真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請指正。 思維調(diào)查卷 A C B 1. 解：設(shè)甲原來的速度是1個單位，則乙原來的速度是2.5個單位，甲后來的速度是1.25個單位，乙后來的速度是2個單位。設(shè)第一次甲跑了x圈時被乙追上，則此時乙跑了(x+1)圈；被追上后甲又跑了y圈再次被乙追上，則乙又跑了(y+1)圈。利用兩次甲乙跑的時間相等列方程： 解得： 如圖，若兩人從A出發(fā)逆時針跑，則第一次乙在B點追上甲，第二次在C點追上甲（A、B、C是圓周的三等分點）。因為B、C相距100米，所以環(huán)形跑道的周長為米。 2. 答案：5：22 3. 解：首先判斷出開始是順流。在第1小時和第2小時這兩個相等的時間內(nèi)，速差是4，路程差也是4，那么得到第1小時正好是走一個順流的長度。由于第1個小時在順水時走的才是一個全長，那么第4小時肯定是逆水。具體行駛情況如圖。 再者，第2小時和第3小時逆行的路程都是4，那么它們順行的路程也必須相等，故第3小時的最終時刻到全長的中點。 4 4 最后，比較第3小時和第3小時行駛的情況：設(shè)全長為2a千米，船在靜水中的速度為每小時x千米。 ， 解得a＝10千米。 4. 解：小明走，與小明的爸爸走的時間相同，所以他們的速度比是：＝7：2，接下來如果小明步行，爸爸騎車都走的路程，那么小明就多用5分鐘，設(shè)速度的一份為x，則，所以小明的速度是，從家到學(xué)校的路程是1，所用時間是分鐘。 行程問題下 一、環(huán)行運動： 1. 解：因為第一圈時男運動員的速度是女運動員的倍，所以男運動員跑完第一圈后，女運動員剛剛跑到全長的位置。這時男運動員調(diào)頭和女運動員以相同的速度相向而行，所以第一次相遇點在距A點全長處。 下面討論第二次相遇點的位置，在第二次相遇前，男運動員已經(jīng)跑完第二圈，男運動員跑第二圈的速度與女運動員第一圈的速度相同，所以在男運動員跑完第二圈時，女運動員跑第二圈的時間恰好等于男運動員跑第一圈的時間，而女運動員跑第二圈的速度是男運動員跑第一圈速度的，所以女運動員剛好跑到距A點的位置，此時男女運動員相向運動，男運動員的速度為3m/s，女運動員的速度為2m/s。這樣第二次相遇點距A點。兩次相遇點間的距離為總?cè)L的。所以兩點在跑道上的最短距離為全長的。而這段距離又為88米。所以88÷＝200米。 2. 分析：我們注意到，3人跑到一起的意思是快者比慢者跑的路程差應(yīng)是300的整數(shù)倍；如果都同時回到出發(fā)點，那么每人跑的路程都是300的整數(shù)倍。同時注意到本題的單位不統(tǒng)一，首先換算單位，然后利用求兩個分數(shù)的最小公倍數(shù)的方法可以解決問題。 解：（1）先換算單位：甲的速度是米/分鐘；乙的速度是米/分鐘；丙的速度是米/分鐘。 （2）設(shè)t分鐘3人第一次跑到一起，那么3人跑的路程分別是米、米、米。路程差都是300的整數(shù)倍。而 ，所以第一次3人跑到一起的時間是分鐘。 （3）設(shè)k分鐘3人同時回到起點，那么3人跑的路程分別是米、米、米。每個路程都是300的整數(shù)倍。而，所以3人同時回到起點的時間是105分鐘。 評注：求幾個分數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：所有分子的最小公倍數(shù)作分子，所有分母的最大公約數(shù)作分母得到的分數(shù)。 A C B B A 3. 分析：本題如果按原來的圖形思考，會是非常麻煩的事，需要分段計算，然后找到周期，這樣沒有細心的計算是很難解決問題的?，F(xiàn)在我們注意到在小圓上是順時針，在大圓上是逆時針，如果這兩個圓能“擰開”就是一個在周長400米的大圓上的不同起點同時的追及問題，題目一下子變得非常簡單了。 解：根據(jù)分析，甲在A處，乙在B處，相距200米同時同向而行，乙速較快，第一次追上甲要多跑200米，以后每追上一次乙都要比甲多跑400米，那么第五次乙追上甲時，比甲多跑400×4+200＝1800米，需要的時間是1800÷（5－4）＝1800秒。 A B C D N P M 8 6 12 9 評注：當(dāng)一個問題按試題指引的方向比較復(fù)雜時，有時可以換一個角度得以使試題簡化，而題目本身并沒有實質(zhì)上的變化，這是解決數(shù)學(xué)問題經(jīng)常用到的“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。 4. 分析：對于正方形的路線，每邊長是相同的，由于反向開出的兩輛車，不管走什么樣的路況，到相遇的時候走的時間相同，故可以把每邊設(shè)成速度的倍數(shù)，轉(zhuǎn)化成時間來解題。 解：設(shè)正方形的邊長為720千米，那么AB上行駛的時間是720÷90=8小時，BC上行駛的時間是720÷120=6小時，CD上行駛的時間是720÷60=12小時，DA上行駛的時間是720÷80=9小時。那么行駛一周的總時間是8+6+12+9=35小時。 從CD上一點P，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點相遇，相當(dāng)于從AB中點同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們在CD上一點P相遇，每輛車都行駛35÷2＝17.5小時，DP上的時間為17.5-4-9=4.5小時，PM上的時間為（12-4.5）÷2=3.75小時。同樣得到AN上的時間為17.5-3.75-4.5-9=0.25小時，NB上的時間為8－0.25＝7.75小時。AN、NB上的速度相同，故路程比就等于時間比。即。 評注：本題要把握住從起點到終點的時間和從終點到起點的時間相同，很容易求得DP上的時間。同時注意到把邊長設(shè)成速度的最小公倍數(shù)解題可以簡化計算。 二、時鐘問題： 5. 分析：8點多上課，下課是9點多，兩次的時針應(yīng)是在8－9與9－10之間，這樣可以初步判斷出上課時間是8：點45分到8：50，下課時間是9：40到9：45之間。再利用分針與時針速度的關(guān)系即可轉(zhuǎn)化成環(huán)形上的行程問題。 解：有分析可以知道，分針和時針走的總路程是整個圓周，設(shè)分針速度為1，那么時針速度為，分針每小時走60個小格，設(shè)8與時針的夾角為x格，9與分針的夾角為y格，根據(jù)時間相同列方程組： 。所以上課的時間為40+=分鐘。 6. 分析：我們標準鐘每65標準分鐘時針、分針重合一次。舊鐘每65分鐘重合一次。顯然舊鐘快。本題的難點在于從舊鐘兩針的重合所耗用的65標準分鐘推算出舊鐘時針或分針的旋轉(zhuǎn)速度(每標準分鐘旋轉(zhuǎn)多少格)進而推算出舊鐘的針24標準小時旋轉(zhuǎn)多少格，它與標準鐘的針用24標準小時所走的格數(shù)的差就是舊鐘鐘面上顯示的比標準鐘快的時間讀數(shù)。 解：設(shè)舊鐘分針每標準分鐘走x格。那么，每走1格用標準分鐘。如用復(fù)合單位表示：舊鐘分針速度為x (格/標準分)。舊鐘分針走60格時針走5格，時針速度總是分針的，所以舊鐘時針速度為x (格/標準分)。每次重合耗用65標準分鐘，而且兩次重合之間分針趕超了時針60格，列方程：. 標準時間一天有60×24＝1440標準分，一天內(nèi)舊鐘分針走的格數(shù)為：×60×24。但是我們只須求出舊鐘分針比標準鐘分針多走了多少格，即減去1440個(標準鐘的)格，所以有×60×24－60×24＝(－1)×60×24＝×60×24＝＝10(舊鐘格) 這里一定要明白，這10只是舊鐘上顯示的多走的格數(shù)，也是舊鐘的非標準分鐘數(shù)，并非標準的分鐘數(shù)。 答：這只舊鐘在標準時間一天內(nèi)快10分鐘。(按舊鐘上的時間) 7. 解：對于滿足條件的a，即存在1個自然數(shù)n，使得a+(a+1)+(a+2)+¼+(a+n-1)=180，即(2a+n-1)n=360。顯然a越小時，2a+n-1與n的差越小。又2a+n-1與n的奇偶性不同，于是可推出n=15，a=5。故a最小可以被設(shè)成5。在這種情況下指針第一次恰好回到出發(fā)點時，即5+6+7+……+n=360k（k是整數(shù)，n5），所以(n+5)(n-4)能被720整除。注意到n-4n+5(mod3)，所以n-4和n+5是3的倍數(shù)。又n+5與n-4的奇偶性不同，故有一個是16的倍數(shù)。且n+5與n-4中有1個是5的倍數(shù)。于是得出滿足條件的最小的n是100。時間為96秒。 三、流水行船問題： 8. 分析：對于直線上汽車與行人的迎面相遇和背后追及這個類型的問題是多見的，這里要注意順水與逆水的不同。 解：設(shè)貨車在靜水中的速度為6，那么水速為1，游船的速度為x，時間間隔為t，那么在追及的情況下的間隔為30×[(6+1)-(x+1)]=(6+1)×t，迎面相遇情況下的間隔為20×[(6-1)+(x+1)]=(6-1)×t，解得t＝720/29分鐘。 評注：這里要注意與路面上的情況不同的是發(fā)車的時間間隔相同時候，在順水與逆水的間隔路程就不同了，就是這樣出錯的。 9. 解：設(shè)BC為1份，AB為x份，則AB占總體的，BC占總體的，根據(jù)特殊情況下，從A到B、從B到C水速一樣，他從A到B，再到C用2.5小時，速度相同，時間的比等于路程的比，得到關(guān)于時間的等式. 這樣得到其它兩個條件的等式： 而要求的算式是 這樣知道在BC上逆水時的時間為，靜水時所用時間為，順水時所用時間為，所以在BC上逆水、靜水、順水時的速度比為：：，由于三者是公差為水速的等差數(shù)列，所以得到等式：=+，. 所以. 答：在特殊情況下，從C到B再到A用7.5小時。 評注：本題的關(guān)系十分復(fù)雜，把四個條件都用時間表示出來，然后尋找在BC上的三種速度是一個等差數(shù)列。 10. 分析：對于流水行船問題，注意水速的影響，水中相遇時，速度的和不變； 解：設(shè)開始甲船在靜水中中速度為V甲，乙船在靜水中速度為V乙，水速為V水，相遇時間為t。 （1）開始時相遇時間為t，而速度均增加1.5倍時，行駛路程不變，故時間縮小1.5倍時間即為t¸1.5=，根據(jù)兩次相遇點相距1千米，甲兩次的路程差為1千米，列方程，，tV水=3，從而（千米）； 評注：從題目結(jié)論可以看出，路程的變化與甲、乙速度無關(guān)，只與水速的變化有關(guān)； 四、綜合行程： 11. 分析：本題給的是時間的關(guān)系。要知道，相同的路程下，路程比等于時間的反比。 解：司機晚出發(fā)4分鐘，又早到8分鐘，那么相當(dāng)于少用4+8=12分鐘時間接廠長到廠，又知道司機來回的時間是相等的，故司機去的時候少用12¸2＝6分鐘。而司機這6分鐘走的路程是廠長步行的路程，廠長走這段路的時間應(yīng)該是早出發(fā)的1小時加上司機遇到廠長時少用的6分鐘，共66分鐘。根據(jù)分析，相同的路程情況下，司機的速度與廠長步行的速度比是66：6＝11：1。 評注：不要認為司機6分鐘的路程是廠長1小時的路程，而是要加上司機去的時候少用的6分鐘，想一想，為什么？ 12. 解：摩托車與總站相距2400米的時候，第一輛車開始發(fā)車，它與摩托車超過9次，第二輛超過8次，第三輛超過2次，共計19次； 13. 分析：本題的關(guān)鍵是三次相遇的地點相同，然后考慮各自的時間和速度的變化。 解：假設(shè)甲乙4小時相遇在C處，當(dāng)甲每小時多行1.5千米時，要走相同的路程，則時間就少用小時，實際所用時間是4－0.4＝3.6小時，那么甲原來的速度是千米/小時；當(dāng)乙每小時少走2.5千米，則走相同的路程要多用小時，實際所用的時間是4+0.8＝4.8小時，那么乙原來的速度是千米/小時。所以A、B兩地的距離是（13.5+15）×4＝114千米。 解法二：設(shè)甲的速度是x千米/小時，乙的速度是y千米/小時，則甲乙的路程分別是4x千米、4y千米。那么 所以A、B兩地的距離是（13.5+15）×4＝114千米。 評注：這里注意到乙多走的24分鐘，相當(dāng)于甲少走了24分鐘，速度增加，時間減少，路程不變的情況。 14. 解：如圖設(shè)轎車、貨車、公共汽車的速度分別為轎車和貨車的距離為a，那么轎車追上貨車時，各自行駛了10分鐘，轎車追上公共汽車時，轎車行駛了30分鐘，而公共汽車只行駛了22分鐘（30÷7＝4…2，4×5＋2＝22），當(dāng)貨車追上公共汽車時，貨車行駛了50分鐘，公共汽車行駛了36分鐘（50÷7＝7…1，5×5＋1＝36），可以得到方程組： 轎車 貨車 公共汽車 a 2a （3）－（1）×2得： （1）×3－（2）得： 從而得到 評注：本題涉及到三個對象的運動，要弄清各自的運動情況是理清解題思路的關(guān)鍵，同時注意到公共汽車是有間歇的行駛，雖然時間有那么多，而實際行駛的需要換算。 15. 思路：三人有時間相同的路程，使用比例，路程比等于速度比； A B C 18 b 丙 ① 丙 C B A ② A B C 丙 32 a 甲 乙 ③ 解：如圖設(shè)a、b； （1）V乙：V丙=18：b； （2）V甲：V丙=（32+a）：（18+b）； （3）V甲：V乙：V丙=（50+a+b）：（18+b）：（50+b）； 由①、②可知V甲：V乙：V丙=（32+a）b:18(18+b):b(18+b), 從而V甲：V乙：V丙=18（50+a+b）：18(18+b)：18（50+b） ，所以AC間距離為40+32+18+30=120（千米） 行程問題上 練習(xí)題 甲 乙 1. 解：第一次相遇時兩人共走了半個圓周，從開始到第二次相遇兩人共走了三倍的半圓周，那么乙走了100×3＝300米，它恰好是半圓周的多60米，這樣圓周長是（300－60）×2＝480米。乙走100米時，甲走了240－100＝140米，這相當(dāng)于兩人的速度，兩人同向出發(fā)時，甲要比乙多走半個圓周就追上乙，需要的時間是240÷（140－100）＝6個半圓周，這時甲走了6×140＝840米，480×2－840＝120米，因此甲第一次追上乙時距離他的出發(fā)點有120米。 2. 分析：首先要把這個慢表的1小時轉(zhuǎn)換成標準時間的1小時。 解：在慢表中，70分鐘分針和時針重合一次，而標準時間是分鐘分針和時針重合一次。那么慢表中的8小時在標準時間中是70×8÷，超出的時間是70×8÷－8，由于超出的每小時的工資是3×（1+3.5）＝13.5元，那么超時工資就是（70×8÷－8）÷13.5＝7.5元。 評注：設(shè)分針的速度是1，那么時針的速度是，再設(shè)x分時針和分針重合，分針比時針多走60個格，故有（分鐘）。 3. 解：（1）貨船比游船每小時快15÷5＝3千米，當(dāng)相遇后1小時，游船與貨船的距離是1×3＝3千米，當(dāng)貨船返回到物品時的時間還是6分鐘，那么游船船走6×2＝12分鐘時，那么游船12分鐘的順水路程加上貨船逆水6分鐘的路程恰好是貨船6分鐘順水路程加上3千米的路程，即´(V乙+V水)+´(V甲-V水)=´(V甲+V水)+3，解得V乙=15千米/小時。 評注：注意到當(dāng)一個物體從一個船上掉入水中，那么船是順水速度，物體是水速，相當(dāng)于船在靜水中的速度；而返回尋找物體時，船是逆水速度，物體還是水速，兩者速度和還是船在靜水中速度。即船來回的時間是相同 4. 解：汽車走單程需要60/2=30分鐘，實際走了40/2=20分鐘的路程，說明相遇時間是2：20，2點20分相遇時，勞模走了60+20=80分鐘，這段距離汽車要走30-20=10分鐘，所以車速/勞模速度=80/10=8 答：汽車速度是勞模步行速度的8倍。 A B E C D 5. 解：甲晚出發(fā)7分鐘，相當(dāng)于乙先走7分鐘，這7分鐘，乙走了60×7＝420米，如果是甲乙和走這段路程，那么需要420÷（80＋60）＝3分鐘，那么第二次比第一次相遇的時間差是7－3＝4分鐘，4分鐘乙走了CD，那么CD＝4×60＝240米，第一次兩人的路程差是240米，速度差是80－60＝20米/分鐘，那么第一次相遇的時間是240÷20＝12分鐘，所以A、B兩地的距離是12×（80＋60）＝1680米。 6. 解：摩托車與總站相距2400米的時候，遇見10次。 7. 解：客車與面包車速度比為32：40=4：5，設(shè)AB為1，則AC=，CB=，當(dāng)面包車到達A，客車距B點，當(dāng)客車到達B點時，面包車已經(jīng)返回，，DB=，CD=，面包車從D點返回需要的時間是小時，客車從D點返回需要（504－210）÷40＝7.35。 那么面包車比客車早返回出發(fā)地7.35－6＝1.35小時。 8. 解：設(shè)小亮的速度是x米/分鐘，小亮的速度是y米/分鐘，那么 ， . 9. 解：乙原來車速是每小時（105÷）-40=20千米，乙加速后與甲在C相遇，CA距離是20×=50千米，乙原來速度到C點時間是小時。甲、乙原來相遇地點與C點的距離是千米，丙走這22千米用的時間是小時。丙車速是每小時千米。 10. 解：我們知道去時順風(fēng)，每小時1500公里，也就是去時每走1公里用小時，回來時逆風(fēng)，每小時1200公里，也就是回來時每走1公里用小時。這樣，每公里的路程來回共需要小時。 燃料最多能用6小時，所以飛機最多可飛行=4000(公里) 。順風(fēng)時飛行4000公里需要4000÷1500=小時。所以最多飛出小時。 11. 分析：從所給的路程和時間的關(guān)系得到它們?nèi)叩乃俣缺仁呛苤匾模埮芤徊降臅r間為，跑5步的時間是，同樣得到狗跑3步的時間是，這時路程相同，速度比是時間的反比，為＝9：25，同樣求貓與兔子的速度比。 解：由題意,貓與狗的速度之比為9∶25,貓與兔的速度之比為25∶49。設(shè)單位時間內(nèi)貓跑1米,則狗跑米,兔跑米。狗追上貓一圈需300÷＝；兔追上貓一圈需300÷＝。 貓、狗、兔再次相遇的時間,應(yīng)既是的整數(shù)倍,又是整數(shù)倍。與的最小公倍數(shù)等于兩個分數(shù)中,分子的最小公倍數(shù)除以分母的最大公約數(shù),即＝＝＝8437.5。 上式表明,經(jīng)過8437.5個單位時間,貓、狗、兔第1次相遇。此時,貓跑了8437.5米,狗跑了8437.5×＝23437.5(米),兔跑了8437.5×＝16537.5(米)。 評注：注意三者的速度比，然后求出第一次相遇的時間是解題的關(guān)鍵，同時要會求兩個分數(shù)的最大公約數(shù)。 9 / 9