2019-2020年高考數(shù)學(xué) 考點19 點、直線、平面之間的位置關(guān)系練習(xí) 1.（xx山東高考理科Ｔ3）在空間，下列命題正確的是（ ） （A）平行直線的平行投影重合 （B）平行于同一直線的兩個平面平行 （C）垂直于同一平面的兩個平面平行 （D）垂直于同一平面的兩條直線平行 【命題立意】 本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力. 【思路點撥】 可利用特殊圖形進(jìn)行排除. 【規(guī)范解答】選D.在正方體中，，但它們在底面上的投影仍平行，故A選項不正確；平面與平面都平行于直線，但平面與平面相交，故B選項不正確；平面與平面都垂直于平面，但平面與平面相交，故C選項不正確；而由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可以證明選項D正確. 2.（xx浙江高考理科Ｔ6）設(shè)，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（ ） （A）若，，則 （B）若，，則 （C）若，，則 （D）若，，則 【命題立意】本題考查空間中的線線、線面位置關(guān)系，考查空間想象能力. 【思路點撥】利用線面平行、線面垂直的判定定理. 【規(guī)范解答】選B.如圖（1），選項A不正確；如圖（2），選項B正確；如圖（3）選項C不正確；如圖（4）選項D不正確. 3.（xx福建高考理科Ｔ6）如圖，若是長方體被平面EFCH截去幾何體后得到的幾何體，其中E為線段上異于的點，F(xiàn)為線段上異于的點，且EH//，則下列結(jié)論中不正確的是（ ） (A)EH//FG (B)四邊形EFGH是矩形 (C)是棱柱 (D)是棱臺 【命題立意】本題考查考生對立體幾何體的理解程度、空間想像能力. 靈活，全面地考查了考生對知識的理解. 【規(guī)范解答】選D，若FG不平行于EH，則FG與EH相交，交點必然在 B1C1上，而EH平行于B1C1，矛盾，所以FG//EH；由面，得到，可以得到四邊形EFGH為矩形，將從正面看過去，就知道是一個五棱柱，C正確；D沒能正確理解棱臺與這個圖形. 【方法技巧】線線平行，線面平行，面面平行是空間中的三種重要的平行關(guān)系，他們之間可以進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)化，他們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系就是我們學(xué)習(xí)的判定定理和性質(zhì)定理，我們要熟練掌握這些定理并利用這些定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.我們以上面的題目進(jìn)行變式訓(xùn)練： （1）證明：//平面. （2）若E,F分別為A1B1，B1B的中點，證明：平面//平面. 證明：(1) 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，，又，，又平面，所以平面； (2) E,F分別為的中點，又EH//A1D1，，平面平面； 4.（xx廣東高考理科Ｔ18）如圖，是 半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為的中點，點B 和點C為線段AD的三等分點.平面AEC外一點F滿足 FB=FD=a，F(xiàn)E=a (1)證明：EB⊥FD. (2)已知點Q,R分別為線段FE,FB上的點，使得 FQ=FE,FR=FB,求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值. 【命題立意】本題考察空間點、線、面之間的關(guān)系以及空間幾何體的相關(guān)計算. 【思路點撥】（1）點E為的中點，B為AC的中點，AC為直徑是直角三角形，又面 EB⊥FD. (2)作出二面角的棱證明為所求二面角的平面角求，，sin∠RBD 【規(guī)范解答】（1）連結(jié),CE.因為是半徑為a的半圓，為直徑，點E為的中點，B為AC中點，所以，在中，，在中，，所以是等腰三角形，且點是底邊的中點，所以在Rt△ECF中， 在中，，所以是直角三角形，所以. 由，，且，所以面， 又 面，所以， 所以平面，而平面，所以 （2）過點作， FQ=FE,FR=FB， ， ， 與共面且與共面， 為平面BED與平面RQD所成二面角的棱. 由（1）知，平面， 平面，而平面，平面， ，，是平面BED與平面RQD所成二面角的平面角. 在中，， ， =. 由余弦定理得：， 又由正弦定理得： ，即 所以平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值為 【方法技巧】求無棱二面角，往往需先作出二面角的棱，并證明之，然后再作（證）二面角的平面角. 5.（xx浙江高考文科Ｔ20）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120.E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段A′C的中點. （Ⅰ）求證：BF∥平面A′DE； （Ⅱ）設(shè)M為線段DE的中點，求直線FM與平面A′DE所成角的余弦值. 【命題立意】本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力. 【思路點撥】（1）可以在面內(nèi)找一條直線與BF平行， 從而證明線面平行；（2）求線面角的關(guān)鍵是找到對應(yīng)的平面角. 【規(guī)范解答】 (Ⅰ)取A′D的中點G，連結(jié)GF，CE，EG,由條件易 知FG∥CD，F(xiàn)G=CD. BE∥CD,BECD.所以FG∥BE,FG=BE. 故四邊形BEGF為平行四邊形, 所以BF∥EG, 因為平面，BF平面，所以 BF//平面. （Ⅱ）在平行四邊形ABCD中，設(shè)BC=a，則AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 連結(jié)CE,A′M. 因為120，在△BCE中，可得CE=a, 在△ADE中，可得DE =a, 在△CDE中，因為CD 2=CE 2+DE 2，所以CE⊥DE, 在正三角形A′DE中，M為DE中點， 所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD, 可知A′M⊥平面BCD, A′M⊥CE.取A′E的中點N， 連結(jié)NM，NF，所以NF⊥DE,NF⊥A′M.因為DE∩A′M = M, 所以NF⊥平面A′DE,則∠FMN為直線FM與平面A′DE所成的角. 在Rt△FMN中，NF=a, MN=a, FM=a,則cos=. 所以直線FM與平面A′DE所成角的余弦值為. 【方法技巧】找線面所成角時，可適當(dāng)?shù)淖饕粭l面的垂線，從而把線面角轉(zhuǎn)化為線線夾角. 6.（xx陜西高考文科Ｔ１8）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是 矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點. (1)證明：EF∥平面PAD； (2)求三棱錐E—ABC的體積V. 【命題立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面平行及線面垂直、以及幾何體的體積計算問題，考查了考生的空間想象能力以及空間思維能力. 【思路點撥】（1）E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點. EF∥BC EF∥AD 結(jié)論；（2）EG∥PA交AB于點G EG⊥平面ABCD EG=PA VE-ABC. 【規(guī)范解答】 (1)在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點，∴EF∥BC. 又BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD平面PAD,EF平面PAD, ∴EF∥平面PAD. (2)連接AE,AC,EC,過E作EG∥PA交AB于點G, 則EG⊥平面ABCD，EG=PA. 在△PAB中，AP=AB,PAB=90,BP=2,∴AP=AB=,EG=. ∴S△ABC=ABBC=2=, ∴VE-ABC=S△ABCEG==. 7.（xx北京高考理科Ｔ１6）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在 的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1. （1）求證：AF∥平面BDE； （2）求證：CF⊥平面BDE； （3）求二面角A-BE-D的大小. 【命題立意】本題考查了線面平行、線面垂直及二面角的求法.一般的，運用幾何法（方法一）對空間想象能力，空間運算能力要求較高，關(guān)鍵是尋找二面角的平面角；運用向量法（方法二）思路簡單，但運算量較大，熟練掌握向量的線性運算及數(shù)量積是解決問題的關(guān)鍵. 【思路點撥】解決立體幾何問題一般有兩種方法：幾何法與向量法.幾何法：（1）證明AF與平面BDE內(nèi)的某條線平行；（2）證明CF垂直于平面BDE內(nèi)的兩條相交直線；（3）由第（2）問的結(jié)論，可過A作一直線與CF平行，從而垂直于平面BDE，找到二面角的平面角.向量法：利用三個垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的垂直和數(shù)量積求二面角的大小. 【規(guī)范解答】方法一： （1） 設(shè)AC與BD交于點G.因為EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形. 所以AF//EG，因為平面BDE，AF平面BDE，所以AF//平面BDE. (2)連接FG，，四邊形CEFG為平行四邊形， 又，□ CEFG為菱形，. 在正方形ABCD中，. 正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，BD ， ，又，. （3）設(shè)EG交FC于點K，在平面ACEF內(nèi)，過A作，垂足為H，連接HB，則AH//CF. AH平面BDE，，. 又面ABCD面ACEF，CEAC，面ABCD，. 又，面BCE，.面ABH. .為所求的二面角A-BE-D的平面角. 由得，， 為銳角，. 方法二： （1）因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如圖，以C為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），，B（0，，0），，，，所以，，.設(shè)為平面BDE的法向量，則，即，令，得，. ，， 又平面BDE，AF//平面BDE. （2）由（1）知，所以,， 所以,.又因為，所以平面BDE. (3)設(shè)平面ABE的法向量, 由（I）知=，，則，.即所以且令則. 所以. 從而.所以. 因為二面角為銳角， 所以二面角的大小為. 8.（xx福建高考文科Ｔ20）如圖，在長方體ABCD – A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1,D1C1上的點（點E與B1不重合），且EH//A1D1.過EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點分別為F，G. （I）證明：AD//平面EFGH； （II）設(shè)AB=2AA1=2a.在長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點，記該點取自于幾何體A1ABFE–D1DCGH內(nèi)的概率為P.當(dāng)點E，F(xiàn)分別在棱A1B1, B1B上運動且滿足EF=a時，求P的最小值. 【命題立意】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等. 【思路點撥】第一步由線線平行得到線面平行；第二步首先求出長方體以及三棱柱EB1F-HC1G的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，然后利用體積比計算出幾何概率，最后得解. 【規(guī)范解答】 ( I ) 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，，又，， 又平面，所以平面. （II）設(shè)，則長方體ABCD-A1B1C1D1的體積，幾何體的體積，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，從而，故Pmin，此時，所以的最小值等于. 【方法技巧】立體幾何中的證明問題，一定要把條件寫完整了，保證邏輯合理，如：本題一定要寫出 “平”. 9.（xx 海南寧夏高考理科T18）如圖，已知四棱錐P-ABCD 的底面為等腰梯形，AB∥CD,⊥BD垂足為H,PH是四棱錐的高， E為AD中點. （Ⅰ)證明：PE⊥BC （Ⅱ）若==60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值. 【命題立意】本題主要考查了利用向量法解決立體幾何中證明位置關(guān)系求夾角等問題. 【思路點撥】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)進(jìn)行計算. 【規(guī)范解答】如圖，以為原點， 分別為軸，線段的長為單位長， 建立空間直角坐標(biāo)系，則 （Ⅰ）設(shè) ,， （Ⅱ）由已知條件可得 ， 設(shè) z)為平面的法向量， 因此可以取，由，可得 ， 所以直線與平面所成角的正弦值為. 10.（xx江蘇高考Ｔ１6）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900. 求證：PC⊥BC. 求點A到平面PBC的距離. 【命題立意】本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力. 【思路點撥】（1）可證明BC與PC所在的某一個平面垂直. （2）點A到平面PBC的距離是點D到平面PBC的距離的2倍. 【規(guī)范解答】（1）因為PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC. 由∠BCD=90，得CD⊥BC， 又PDDC=D，PD，DC平面PCD， 所以BC⊥平面PCD. 因為PC平面PCD，故PC⊥BC. （2）分別取AB，PC的中點E，F(xiàn)，連DE，DF，則易證DE∥CB，∴DE∥平面PBC，點D，E到平面PBC的距離相等.又點A到平面PBC的距離等于點E到平面PBC的距離的2倍.由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD，且平面PBC∩平面PCD=PC，因為PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC. 易知DF=，故點A到平面PBC的距離為. 【方法技巧】一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)動，其體積是不變的.如果一個幾何體的底面積和高較難求解時，我們可考慮利用等體積法求解.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)換或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，把底面積和高的求解轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系清晰的底面及其對應(yīng)的高，減少運算量，這也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的具體體現(xiàn).本題也可利用等體積法求解： 連結(jié)AC.設(shè)點A到平面PBC的距離為h. 因為AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 又AB=2，BC=1，得的面積. 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積. 因為PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC. 又PD=DC=1，所以. 由PC⊥BC，BC=1，得的面積. 由，，得， 故點A到平面PBC的距離等于. 11.（xx遼寧高考文科Ｔ19） 如圖，棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. (Ⅰ)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1; （Ⅱ)設(shè)D是A1C1上的點，且A1B∥平面B1CD，求A1D:DC1的值. 【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面垂直與面面垂直、以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力. 【思路點撥】（I）先證明B1C⊥平面A1BC1.再證明平面AB1C⊥平面A1BC1. （II）利用線面平行的性質(zhì)，得到線線平行，進(jìn)而可解. 【規(guī)范解答】（I） 【方法技巧】 1、證明面面垂直，一般通過證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線和哪個平面垂直. 2、證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點在解題時一定要體現(xiàn)出來，如本題中強(qiáng)調(diào)了A1B∩BC1＝B. 12.（xx山東高考文科Ｔ20）在如圖所示的幾何體中， 四邊形是正方形，平面，， ，，分別為，，的中點， 且. （1）求證：平面平面. （2）求三棱錐與四棱錐的體積之比. 【命題立意】本題主要考查空間中的線面關(guān)系和面面關(guān)系.考查線面垂直，面面垂直的判定及幾何體積的計算，考查了考生的識圖能力、空間想象能力和邏輯思維能力. 【思路點撥】(1)先證明，再由可證平面平面.（2）求三棱錐的體積關(guān)鍵是求點P到的距離，由可將該距離轉(zhuǎn)化為點D到的距離. 【規(guī)范解答】（1）∵，,所以. 又BC平面ABCD，所以. 因為四邊形ABCD為正方形，所以. 又，因此. 在△中，因為分別為的中點, 所以，因此. 又, 所以. (2)因為，四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA=1， 則 PD=AD=2,所以， 由題易知,所以 DA即為點P到平面MAB的距離. 三棱錐， 所以１：４. 13.（xx天津高考文科Ｔ１9）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45. （1）求異面直線CE與AF所成角的余弦值. （2）證明CD⊥平面ABF. （3）求二面角B-EF-A的正切值. 【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力. 【思路點撥】（1）∠CED即為異面直線CE與AF所成的角.（2）證明CD垂直于兩條相交直線AB，F(xiàn)A. （3）做輔助線構(gòu)造二面角的平面角. 【規(guī)范解答】(1)因為四邊形ADEF是正方形，所以FA//ED.故為異面直線CE與AF所成的角.因為FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD. 在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==. 所以異面直線CE與AF所成角的余弦值為. (2)過點B作BG//CD,交AD于點G，則.由,可得BGAB,從而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF. (3)由（2）及已知，可得AG=，即G為AD的中點.取EF的中點N，連接GN，則GNEF,因為BC//AD,所以BC//EF.過點N作NMEF，交BC于M，則為二面角B-EF-A的平面角. 連接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.從而BCGM.由已知，可得GM平面MAB.由NG//FA,FAGM,得NGGM. 在Rt△NGM中，tan, 所以二面角B-EF-A的正切值為. 14.（xx廣東高考文科Ｔ18）如圖，是半徑為的 半圓，為直徑，點為的中點，點和點為線段 的三等分點，平面外一點滿足平面， =. （1）證明：； （2）求點到平面的距離. 【命題立意】本題考察空間點、線、面之間的關(guān)系以及空間 幾何體的相關(guān)計算. 【思路點撥】(1) , 又點為的中點 （2）利用求解. 【規(guī)范解答】(1) FC⊥平面，平面， ， 又 點為 的中點，B為AC中點， ，且， ，平面， 平面， 又 平面， （2） 由（1）得，， ， ， 又 點和點為線段的三等分點， ， ，， ， 取的中點，連接，則， ， 又 ， 設(shè)點到平面的距離為，由得： ，即 ， 解得： ， 即點到平面的距離為 【方法技巧】立體幾何中求點到平面的距離，通常用等體積法. 15.（xx湖南高考文科Ｔ18）如圖所示，在長方體 中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點 （1）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值， （2）證明：平面ABM⊥平面A1B1M 【命題立意】以非常簡單常見的長方體為載體，考查空間線線的 定量和面面的定性關(guān)系. 【思路點撥】異面直線所成的角關(guān)鍵是平移直線構(gòu)成三角形， 再解三角形.面面垂直的證明關(guān)鍵是在一個平面內(nèi)找一條直線垂直于另一個平面. 【規(guī)范解答】(1) 如圖，∵C1D1∥B1A1，∴∠MA1B1為異面直線A1M與C1D1所成的角. ∵A1B1⊥平面BCC1B1,∴∠A1B1M=90. 而A1B1=1，，故 . 即異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值為. (2) 由A1B1⊥平面BCC1B1，平面，得A1B1⊥BM ① 又，， ∴,從而BM⊥B1M ② 又A1B1∩B1M=B1，再由①，②得 BM⊥平面A1B1M，而平面，因此 平面ABM⊥平面A1B1M. 【方法技巧】(1)求異面直線所成的角關(guān)鍵是平移一條直線，或者是找一條直線和其中一條直線平行而和另一條直線相交，找直線的技巧是中點對中點，產(chǎn)生中位線，引出平行，也可以取連接兩條異面直線的線段的中點，再把這些中點連成線段. (2)證明面面垂直關(guān)鍵在一個平面內(nèi)找一條直線垂直于另一個平面，在證明一條直線垂直另一個平面時常常轉(zhuǎn)化為證明這條直線垂直另一個平面內(nèi)兩條相交直線.證明直線垂直直線常常有兩種情況：一是相交垂直，?？梢杂嬎?，也可以定性證明，二是異面垂直，異面垂直常轉(zhuǎn)化射影垂直，即把其中一條直線放在一個平面上，找到另一條直線在這個平面上的射影，再證明一條直線垂直于射影即可.