*,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第五章 特征值與特征向量,習(xí)題一 矩陣的特征值和特征向量,一、填空題,1,數(shù)域 上的 階矩陣 的特征值和數(shù)域,有關(guān)。,2,若 是 的屬于特征值 的特征向量，則,則也是,的屬于特征值,的特征向量。,3,若 是矩陣 的特征值，則 是,_,的根,4,階矩陣 與,_,有相同的特征值,二、計算題,求下列矩陣在復(fù)數(shù)域上的特征值和特征向量,解：,解：,三、證明題,1,若,階矩陣滿足,，則,特征值可能是或,證明：設(shè),2,若,階矩陣,，存在自然數(shù),，使得,，則,的特征值是,證明：,3,如果,可逆，,是,的特征值，則,是,的特征值,.,證明：,4,證明：,證明,:,設(shè),習(xí)題二 相似矩陣和矩陣可對角化,一、填空題,1,若,，則,，則,2,若,，則,3,若,4,可對角化當(dāng)且僅當(dāng),與對角陣相似,5,階矩陣,有,個互不相同的特征值是,可對角化的,充分條件。,6,判別矩陣,可對角化的方法是：判斷 是否有 個,線性無關(guān)的特征向量,二、,1,證明：設(shè) 是,階方陣，且至少有一個可逆，則,證明：若 可逆,若 可逆,2,證明：主對角線上的元素互不相同的上三角矩陣,必可對角化,證明：,有,個互不相同的特征值，可對角化,三、判別下列矩陣是否可對角化,復(fù)數(shù)域可對角化,實數(shù)域不可對角化,四、已知,，求,解：,習(xí)題三 實對稱矩陣的對角化,一、求正交矩陣 ，使 為對角矩陣,解：,單位化,解：,二、證明題,1,設(shè) 是 階實對稱矩陣，且 ，證明：,存在正交矩陣，使,證明：設(shè),2,證明：反對稱實矩陣的特征值是零或純虛數(shù),證明：,為 的任意特征值，,為 的屬于 的特征向量,(1),兩邊轉(zhuǎn)置,取共軛,(2),(2),右乘,(1),左乘,(3)+(4),3,是兩個實對稱矩陣，證明：存在正交矩陣,Q,，使,的充分必要條件是 具有相同的特征值,證明：必要性：,因為存在正交矩陣,Q,，使,所以,相似矩陣具有相同的特征值,具有相同的特征值,充分性：,具有相同的特征值,設(shè),實對稱矩陣,存在正交矩陣 ，,實對稱矩陣,存在正交矩陣 ，,令,正交,自測題,一、填空題,1,若 為 階矩陣，有非零解則 必有一特征值為,0,提示：,2,若 是 特征值，則 （為正整數(shù)）有特征值為,3,若 為 的特征向量，則 的特征向量為,_,提示：,4,若 階矩陣 有 個屬于特征值 的線性無關(guān)的特征向量，,則,提示：,5,已知三階矩陣 的三個特征值為,1,，,2,，,3,，則,的特征值為,提示：,6,階零矩陣的全部特征向量是,全體非零列向量,7,若 ，則,_,提示：,8,若 階矩陣 與 相似，且 ，則,提示：,9,已知,且,，則,提示：,10,三階矩陣 的三個互異特征值為 ，它們對應(yīng),的特征列向量分別為,則矩陣,的秩為,3,二、選擇題,1,設(shè) 是非奇異矩陣 的特征值，則矩陣,有一特征值等于,（,A,）；,(B),；,(C),；,(D).,2,若 階矩陣 的任意行中的 個元素的和都是,，則,的一個特征值為（）,（,A,）,；,(B),；,(C),；,(D).,提示：,3,設(shè) 是 階矩陣，是 的特征值，是 的分別,對應(yīng)于 的特征向量，則（）,（,A,）當(dāng) 時，一定成比例；,（,B,）當(dāng) 時，一定不成比例；,（,C,）當(dāng) 時，一定成比例；,（,D,）,當(dāng) 時，一定不成比例；,4,設(shè) 階矩陣 與 相似，則（）,.,（,A,）,(B),(C),（,D),與 都相似一個對角矩陣,.,5,階矩陣 具有 個特征值是 與對角矩陣相似的,（,A,）充分必要條件；,(B),充分而非必要條件 ；,(C),必要而非充分條件；,(D),既非充分也非必要條件,.,6,矩陣,與下列哪個矩陣相似（）,(C),7,階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是,（,A,）有 個不全相同的特征值 ；,(B),方陣 有 個不相同的特征值；,(C),方陣 一定是對角矩陣；,(D),方陣 有 個線性無關(guān)的特征向量,.,(B),有 個不全相同的特征值；,(C),有 個不相同的特征值 ；,(D),有 個線性無關(guān)的特征向量,.,8,若 階方陣 與某個對角矩陣相似，則（）,.,（,A,）方陣 的秩等于 ；,9,實 階矩陣 為滿秩矩陣，則（）,.,（,A,）必有 個互不相同的特征值；,(B),必有 個線性無關(guān)的特征向量；,(C),必相似于一個滿秩的對角矩陣；,(D),的特征值必不為零,.,當(dāng) 時,10,設(shè) 是 階矩陣，是 的特征值，是 的分別,對應(yīng)于 的特征向量，對于不全為零的常數(shù),有,（,A,）當(dāng) 時，必為 的特征向量；,（,B,）當(dāng) 時，是 相應(yīng)于 唯一的,兩個線性無關(guān)的特征相量；,（,C,）,當(dāng) 時，若 是非零向量，則它必為 的,特征向量；,（,D,）當(dāng) 時，必為 相應(yīng)于 的兩個,線性無關(guān)的特征相量,.,三、計算題,1,設(shè),（,1,）試求矩陣 的特征值；,（）利用（,1,）的結(jié)果，求 的特征值,解：,（,1,）,（）,2,設(shè)實對稱矩陣,求正交矩陣 使 為,對角矩陣,解：,3,設(shè) 為 階實矩陣，滿足 ，試求 的,伴隨矩陣 的一個特征值,證明：,設(shè),A,的一個特征值,即證,方程有非零解,即證,的一個特征值,4,已知三階矩陣 的特征值為 矩陣,（,1,）矩陣 的特征值和與 相似的對角矩陣；,(2),行列式 和,解：,試求,（,1,）,的特征值,(2),5,設(shè),，求（,1,）的所有特征值與特征向量；,（,2,）判別 能否對角化，若能對角化，則求出可逆矩陣 ，使 為對角矩陣；,（,3,）計算 ,解：,可對角化,四、證明題,1,若 階矩陣 滿足 ，則 的特征值僅能是,1,或 ,證明：,2,設(shè) 滿足 證明：的特征值只能是,1,或,2,證明：,3,設(shè) ，在 上可對角化，,證明：在 上可對角化,階方陣,多項式,證明：,在 上可對角化，,對角陣的和仍為對角陣,在 上可對角化,