,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,推廣,一元函數(shù)微分學(xué),二元函數(shù)微分學(xué),注意,:,善于類比,區(qū)別異同,二元函數(shù)微積分,一、區(qū)域,二、二元函數(shù)的概念,二元函數(shù)的基本概念,區(qū)域,平面上滿足某個條件的一切點(diǎn)構(gòu)成的集合。,平面點(diǎn)集：,平面區(qū)域：,由平面上一條或幾條曲線所圍成的部分平面點(diǎn)集稱為平面區(qū)域，通常記作,D,。,0,1,邊界,閉區(qū)域,開區(qū)域,0,0,型區(qū)域,型區(qū)域,常見區(qū)域,由,四條曲線圍成,由,四條曲線圍成,鄰域,:,0,1,二元函數(shù)的概念,一元函數(shù),二元函數(shù),定義域,自變量個數(shù),一個：,兩個：,在數(shù)軸上討論,（區(qū)間）,在平面上討論,（區(qū)域）,一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算,二、高階偏導(dǎo)數(shù),偏導(dǎo)數(shù),定義：,在點(diǎn),存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為,的某鄰域內(nèi),則稱此極限為函數(shù),極限,設(shè)函數(shù),注意,:,同樣可定義對,y,的偏導(dǎo)數(shù),若函數(shù),z=f,(,x,y,),在域,D,內(nèi)每一點(diǎn),(,x,y,),處對,x,則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為,偏導(dǎo)數(shù),記為,或,y,偏導(dǎo)數(shù)存在,例如,三元函數(shù),u=f,(,x,y,z,),在點(diǎn),(,x,y,z,),處對,x,的,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù),.,偏導(dǎo)數(shù)定義為,(,請自己寫出,),例,1,.,求,解：,在點(diǎn),(1,2),處的偏導(dǎo)數(shù),.,由偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，要求二元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)，只需將另一個自變量看做常量，然后利用一元函數(shù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則即可。,例,2.,設(shè),證,:,例,3.,求,的偏導(dǎo)數(shù),.,解,:,求證,偏導(dǎo)數(shù)記號是一個,例,4.,已知理想氣體的狀態(tài)方程,求證,:,證,:,說明,:,(,R,為常數(shù),),不能看作,分子與分母的商,!,此例表明,整體記號,練 習(xí),二、高階偏導(dǎo)數(shù),設(shè),z=f,(,x,y,),在域,D,內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，,則稱它們是,z=f,(,x,y,),的,二階偏導(dǎo)數(shù),.,按求導(dǎo)順序不同,有下列四個二階偏導(dǎo),數(shù),:,類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù),.,例如，,z=f,(,x,y,),關(guān)于,x,的三階偏導(dǎo)數(shù)為,z=f,(,x,y,),關(guān)于,x,的,n,1,階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于,y,的一階,偏導(dǎo)數(shù)為,解：,例,6.,證明函數(shù),滿足拉普拉斯,證：,利用對稱性,有,方程,內(nèi)容小結(jié),1.,偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論,定義,;,記號,2.,偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法,求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法,先求后代（把其他變量視為常數(shù)）,利用定義,求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法,逐次求導(dǎo)法,練 習(xí),