1.2 曲面及其方程曲面及其方程一、空間曲面方程概念一、空間曲面方程概念v曲面的實例：曲面的實例：水桶的表面水桶的表面臺燈的罩子面臺燈的罩子面反光鏡的鏡面，反光鏡的鏡面，管道的外表面管道的外表面錐面等錐面等曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點點的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的點點的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都不不滿滿足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形常見的曲面：平面、球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、常見的曲面：平面、球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、二次曲面二次曲面（2 2）根據(jù)方程）根據(jù)方程F F（x x，y y，z z）=0=0的特點，討的特點，討論該方程所表示曲面的形狀論該方程所表示曲面的形狀下面介紹一些常見的曲面,主要討論一下兩個問題：（1 1）根據(jù)曲面上動點的特性建立曲）根據(jù)曲面上動點的特性建立曲 面的方程面的方程F F（x x，y y，z z）=0=0常見的曲面：平面、球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、常見的曲面：平面、球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、 二次曲面二次曲面方程方程 F F( (x x, ,y y, ,z z)=0 )=0 決定了空間直角坐標(biāo)系上的一張曲面決定了空間直角坐標(biāo)系上的一張曲面. .二、平面和球面二、平面和球面設(shè)有設(shè)有三元一次方程三元一次方程 此方程稱為平面的一般平面的一般方程方程.0DzCyBxA)0(222CBA（1）平面特殊情形特殊情形 當(dāng) D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點通過原點的平面; 當(dāng) A = 0 時,平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D = 0 表示0AxByCzD222(0)ABC平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xOy 面 的平面;平行于 yOz 面 的平面；平行于 zOx 面 的平面.設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點點，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解例例2. 求通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy想一想：通過通過x軸：軸：A=D=0通過通過y軸軸:B=D=0通過通過z軸：軸： C=D=O例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點坐標(biāo)代入得將三點坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距（2）球面）球面解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是球球面面上上任任一一點點，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222Rzyx 定義定義三、柱面與旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面與旋轉(zhuǎn)曲面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C 移動的直線移動的直線L所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .這條定曲線這條定曲線C 叫叫柱面的柱面的準線準線，動，動直線直線L 叫柱面的叫柱面的母線母線.1、柱面、柱面播放定義定義1 1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程: :平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫柱面的叫柱面的母線母線. .CL定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CLxyz柱面的母線平行于柱面的母線平行于z z軸軸, ,準線準線C C是是xOyxOy平平面上的一條曲線面上的一條曲線, ,其方程為其方程為F(x,y)=0.F(x,y)=0.例如方程例如方程表示的曲面表示的曲面 : :的坐標(biāo)也滿足方程的坐標(biāo)也滿足方程222xyR在在xoyxoy面上，面上，表示表示準線圓準線圓C C, , 222xyR222Ryx沿曲線沿曲線C C平行于平行于z z 軸的一切直線所形成的曲面稱為軸的一切直線所形成的曲面稱為圓圓故在空間故在空間222Ryx過此點作過此點作柱面柱面. .對任意對任意 z z , ,平行平行z z軸軸的直線的直線l ,l ,表示表示母線平行于母線平行于z z軸軸, ,準線準線C C是是xOyxOy平面上平面上的一條曲線的的一條曲線的圓柱面圓柱面oC在圓在圓C C上任取一點上任取一點 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點其上所有點的坐標(biāo)都滿足此方程其上所有點的坐標(biāo)都滿足此方程, ,xzy2l一般地一般地, ,在三維空間在三維空間柱面柱面, ,柱面柱面, ,平行于平行于 x x 軸軸; ;平行于平行于 y y 軸軸; ;平行于平行于 z z 軸軸; ;準線準線: :xozxoz 面上的曲線面上的曲線 l l3.3.母線母線: :柱面柱面, ,準線準線: :xoyxoy 面上的曲線面上的曲線 l l1.1.母線母線: :準線準線: :yoz yoz 面上的曲線面上的曲線 l l2. 2. 母線母線: :表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面xyzo 橢圓柱面橢圓柱面.12222byax2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平以一條平面曲線面曲線C C 繞其平面繞其平面上的一條直線上的一條直線L L 旋旋轉(zhuǎn)所成的曲面稱為轉(zhuǎn)所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸播放播放2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設(shè)設(shè)1)1(zz |122yyxd 旋轉(zhuǎn)過程中的特征：旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxf得方程得方程同理：同理：yoz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線0),( zyf繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程為為 . 0,22 zxyf例例1 1 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程（1）雙雙曲曲線線12222 czax分分別別繞繞x軸軸和和z軸軸；繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面（3）拋拋物物線線 022xpzy繞繞z軸軸；pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面xozy解解 yoz面面上上直直線線方方程程為為 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy （2）圓錐面）圓錐面222zyx （1）球面）球面（3）旋轉(zhuǎn)雙曲面）旋轉(zhuǎn)雙曲面1222222 czayax1222 zyx二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面相應(yīng)地平面被稱為相應(yīng)地平面被稱為一次曲面一次曲面討論二次曲面性狀的討論二次曲面性狀的截痕法截痕法： 用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面四、二次曲面ozyx（一）橢球面（一）橢球面1222222 czbyax 橢球面與橢球面與三個坐標(biāo)面三個坐標(biāo)面的交線：的交線：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓1zz 同理與平面同理與平面 和和 的交線也是橢圓的交線也是橢圓.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面12222 czax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成z122222 czayx方程可寫為方程可寫為,)2(cba 1222222 azayax球面球面方程可寫為方程可寫為.2222azyx （二）拋物面（二）拋物面zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq橢圓拋物面橢圓拋物面zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）用截痕法討論：用截痕法討論：設(shè)設(shè)0, 0 qp圖形如下：圖形如下：xyzo（三）雙曲面（三）雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax（1）用坐標(biāo)面）用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得中心在原點截得中心在原點 的橢圓的橢圓.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyo小結(jié)v常見的曲面：v 平面（方程的特點是什么）v 球面（方程的特點是什么）v 柱面（方程的特點是什么）v 旋轉(zhuǎn)曲面（方程的特點是什么）v 二次曲面（如何大概了解圖形全貌）