第十一章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明,第3節(jié) 合情推理與演繹推理,,1．了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類比推理，體會(huì)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用． 2．了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的“三段論”，并能運(yùn)用“三段論”進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理． 3．了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異．,[要點(diǎn)梳理] 1．合情推理,全部對(duì)象都具有這些特征,一般結(jié)論,部分,整體,個(gè)別,一般,某些已知特征,特殊,特殊,歸納,類比,2．演繹推理 (1)定義：從_______________出發(fā)，推出_______________下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理； (2)特點(diǎn)：演繹推理是由_______________的推理； (3)模式：三段論．“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：,一般性的原理,某個(gè)特殊情況,一般到特殊,一般原理,特殊情況,M是P,S是M,質(zhì)疑探究：演繹推理所獲得的結(jié)論一定可靠嗎？ 提示：不一定，只有前提是正確的，推理形式是正確的，結(jié)論才一定是真實(shí)的，錯(cuò)誤的前提則可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論．,[基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(2015·合肥模擬)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理( ) A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 [解析] 因?yàn)閒(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確． [答案] C,2．給出下列三個(gè)類比結(jié)論． ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析] 只有③正確． [答案] B,3．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于( ) A．28 B．76 C．123 D．199 [解析] 觀察規(guī)律，歸納推理． 從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開(kāi)始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123. [答案] C,根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.,[典例透析] 考向一 歸納推理 例1 (1)(2013·陜西高考)觀察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， … 照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)_______________．,,思路點(diǎn)撥 (1)觀察等式的左右兩側(cè)各自的特點(diǎn)歸納可解． (2)總結(jié)點(diǎn)的變化規(guī)律，再看直線和曲線的變化規(guī)律，寫(xiě)出此(語(yǔ)言)命題相似的內(nèi)容．,拓展提高 本題實(shí)質(zhì)是根據(jù)前幾項(xiàng)，歸納猜想一般規(guī)律，歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．,思路點(diǎn)撥 (1)由平面性質(zhì)：S1與S2之比為對(duì)應(yīng)半徑之比可類比得正四面體中V1與V2之比為對(duì)應(yīng)體積之比，正四面體中求得外接球與內(nèi)切球半徑即可．(2)把橢圓性質(zhì)和雙曲線性質(zhì)類比結(jié)合解三角形推導(dǎo)結(jié)論．,,拓展提高 (1)類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為 ①找出兩類事物之間的相似性或一致性； ②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)． (2)類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對(duì)象．平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論．,,拓展提高 (1)演繹推理的結(jié)構(gòu) 演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見(jiàn)的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成的．三段論推理中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱為大前提，它提供了一個(gè)一般的原理；第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況．這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái)，提示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷：結(jié)論． (2)演繹推理的理論依據(jù) 其推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來(lái)講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.,[誤區(qū)警示] 歸納不準(zhǔn)確致誤 典例 如圖所示，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長(zhǎng)為1，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項(xiàng)，如下表所示．,,,按如此規(guī)律下去，則a2 013＋a2 014＋a2 015等于( ) A．1 004 B．1 007 C．1 011 D．2 014 [解析] a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項(xiàng)為1，－1,2，－2,3，…，偶數(shù)項(xiàng)為1,2,3，…，故a2 013＋a2 015＝0，a2 014＝1 007，故a2 013＋a2 014＋a2 015＝1 007. [答案] B,易錯(cuò)分析 本題中的“按如此規(guī)律下去”就是要求由題目給出的6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系，歸納出該數(shù)列的一般關(guān)系．可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩種：一是歸納時(shí)找不準(zhǔn)“前幾項(xiàng)”的規(guī)律，胡亂猜測(cè)；二是弄錯(cuò)奇偶項(xiàng)的關(guān)系．本題中各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，并且逐一遞增，即a2n＝n(n∈N*)，各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，正負(fù)交替后逐一遞增，并且滿足a4n－3＋a4n－1＝0(n∈N*)，如果弄錯(cuò)這些關(guān)系就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果，如認(rèn)為當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)an＝n，就會(huì)得到a2 013＋a2 014＋a2 015＝2 014的錯(cuò)誤結(jié)論，而選D.,防范措施 由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)．因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具．,正方形數(shù) N(n,4)＝n2， 五邊形數(shù) N(n,5)＝n2－n， 六邊形數(shù) N(n,6)＝2n2－n， …… 可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)＝______.,[答案] 1000,[思維升華] 【方法與技巧】,,【失誤與防范】,1．合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過(guò)進(jìn)一步嚴(yán)格證明． 2．演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題，注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性，書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性． 3．合情推理中運(yùn)用猜想時(shí)不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù)．,