2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第31講 不等式性質(zhì)及證明教案 新人教版 一．課標要求： 1．不等關(guān)系 通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景； 2．基本不等式：（a,b≥0） ①探索并了解基本不等式的證明過程； ②會用基本不等式解決簡單的最大（小）問題。 二．命題走向 不等式歷來是高考的重點內(nèi)容。對于本將來講，考察有關(guān)不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)知識、基本方法，而且還考察邏輯推理能力、分析問題、解決問題的能力。本將內(nèi)容在復習時，要在思想方法上下功夫。 預測xx年的高考命題趨勢： 1．從題型上來看，選擇題、填空題都有可能考察，把不等式的性質(zhì)與函數(shù)、三角結(jié)合起來綜合考察不等式的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性等，多以選擇題的形式出現(xiàn)，解答題以含參數(shù)的不等式的證明、求解為主； 2．利用基本不等式解決像函數(shù)的單調(diào)性或解決有關(guān)最值問題是考察的重點和熱點，應(yīng)加強訓練。 三．要點精講 1．不等式的性質(zhì) 比較兩實數(shù)大小的方法——求差比較法 ； ； 。 定理1：若，則；若，則．即。 說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性。 定理2：若，且，則。 說明：此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)；定理2稱不等式的傳遞性。 定理3：若，則。 說明：（1）不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向； （2）定理3的證明相當于比較與的大小，采用的是求差比較法； （3）定理3的逆命題也成立； （4）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊。 定理3推論：若。 說明：（1）推論的證明連續(xù)兩次運用定理3然后由定理2證出；（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；（3）同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式。 定理4．如果且，那么；如果且，那么。 推論1：如果且，那么。 說明：（1）不等式兩端乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個負數(shù)，不等號方向改變；（2）兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；（3）推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。 推論2：如果， 那么 。 定理5：如果，那么 。 2．基本不等式 定理1：如果，那么（當且僅當時取“”）。 說明：（1）指出定理適用范圍：；（2）強調(diào)取“”的條件。 定理2：如果是正數(shù)，那么（當且僅當時取“=”） 說明：（1）這個定理適用的范圍：；（2）我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)。即：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 3．常用的證明不等式的方法 （1）比較法 比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—判斷—結(jié)論；為了判斷作差后的符號，有時要把這個差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便判斷其正負。 （2）綜合法 利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理）和不等式的性質(zhì)，推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法；利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)時要注意它們各自成立的條件。 綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：，及從已知條件出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所要證明的結(jié)論。 （3）分析法 證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。 （1）“分析法”是從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執(zhí)果索因”； （2）綜合過程有時正好是分析過程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程。 四．典例解析 題型1：考查不等式性質(zhì)的題目 例1．（1）（06上海文，14）如果，那么，下列不等式中正確的是（ ） （A） （B） （C） （D） （2）（06江蘇，8）設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是 （A）　　?。˙） （C）　　　　　 （D） 解析：（1）答案：A；顯然，但無法判斷與的大??； （2）運用排除法，C選項，當a－b<0時不成立，運用公式一定要注意公式成立的條件，如果，如果a,b是正數(shù)，那么 點評：本題主要考查.不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結(jié)合選擇支，才能得出正確的結(jié)論。 例2．（1）（xx京春文，1）設(shè)a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A.a+c>b+d B.a－c>b－d C.ac>bd D. （2）（xx上海理，15）若a<b<0，則下列結(jié)論中正確的命題是（ ） A和均不能成立 B.和均不能成立 C.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立 D.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立 解析：（1）答案：A；∵a>b，c>d，∴a+c>b+d； （2）答案：B 解析：∵b<0，∴－b>0，∴a－b>a，又∵a－b<0，a<0，∴。 故不成立。 ∵a<b<0，∴|a|>|b|，∴故不成立。由此可選B。 另外，A中成立.C與D中（a+）2>（b+）2成立。 其證明如下：∵a<b<0，<0，∴a+<b+<0，∴|a+|>|b+|， 故（a+）2>（b+）2。 點評：本題考查不等式的基本性質(zhì)。 題型2：基本不等式 例3．（06浙江理，7）“a＞b＞0”是“ab＜”的（ ） (A)充分而不必要條件 　　　　　 (B)必要而不充分條件 (C)充分必要條件　　　　　　 (D)既不允分也不必要條件 解析：A；中參數(shù)的取值不只是指可以取非負數(shù)。均值不等式滿足。 點評：該題考察了基本不等式中的易錯點。 例4．（1）（xx京春）若實數(shù)a、b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（ ） A.18 B.6 C.2 D.2 （2）（xx全國，7）若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），則（ ） A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q 解析：（1）答案：B；3a+3b≥2=6，當且僅當a=b=1時取等號。故3a+3b的最小值是6； （2）答案：B；∵lga＞lgb＞0，∴（lga＋lgb）＞，即Q＞P， 又∵a＞b＞1，∴， ∴（lga＋lgb）， 即R＞Q，∴有P＜Q＜R，選B。 點評：本題考查不等式的平均值定理，要注意判斷等號成立的條件。 題型3：不等式的證明 例5．已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求證 (a+)(b+)≥。 證法一： (分析綜合法） 欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0， 即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8 ∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證。 證法二： (均值代換法) 設(shè)a=+t1，b=+t2。 ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜， 顯然當且僅當t=0，即a=b=時，等號成立。 證法三：(比較法) ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤， 證法四：(綜合法) ∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤， 。 證法五：(三角代換法) ∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)， 點評：比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證。 例6．求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值。 分析：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時我們習慣是將x、y與cosθ、sinθ來對應(yīng)進行換元，即令=cosθ，=sinθ(0＜θ＜＝，這樣也得a≥sinθ+cosθ，但是這種換元是錯誤的 其原因是：(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當于本題又增加了“x、y=1”這樣一個條件，顯然這是不對的。 除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系，a≥f(x)，則amin=f(x)max 若 a≤f(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題。還有三角換元法求最值用的恰當好處，可以把原問題轉(zhuǎn)化。 解法一：由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方， 得：x+y+2≤a2(x+y)，即2≤(a2－1)(x+y)， ① ∴x，y＞0，∴x+y≥2， ② 當且僅當x=y時，②中有等號成立。 比較①、②得a的最小值滿足a2－1=1， ∴a2=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是。 解法二：設(shè) ∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (當x=y時“=”成立)， ∴≤1，的最大值是1。 從而可知，u的最大值為， 又由已知，得a≥u，∴a的最小值為， 解法三：∵y＞0， ∴原不等式可化為+1≤a， 設(shè)=tanθ，θ∈(0，)。 ∴tanθ+1≤a，即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+)， ③ 又∵sin(θ+)的最大值為1(此時θ=)。 由③式可知a的最小值為。 點評：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學生邏輯分析能力。該題實質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a呈現(xiàn)出來，等價轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值。 題型4：不等式證明的應(yīng)用 例7．（06浙江理，20）已知函數(shù)f(x)=x+ x，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項x＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x,f (x)）兩點的直線平行（如圖） . 求證：當n時，(Ⅰ)x（Ⅱ）。 證明：（I）因為 所以曲線在處的切線斜率 因為過和兩點的直線斜率是 所以. （II）因為函數(shù)當時單調(diào)遞增， 而， 所以，即 因此 又因為令則 因為所以 因此故 點評：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。 例8．（xx江蘇，22）已知a＞0，函數(shù)f（x）＝ax－bx2。 （1）當b＞0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2； （2）當b＞1時，證明：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2； （3）當0＜b≤1時，討論：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件。 （Ⅰ）證明：依設(shè)，對任意x∈R，都有f（x）≤1， ∵f（x）＝， ∴≤1，∵a＞0，b＞0，∴a≤2． （Ⅱ）證明：必要性：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1－1≤f（x），據(jù)此可以推出－1≤f（1）， 即a－b≥－1，∴a≥b－1； 對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≤1，因為b＞1，可以推出f（）≤1，即a－1≤1，∴a≤2； ∴b－1≤a≤2． 充分性：因為b＞1，a≥b－1，對任意x∈［0，1］， 可以推出：ax－bx2≥b（x－x2）－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1； 因為b＞1，a≤2，對任意x∈［0，1］， 可以推出ax－bx2≤2x－bx2≤1， 即ax－bx2≤1。 ∴－1≤f（x）≤1。 綜上，當b＞1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2． （Ⅲ）解：因為a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈［0，1］： f（x）＝ax－bx2≥－b≥－1，即f（x）≥－1； f（x）≤1f（1）≤1a－b≤1，即a≤b＋1， a≤b＋1f（x）≤（b＋1）x－bx2≤1，即f（x）≤1。 所以，當a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是a≤b＋1． 22.解：原式（x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝a2。 當a=a2時，a=0或a=1，x∈，當a＜a2時，a＞1或a＜0，a＜x＜a2， 當a＞a2時0＜a＜1，a2＜x＜a， ∴當a＜0時a＜x＜a2，當0＜a＜1時，a2＜x＜a，當a＞1時，a＜x＜a2，當a=0或a=1時，x∈。 點評：此題考查不等式的證明及分類討論思想。 題型5：課標創(chuàng)新題 例9．（06上海理，12）三個同學對問題“關(guān)于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求實數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路。 甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”； 乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”； 丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”； 參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即的取值范圍是 。 答案：a≤10。 點評：該題通過設(shè)置情景，將不等式知識蘊含在一個對話情景里面，考查學生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力。 例10．（06湖南文，20）在m（m≥2）個不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時Pi＞Pj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個逆序. 一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)。 （Ⅰ）求a4、a5，并寫出an的表達式； （Ⅱ）令，證明，n=1,2,…。 解?。á瘢┯梢阎?，。 （Ⅱ）因為， 所以. 又因為， 所以　　　　　　　　　　　　　 =。 綜上，。 點評：該題創(chuàng)意新，知識復合到位，能很好的反映當前的高考趨勢。 五．思維總結(jié) 1．不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。 （1）比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證； （2）綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴視野。 2．不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等。換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時，要注意代換的等價性。放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結(jié)論中考查。有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法。 證明不等式時，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點。 3．幾個重要不等式 （1） （2）（當僅當a=b時取等號） （3）如果a,b都是正數(shù)，那么 （當僅當a=b時取等號） 最值定理：若則： 如果P是定值, 那么當x=y時，S的值最??；如果S是定值, 那么當x=y時，P的值最大； 注意：前提：“一正、二定、三相等”，如果沒有滿足前提，則應(yīng)根據(jù)題目創(chuàng)設(shè)情境；還要注意選擇恰當?shù)墓?；“和?積最大，積定 和最小”，可用來求最值；均值不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請注意每處取等的條件是否一致。 （當僅當a=b=c時取等號）； （當僅當a=b時取等號）。