2019-2020年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例2.5.1平面幾何中的向量方法課后集訓(xùn)新人教A版必修.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例2.5.1平面幾何中的向量方法課后集訓(xùn)新人教A版必修
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1.在菱形ABCD中,下列關(guān)系式不正確的是( )
A.∥ B.(+)⊥(+)
C.(-)(-)=0 D.=
解析:A正確;B、C正確,因?yàn)榱庑蝺蓪?duì)角線互相垂直;D不正確,因?yàn)椤A角與、夾角互補(bǔ).
答案:D
2.已知A(2,1)、B(3,2)、C(-1,4),則△ABC是( )
A.等邊三角形 B.銳角三角形
C.直角三角形 D.鈍角三角形
解析:=(1,1),=(-3,3).
∵=0,∴AB⊥AC.
∴△ABC為直角三角形.
答案:C
3.在四邊形ABCD中,若=,且||=||+1,=0,則四邊形ABCD是( )
A.矩形 B.菱形 C.梯形 D.正方形
解析:由=得四邊形為平行四邊形,又因?yàn)?0,所以AB⊥BC,且||≠|(zhì)|,所以選A.
答案:A
4.已知ABCD的頂點(diǎn)B(1,1),C(4,2),D(5,4),則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為( )
A.(2,3) B.(3,3) C.(3,4) D.(1,3)
解析:設(shè)A(x,y),則=,
即(1-x,1-y)=(-1,-2),
∴∴
答案:A
5.在△ABC中,若(+)(-)=0,則△ABC為( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.無法確定
解析:由條件得(+)=0,由平行四邊形法則,取AB中點(diǎn)D,則+=2,
∴⊥,
∴△ABC為等腰三角形.
答案:C
6.如右圖,在△ABC中,若||=4,||=5.||=,則∠A=______________.
解析:∵=-,
∴,
即||2=||2-2||||cos∠A+||2.
∴cos∠A=
=.∴∠A=60.
答案:60
綜合運(yùn)用
7.在矩形ABCD中,=,=,設(shè)=(a,0),=(0,b),當(dāng)⊥時(shí),求得的值為( )
A. B. C.2 D.3
解析:由條件可得
=+=+
=+=(),
=-=-=(,-b).
∵⊥,
∴==0,
∴=.
答案:A
8.O為空間中一定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在A、B、C三點(diǎn)確定的平面內(nèi)且滿足(-)(-)=0,則點(diǎn)P一定在過△ABC的__________的直線上( )
A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心
解析:由條件⊥,∴P在CB的高線上,故選D.
答案:D
9.(xx湖南文,9)P是△ABC所在平面上一點(diǎn),若==,則P是△ABC的( )
A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心
解析:由=得(-)=0,即=0,
∴P在CA的高線上,同理可得P也在AB的高線上,故P為△ABC的垂心.
答案:D
拓展探究
10.已知△ABC的面積為14 cm2,D、F分別為邊AB、BC上的點(diǎn),且AD∶DB=BE∶EC=2∶1,求△APC的面積.
思路分析:考查靈活利用平面向量基本定理和向量共線的等價(jià)條件.可用基本定理和共線條件求出點(diǎn)P的位置后用比例關(guān)系計(jì)算面積,也可用坐標(biāo)工具來進(jìn)行上述運(yùn)算.
解析:如右圖,設(shè)=a,=b為一組基底,則=a+b,=a+b.
∵點(diǎn)A、P、E和D、P、C分別共線,
∴存在λ和μ,使
=λ=λa+λb,
=μ=μa+μb.
又∵=+=(+μ)a+μb,
∴解得
于是,△PAB的面積=14=8(cm2),
△PBC的面積=14(1-)=2(cm2).
故△APC的面積=14-8-2=4(cm2).
備選習(xí)題
11.設(shè)I是△ABC的內(nèi)心,當(dāng)AB=AC=5,且BC=6時(shí),=λ+μ,則λ=_____________, μ=_____________.
解析:如右圖所示,設(shè)AI交BC于D點(diǎn).∵AB=AC,∴△ABC為等腰三角形,∴D為BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC,以BC為x軸,AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,4),B(-3,0),C(3,0),設(shè)I(0,y)則=(3,4),BI=(3,y),=(3,0),由∠ABI=∠IBD得.
代入坐標(biāo)解得y=,∴=(0,-).
由條件(0,)=λ(-3,-4)+μ(6,0),
∴λ=,μ=.
答案:
12.證明正方形的對(duì)角線互相垂直平分.
證明:如右圖,設(shè)一組基底=a,=b,則=a+b.=a-b,
∵=(a+b)(a-b)
=a2-b2=|a|2-|b|2=0,
∴⊥,即BD⊥AC.
設(shè)AC與BD交于O點(diǎn),
∵與共線,
∴=λ=λ(a+b),①
又∵與共線,∴=μ=μ(a-b),
∵在△BOC中=+.
=b+μa-μb=μa+(1-μ)b②
由①②得:解得λ==μ.
∴AC與BD互相平分.
綜上,正方形的對(duì)角線垂直且互相平分.
13.利用平面向量證明:順次連結(jié)菱形四邊中點(diǎn)的四邊形是矩形.
證明:如右圖,設(shè)E、F、G、H分別是菱形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),則=+=(+)=,= +=(+)=.
∴=,∴EFHG,故有EFGH.①
∵=+=(+)=(-),
∴=(+)(-)
=(||2-||2)=0,
∴⊥.②
由①②知,EFGH是矩形.
14.經(jīng)過△OAB重心G的直線與OA、OB分別交于P、Q兩點(diǎn),若=m,=n,求證:=3.
證明:∵如右圖所示,點(diǎn)G是△OAB的重心,
∴=(+)
∴=-
=(+)-m=(-m)+,
由于P、G、Q三點(diǎn)共線,則存在實(shí)數(shù)λ,使=λ=λ[(-m)+]
又∵=-=n-m
即n-m=λ[(-m)+]
=λ(-m)+λ,
∴消去λ,得
15.已知ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形,E為AB的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊BC上,且BF∶FC=2∶1,AF與EC相交于點(diǎn)P.求四邊形APCD的面積.
解:建如右圖坐標(biāo)系,則有A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6).
∴F(6,4),E(3,0).
設(shè)P(x,y)則有=(x,y),=(6,4),=(x-3,y),=(3,6),由∥,∥,
得解得
∴S=ADx+CD(6-y)=.
∴四邊形的面積為.