 項 級 數(shù)1、 復 數(shù) 列 的 極 限 上 頁 下 頁

2、 鈴結 束返 回首 頁 1、 復 數(shù) 列 的 極 限定 義 0, 如 任 意 給 定 相 應 地 都 能 找 到 一 個 正 整( ), , nN n N 數(shù) 使 在 時 : 成 立 , 時 的 極 限當稱 為 復 數(shù) 列那 末 nn記 作 .lim nn . 收 斂 于此 時 也 稱 復 數(shù) 列 n , ),2,1( 其 中為 一 復 數(shù) 列設 nn ,nnn iba , 為 一 確 定 的 復 數(shù)又 設 iba 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 復 數(shù) 列 收 斂 的 條 件 ( 1,2, ) n n na ib na ib 定 理 復 數(shù) 列收 斂 于 的 充 要 條 件 是lim

3、, lim .n nn na a b b 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 ,lim nn如 果 那 末 對 于 任 意 給 定 的 0就 能 找 到 一 個 正 數(shù) N, , 時當 Nn,)()( ibaiba nn證 ,)()( bbiaaaa nnn從 而 有 .lim aann 所 以 .lim bbnn 同 理 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 .2,2 bbaa nn反 之 , 如 果 ,lim,lim bbaa nnnn , 時那 末 當 Nn從 而 )()( ibaiba nnn )()( bbiaa nn .lim nn所 以 , bbaa nn 上 頁 下 頁 鈴結

4、 束返 回首 頁 1 1(1) (1 ) (1 )(cos sin ),i nn e in n n n 因 為 下 列 數(shù) 列 是 否 收 斂 , 如 果 收 斂 , 求 出 其 極 限 .1(1) (1 ) ;i nn en .sin)11( nnbn ,cos)11( nnan 所 以而 0lim,1lim nnnn ba解 : 例 1、 .cos)2( innn 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 )2( cos cosh ,n n in n n 由 于 ,時當 n所 以 數(shù) 列 發(fā) 散 . 1(1 ) ,inn en 所 以 數(shù) 列 收 斂 .1lim nn 且,n 上 頁 下 頁

5、鈴結 束返 回首 頁 定 義 ( 1,2, ) ,n n na ib n 設 為 一 復 數(shù) 列1 21 (4.1)n nn 表 達 式稱 為 復 數(shù) 項 級 數(shù) .2、 復 數(shù) 項 級 數(shù) 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 nns 21 稱 為 級 數(shù) 的 部 分 和 .部 分 和 ：若 部 分 和 數(shù) 列 sn(n=1,2,)以 有 限 復 數(shù) s為 極 限 ,lim ( )nn s s 即 ：復 數(shù) 項 級 數(shù) 的 收 斂 與 發(fā) 散 （ 斂 散 性 ） 1 nns 則 稱 復 數(shù) 項 無 窮 級 數(shù) (4.1)收 斂 于 s,且 稱 s為 (4.1)的 和 ,寫成否 則 若 復 數(shù)

6、 列 sn(n=1,2,)無 有 限 極 限 ,則 稱 級 數(shù) (4.1)為 發(fā) 散 . 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 總 結 ： 與 實 數(shù) 項 級 數(shù) 相 同 , 判 別 復 數(shù) 項 級 數(shù) 斂 散性 的 基 本 方 法 是 : lim .nn s s 求 極 限 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 :, 0n nz級 數(shù)例 如 1-21 nn zzzs ,1時由 于 當 z ,)1(11 zzzn zzs nnnn 11limlim ,11z .1時 級 數(shù) 收 斂所 以 當 z 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 定 理 4.1 設 n=an+ibn(n=1,2,),an及

7、 bn為 實 數(shù) ,則 復 級 數(shù) (4.1)收 斂 于 s=a+ib(a,b為 實 數(shù) )的 充 要 條 件 為 :1 1,n nn na b 分 別 收 斂 于 a及 b.復 數(shù) 項 級 數(shù) 收 斂 的 條 件實 數(shù) 項 級 數(shù)注 ： 該 定 理 的 說 明 復 數(shù) 項 級 數(shù) 的 審 斂 問 題 可 轉 化 為實 數(shù) 項 級 數(shù) 的 審 斂 問 題 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 1 11) ,n nn na b 分 別 收 斂 于 a及 b 1 ( )nn s a ib 1 12) ,n nn na b 至 少 一 個 發(fā) 散 1 nn 發(fā) 散結 論 ： 上 頁 下 頁 鈴結 束

8、返 回首 頁 8i(2); )1(1)1( 0n1 nnin nn解 ： （ 1） ; 1 11 發(fā) 散因 為 nn n na . 1 1 21 收 斂 nn n nb 例 2、 下 列 級 數(shù) 是 否 收 斂 ？所 以 原 級 數(shù) 發(fā) 散 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 , !81 收 斂 n nn故 原 級 數(shù) 收 斂 , 且 為 絕 對 收 斂 .,!8!)8( nni nn （ 2） 因 為所 以 由 正 項 級 數(shù) 的 比 值 判 別 法 知 : 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 正 項 級 數(shù) 的 概 念 ：若 級 數(shù) 中 各 項 都 是 非 負 的 ( 即 )， 則 稱

9、該 級 數(shù) 為 正 項 級 數(shù) 。 正 項 級 數(shù) 收 斂 的 充 要 條 件 是 它 的 部 分 和 數(shù) 列 有界 。 1 21 n nn u u u u 0, 1,2,nu n 補 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 幾 個 典 型 的 正 項 級 數(shù) ： （ 1） 等 比 級 數(shù) ：在 時 收 斂 ， q 1時 發(fā) 散 。 （ 2） p級 數(shù) ：在 p 1時 收 斂 ， p 1時 發(fā) 散 。 n 2 nn=0aq =a+aq+aq + +aq +| | 1q 1 1 1 1 11 2 3p p p pn n n 補 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 基 本 審 斂 法1、 比 較

10、審 斂 法 ：對 正 項 級 數(shù)(1)如 果 ， 則 有 結 論 ：1 1n nn nu v 和( 1,2, )n nu v n 1 1n nn nv u 收 斂 收 斂 ；1 1n nn nu v 發(fā) 散 發(fā) 散 ； 補 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 （ 2） 如 果 極 限則 當 時 兩 級 數(shù) 同 斂 散 ；如 果 極 限 為 0， 則如 果 極 限 為 ， 則lim nn nu lv 0 l 1 1n nn nv u 收 斂 收 斂 ； 1 1n nn nu v 發(fā) 散 發(fā) 散 ； 補 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 比 值 判 別 法 、 根 值 審 斂 法 ： 若 正

11、 項 級 數(shù) 適 合 則 當 時 級 數(shù) 收 斂 ； 當 （ 也 包 括 時 ）級 數(shù) 發(fā) 散 ； 當 時 無 法 判 定1 21 n nn u u u u 1lim limn n n n nnu uu 或1 1 1 補 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁推 論 2 收 斂 級 數(shù) 的 各 項 必 是 有 界 的 . 推 論 1 收 斂 級 數(shù) 的 通 項 必 趨 于 零 : lim 0nn (事 實 上 ， 取 p=1,則 必 有 |an+1|)， 常 用 其 等 價 命 題 ：lim 0 limn nn n 或 不 存 在 ， 則 級 數(shù) (4.1)發(fā) 散 推 論 3 若 級 數(shù) (4.

12、1)中 略 去 有 限 個 項 ,則 所 得 級 數(shù) 與 原 級 數(shù) 同 為 收 斂 或 同 為 發(fā) 散 . 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 例 3 1 1 12 是 否 收 斂 ？級 數(shù) n nni解 級 數(shù) 滿 足 必 要 條 件 , ,01lim 12 ni nn即但 11 12 )1(11 n nn n n ini )31211()31211( i , 1 1 發(fā) 散級 數(shù)因 為 n n .原 級 數(shù) 仍 發(fā) 散 ,1)1(1 收 斂雖 n n n 11n n 1 1)1(n n ni 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 定 義 若 級 數(shù) 收 斂 ,則 原 級 數(shù) 稱為 絕

13、對 收 斂 ;非 絕 對 收 斂 的 級 數(shù) ,稱 為 條 件 收 斂 .1 |n na 1n na: 1 1 1n n nn n na b 定 理 絕 對 收 斂 與 絕 對 收 斂絕 對 收 斂 與 條 件 收 斂 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 定 理 ： 如 果 收 斂 ， 那 么 也 收 斂 ， 且不 等 式 成 立1| |nn 1 nn 1 1| | | |n nn n 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 !)8( 1 是 否 絕 對 收 斂 ？級 數(shù) n nni例 4 , !81 收 斂n nn故 原 級 數(shù) 收 斂 , 且 為 絕 對 收 斂 .,!8!)8( nni

14、nn 因 為所 以 由 正 項 級 數(shù) 的 比 值 判 別 法 知 :解 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 2 冪 級 數(shù)1、 復 變 函 數(shù) 項 級 數(shù)2、 冪 級 數(shù)3、 收 斂 圓 與 收 斂 半 徑4、 冪 級 數(shù) 收 斂 半 徑 的 求 法5、 冪 級 數(shù) 的 運 算 和 性 質 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 定 義 設 復 變 函 數(shù) 項 級 數(shù) 的 各 項 均 在 點 集 E上 有 定 義 ,且 在 E上 存 在 一 個 函 數(shù) f(z),對 于 E上 的 每 一 點 z,級 數(shù) 4.2均 收 斂 于 f(z),則 稱 f(z)為 級 數(shù)(4.2)的 和 函 數(shù) ,記

15、 為 : 1( ) ( )nnf z f z 復 變 函 數(shù) 項 級 數(shù) 收 斂的 定 義1、 （ 1） 復 變 函 數(shù) 項 級 數(shù)1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4.2)n nn f z f z f z f z f z 1 2 3 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 例 題 ： 20 1 ;n nn z z z z 1 ( 1) ;nn z n 31 ( 1)nn zn 0(cos ) ;nn in z0 ( ) ;n z nn i e 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 關 于 復 變 函 數(shù) 項 級 數(shù) 的 和 函 數(shù) s(z) （ 或 f(z)） :1 21( ) (

16、 ) ( ) ( ) ( )nn k nks z f z f z f z f z ( ) lim ( )nns z s z則 ：結 論 ： 當 s(z)存 在 且 不 為 無 窮 時 ， 級 數(shù)收 斂 ， 否 則 級 數(shù) 發(fā) 散 。 1 ( )nn f z 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 例 求 冪 級 數(shù) nn n zzzz 20 1的 收 斂 范 圍 與 和 函 數(shù) .解 ： 級 數(shù) 的 部 分 和 為 )1(,111 12 zzzzzzs nnn 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 1z zsnn 11lim 級 數(shù) 0n nz 收 斂 ,1z 0lim nn z 級 數(shù) 0n

17、nz 發(fā) 散 .且 有 .111 2 nzzzz 收 斂 范 圍 為 一 單 位 圓 域 ,1z由 阿 貝 爾 定 理 知 :在 此 圓 域 內 , 級 數(shù) 絕 對 收 斂 , 收 斂 半 徑 為 1, 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 結 論 1z 時 ， 0 1lim 1n nnn z s z 用 于 ， 將 一 個 函 數(shù) 展 開 成 冪 級 數(shù) 的 形 式 。即 ： 01 = | | 11 nn z zz ， （ 當 時 ） 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 （ 1） 定 義 ： 具 有 形 式 的 復 函 數(shù) 項 級 數(shù) 稱 為 冪 級 數(shù) ,其 中 c0,c1,c2 ,a都

18、 是 復 常 數(shù) . 20 1 21 .nnn c z c c z c z 若 令 a=0則 以 上 冪 級 數(shù) 還 可 以 寫 成 如 下 形 式 ( ) ( ) ( )0 10 n nn nn c z a c c z a c z a= - = + - + + - + L L2、 冪 級 數(shù) （ 2）（ 1）關 鍵 是 通 項系 數(shù) 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 （ 2） 冪 級 數(shù) 的 斂 散 性 ： 20 1 20 .nnn c z c c z c z 定 理 一 （ 阿 貝 爾 定 理 ） ： 如 果 冪 級 數(shù) (2)在 某 點 處 收 斂 , 對 于 的 ， 冪 級 數(shù) （

19、 2） 絕 對 收 斂0( 0)z 0| | | |z z z 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 （ 3） 、 冪 級 數(shù) 收 斂 圓 與 收 斂 半 徑 由 阿 貝 爾 定 理 知 ， 冪 級 數(shù) 的 收 斂 域 是 這 樣一 個 圓 域 ， 在 此 圓 域 內 ， 級 數(shù) 絕 對 收 斂 ； 在 圓域 外 ， 級 數(shù) 發(fā) 散 。 稱 此 圓 域 的 圓 周 為 冪 級 數(shù) 的 收 斂 圓 ， 收 斂圓 的 半 徑 為 收 斂 半 徑 . 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 冪 級 數(shù) 在 其 收 斂 圓 上 的 斂 散 性 不 能 作 一 般的 結 論 。 對 于 給 定 的 冪 級

20、 數(shù) ， 將 收 斂 圓 的 點 帶入 到 該 級 數(shù) 中 ， 利 用 判 別 復 數(shù) 項 級 數(shù) 斂 散 性 的方 法 作 具 體 的 判 定 。 若 收 斂 半 徑 ， 則 收 斂 域 退 縮 為 一 點 ；若 ， 則 冪 級 數(shù) 的 收 斂 域 為 整 個 復 平 面 。0R R 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 xyo1z .2z.R 收 斂 圓 收 斂 半 徑 冪 級 數(shù)0n nnzc 的 收 斂 范 圍 是 以 原 點 為 中 心 的 圓 域 ：收 斂 圓 周| |z R而 對 于 的 ， 冪 級 數(shù) 是 發(fā) 散 的| |z R z 0n nnzc 上 頁 下 頁 鈴結 束返

21、回首 頁 x yo1z .2z.R 收 斂 圓收 斂 半 徑冪 級 數(shù) 0 ( )nnn c z a 的 收 斂 范 圍 是 以 點 為 中 心 的 圓 域 ： 收 斂 圓 周aa | |z a R 而 對 于 的 冪 級 數(shù) 是 發(fā) 散的 | |z a R z 0 ( )nnn c z a 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 定 理 二 . 如 果 冪 級 數(shù) (2)的 系 數(shù) cn滿 足1lim ,nn nc lc （ 4） 、 冪 級 數(shù) 的 收 斂 半 徑 的 求 法達 朗 貝 爾 比 值 法lim | | n nn c l 或 柯 西 根 值 法 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首

22、頁R= 1/l (l0,l+)0 (l=+);+ (l=0). 則 冪 級 數(shù) 的 收 斂 半 徑 為 :0 nnn c z 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 例 2 求 下 列 冪 級 數(shù) 的 收 斂 半 徑 :(1) 1 3n nnz (并 討 論 在 收 斂 圓 周 上 的 情 形 )解 (1) nnn cc 1lim 3)1(lim nnn因 為 ,1或 nnn nn nc 31limlim .11lim 3 nn n(2) 1 ( 1)nn z n (并 討 論 2,0z 時 的 情 形 )（ 3） 0 )(cosn nzin 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 所 以 收 斂

23、 半 徑 ,1R即 原 級 數(shù) 在 圓 1z 內 收 斂 , 在 圓 外 發(fā) 散 , 是 收 斂 的 ， 因 為 這 是 p 級 數(shù) ).13( p所 以 原 級 數(shù) 在 收 斂 圓 上 是 處 處 收 斂 的 .在 圓 周 1z 上 , 級 數(shù) 1 31 3 1nn n nnz 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁這 個 例 子 表 明 ： 在 收 斂 圓 周 上 既 有 級 數(shù) 的 收 斂 點 , 也 有 級 數(shù) 的 發(fā) 散 點 . ,0時當 z 原 級 數(shù) 成 為 ,1)1(1 n n n 交 錯 級 數(shù) , 收 斂 .,2時當 z 發(fā) 散 .原 級 數(shù) 成 為 ,11n n 調 和 級

24、 數(shù) ，(2) 1limlim 1 nncc nnnn ,1 .1R即 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 incn cos因 為 nn nnnnnn ee eecc 111 limlim 所 以 故 收 斂 半 徑 .1eR（ 3） ),(21cosh nn een ,e 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 （ 1） 代 數(shù) 運 算 性 質 設 冪 級 數(shù) 與 的 收 斂 半 徑 分 別 為 與 ， 令 ， 則 當 時 ，（ 5） 冪 級 數(shù) 的 運 算 和 性 質0 nnn a z 0 nnn b z 1R2R 1 2min( , )R R R | |z R1 2 1 2 0 0 0(

25、 ) n n nn n n nn n nk a k b z k a z k b z （ 線 性 運 算 ） 0 1 1 00 0 0( ) nnn nn n n nn n na z b z a b a b a b z （ 乘 積 運 算 ） 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 （ 2） 復 合 運 算 性 質 0 0| | ( ) , | | ( )| ( )| , | | ( ) ( ) .nnn nnnz r f z a z z R g zg z r z R f g z a g z 如 果 當 時 ， = 又 設 在 內 解 析且 滿 足 那 么 當 時 ， 上 頁 下 頁 鈴結 束返

26、回首 頁 定 理 設 冪 級 數(shù) 的 收 斂 半 徑 為 ， 那 么(1)它 的 和 函 數(shù) ， 即 0 )()( n nn azczf (1)是 收 斂 圓 K:|z-a|R(0R+)內 的 解 析 函 數(shù) .0 ( )nnn c z a R( )f z（ 3） 分 析 運 算 性 質 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁（ 3)函 數(shù) 在 收 斂 圓 內 可 以 逐 項 積 分 ， 即 0( ) , :nnnC Cf z dz c z a dz C K z a R ( )f z (2)在 收 斂 圓 內 , 的 導 數(shù) 可 將 其 冪 級 數(shù) 逐 項 求 導 得 到 ， 即 ： ( )f

27、z 11( ) ( )nnnf z nc z a 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 例 求 級 數(shù) 0 )1(n nzn 的 收 斂 半 徑 與 和 函 數(shù) .解 12limlim 1 nncc nnnn因 為 .1R所 以利 用 逐 項 積 分 ,得 : 0 00 0 d)1(d)1( n z nz n n zznzzn 0 1n nz所 以 )1()1(0 zzznn n ,1 .1 zz.)1( 1 2z 1z 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 例 求 級 數(shù) 0 1)12(n nn z 的 收 斂 半 徑 與 和 函 數(shù) .解 12 12limlim 11 nnnnnn cc因

28、 為 .21R所 以,21時當 z zzzn nn 1121 2)12(1 1故 ,2,12 z ,111 1 zzn n 1 111 1 222 n nnn nn zz z21 2 .)1)(21( 1 zz 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 例 計 算 .21,d)( 1 zczzc n n 為其 中解 ,21內在 z 1)( n nzzS和 函 數(shù) c zzzI d)111(所 以 02 i ,1 收 斂n nz 01 n nzz ,111 zz cc zzzz d11d1.2 i 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 例 把 函 數(shù) bz1 表 成 形 如 0 )(n nn azc

29、 的 冪級 數(shù) , 其 中 ba與 是 不 相 等 的 復 常 數(shù) .解 ： 把 函 數(shù) bz1 寫 成 如 下 的 形 式 :bz1 )()( 1 abaz ab azab 1 11代 數(shù) 變 形 , 使 其 分 母 中 出 現(xiàn) )( az湊 出 )(1 1 zg 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 時 ，當 1ab az 0 01 1( ) ( ) ( ) ,1 n n nn nz a z az a b a b ab a 1 0 01 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n nn nz a z az b b a b a b a 故 ,Rab 設 ,時那 末 當 Raz 級 數(shù) 收 斂 ,且 其 和 為 .1bz 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 小 結 與 思 考 這 節(jié) 課 我 們 學 習 了 冪 級 數(shù) 的 概 念 和 阿 貝 爾 定理 等 內 容 ， 應 掌 握 冪 級 數(shù) 收 斂 半 徑 的 求 法 和 冪 級數(shù) 的 運 算 性 質 .思 考 題冪 級 數(shù) 在 收 斂 圓 周 上 的 斂 散 性 如 何 斷 定 ? 上 頁 下 頁 鈴結 束返 回首 頁 休 息 休 息 ！冪 級 數(shù) 學 完 啦