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第十一章 復數(shù)、算法、推理與證明,第3節(jié) 合情推理與演繹推理,,1．了解合情推理的含義，能進行簡單的歸納推理和類比推理，體會合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用． 2．了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的“三段論”，并能運用“三段論”進行一些簡單推理． 3．了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異．,[要點梳理] 1．合情推理,全部對象都具有這些特征,一般結論,部分,整體,個別,一般,某些已知特征,特殊,特殊,歸納,類比,2．演繹推理 (1)定義：從_______________出發(fā)，推出_______________下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理； (2)特點：演繹推理是由_______________的推理； (3)模式：三段論．“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：,一般性的原理,某個特殊情況,一般到特殊,一般原理,特殊情況,M是P,S是M,質疑探究：演繹推理所獲得的結論一定可靠嗎？ 提示：不一定，只有前提是正確的，推理形式是正確的，結論才一定是真實的，錯誤的前提則可能導致錯誤的結論．,[基礎自測] 1．(2015·合肥模擬)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理( ) A．結論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 [解析] 因為f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確． [答案] C,2．給出下列三個類比結論． ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中結論正確的個數(shù)是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析] 只有③正確． [答案] B,3．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于( ) A．28 B．76 C．123 D．199 [解析] 觀察規(guī)律，歸納推理． 從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123. [答案] C,根據(jù)以上事實，由歸納推理可得： 當n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.,[典例透析] 考向一 歸納推理 例1 (1)(2013·陜西高考)觀察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， … 照此規(guī)律，第n個等式可為________________．,,思路點撥 (1)觀察等式的左右兩側各自的特點歸納可解． (2)總結點的變化規(guī)律，再看直線和曲線的變化規(guī)律，寫出此(語言)命題相似的內容．,拓展提高 本題實質是根據(jù)前幾項，歸納猜想一般規(guī)律，歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．,思路點撥 (1)由平面性質：S1與S2之比為對應半徑之比可類比得正四面體中V1與V2之比為對應體積之比，正四面體中求得外接球與內切球半徑即可．(2)把橢圓性質和雙曲線性質類比結合解三角形推導結論．,,拓展提高 (1)類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為 ①找出兩類事物之間的相似性或一致性； ②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想)． (2)類比推理的關鍵是找到合適的類比對象．平面幾何中的一些定理、公式、結論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結論．,,拓展提高 (1)演繹推理的結構 演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結論三部分組成的．三段論推理中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況．這兩個判斷聯(lián)合起來，提示了一般原理和特殊情況的內在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個判斷：結論． (2)演繹推理的理論依據(jù) 其推理的依據(jù)用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質P.,[誤區(qū)警示] 歸納不準確致誤 典例 如圖所示，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標分別對應數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項，如下表所示．,,,按如此規(guī)律下去，則a2 013＋a2 014＋a2 015等于( ) A．1 004 B．1 007 C．1 011 D．2 014 [解析] a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，這個數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項為1，－1,2，－2,3，…，偶數(shù)項為1,2,3，…，故a2 013＋a2 015＝0，a2 014＝1 007，故a2 013＋a2 014＋a2 015＝1 007. [答案] B,易錯分析 本題中的“按如此規(guī)律下去”就是要求由題目給出的6個點的坐標和數(shù)列的對應關系，歸納出該數(shù)列的一般關系．可能出現(xiàn)的錯誤有兩種：一是歸納時找不準“前幾項”的規(guī)律，胡亂猜測；二是弄錯奇偶項的關系．本題中各個點的縱坐標對應數(shù)列的偶數(shù)項，并且逐一遞增，即a2n＝n(n∈N*)，各個點的橫坐標對應數(shù)列的奇數(shù)項，正負交替后逐一遞增，并且滿足a4n－3＋a4n－1＝0(n∈N*)，如果弄錯這些關系就會得到錯誤的結果，如認為當n為偶數(shù)時an＝n，就會得到a2 013＋a2 014＋a2 015＝2 014的錯誤結論，而選D.,防范措施 由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗．因此，它不能作為數(shù)學證明的工具．,正方形數(shù) N(n,4)＝n2， 五邊形數(shù) N(n,5)＝n2－n， 六邊形數(shù) N(n,6)＝2n2－n， …… 可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)＝______.,[答案] 1000,[思維升華] 【方法與技巧】,,【失誤與防范】,1．合情推理是從已知的結論推測未知的結論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結論都要經(jīng)過進一步嚴格證明． 2．演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規(guī)范性． 3．合情推理中運用猜想時不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù)．,