2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 專題9 思想方法專題 第一講 函數(shù)與方程思想 理 一般地，函數(shù)思想就是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等．在解題中，善于挖掘題目的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和巧用函數(shù)的性質(zhì)，是應用函數(shù)思想的關鍵，它廣泛地應用于方程、不等式、數(shù)列等問題． 1．方程思想就是將所求的量(或與所求的量相關的量)設成未知數(shù)，用它表示問題中的其他各量，根據(jù)題中的已知條件列出方程(組)，通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進行研究，使問題得到解決． 2．方程思想與函數(shù)思想密切相關：方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標；函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通過方程進行研究，方程f(x)＝a有解，當且僅當a屬于函數(shù)f(x)的值域．函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關系十分重要． 可用函數(shù)與方程思想解決的相關問題． 1．函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面： (1)借助有關初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題； (2)在研究問題中通過建立函數(shù)關系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把研究的問題化為討論函數(shù)的有關性質(zhì)，達到化難為易、化繁為簡的目的． 2．方程思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在四個方面： (1)解方程或解不等式； (2)帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識的應用； (3)需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關系等； (4)構(gòu)造方程或不等式求解問題． 　　　　　　　　　　　　　　　　 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”)． (1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點．() (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)<0.() (3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時沒有零點．(√) (4)只要函數(shù)有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值．() (5)函數(shù)y＝2sin x－1的零點有無數(shù)多個．(√) (6)函數(shù)f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零點，則－1<k<－.(√) 1．方程m＋＝x有解，則m的最大值為(A) A．1 B．0 C．－1 D．－2 2．(xx湖南卷)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝(C) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：分別令x＝1和x＝－1可得f(1)－g(1)＝3和f(－1)－g(－1)＝1，因為函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(－1)－g(－1)＝1?f(1)＋g(1)＝1，即??f(1)＋g(1)＝1.故選C. 3. (xx安徽卷)在平面直角坐標系xOy中，若直線y＝2a與函數(shù)y＝|x－a|－1的圖象只有一個交點，則a的值為－． 解析：函數(shù)y＝|x－a|－1的圖象如圖所示，因為直線y＝2a與函數(shù)y＝|x－a|－1的圖象只有一個交點，故2a＝－1，解得a＝－. 一、選擇題 1. (xx安徽卷)設函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．當0≤x＜π時，f(x)＝0，則f＝(A) A. B. C．0 D．－ 解析：由題意，f＝f＋sin ＝f＋sin ＋sin ＝f＋sin ＋sin ＋sin ＝0＋－＋＝.故選A. 2．設a＞1，若對于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]滿足方程logax＋logay＝3，這時a的取值的集合為(B) A．{a|1＜a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|2≤a≤3} D．{2，3} 解析：依題意得y＝，當x∈[a，2a]時，y＝∈?[a，a2]，因此有a2≥a，又a＞1，由此解得a≥2.故選B. 3．對任意a∈[－1，1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值總大于零，則x的取值范圍是(B) A. B. C. D. 解析：由f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a>0得 a(x－2)＋x2－4x＋4>0. 令g(a)＝a(x－2)＋x2－4x＋4，由不等式f(x)>0恒成立，即g(a)>0在[－1，1]上恒成立． ∴有即 解得x<1或x>3. 4．橢圓＋y2＝1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，其一交點為P，則|PF2|＝(C) A. B. C. D．4 解析：如圖，令|F1P|＝r1，|F2P|＝r2， 那么? ?r2＝. 5．(xx全國大綱卷)奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋2)為偶函數(shù)，且f(1)＝1，則f(8)＋f(9)＝(D) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x), 又因為f(x＋2)是偶函數(shù)，則f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(8)＝f(6＋2)＝f(－6＋2)＝f(－4)＝－f(4)，而f(4)＝f(2＋2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0，f(8)＝0，同理f(9)＝f(7＋2)＝f(－7＋2)＝f(－5)＝－f(5)；而f(5)＝(3＋2)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(9)＝1，所以f(8)＋f(9)＝1.故選D. 6．(xx湖南卷)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ex－(x＜0)與g(x)＝x2＋ln(x＋a)圖象上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是(B) A. B. C. D. 解析：由題可得存在x0∈(－∞，0)滿足f(x0)＝g(－x0)?x＋ex0－＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)?ex0－ln(－x0＋a)－＝0，令h(x)＝ex－ln(－x＋a)－，因為函數(shù)y＝ex和y＝－ln(－x＋a)在定義域內(nèi)都是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)h(x)＝ex－ln(－x＋a)－在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，又因為x趨近于－∞時，函數(shù)h(x)＜0且h(x)＝0在(－∞，0)上有解(即函數(shù)h(x)有零點)，所以h(0)＝e0－ln(0＋a)－＞0?ln a＜ln?a＜.故選B. 二、填空題 7．(xx江蘇卷)已知函數(shù)f(x)＝|ln x|，g(x)＝則方程|f(x)＋g(x)|＝1實根的個數(shù)為4． 解析：①當0<x≤1時，方程為－ln x＝1，解得x＝. ②當1<x<2時，f(x)＋g(x)＝ln x＋2－x2單調(diào)遞減，值域為(ln 2－2，1)，方程f(x)＋g(x)＝1無解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解． ③當x≥2時，f(x)＋g(x)＝ln x＋x2－6單調(diào)遞增，值域為[ln 2－2，＋∞)，方程f(x)＋g(x)＝1恰有一解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解． 綜上所述，原方程有4個實根． 8．(xx湖南卷)已知函數(shù)f(x)＝若存在實數(shù)b，使函數(shù)g(x)＝f(x)－b有兩個零點，則a的取值范圍是(－∞，0)∪(1，＋∞)． 解析：函數(shù)g(x)有兩個零點，即方程f(x)－b＝0有兩個不等實根，則函數(shù)y＝f(x)和y＝b的圖象有兩個公共點． ①若a<0，則當x≤a時，f(x)＝x3，函數(shù)單調(diào)遞增；當x＞a時，f(x)＝x2，函數(shù)先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，f(x)的圖象如圖(1)實線部分所示，其與直線y＝b可能有兩個公共點. ②若0≤a≤1，則a3≤a2，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)的圖象如圖(2)實線部分所示，其與直線y＝b至多有一個公共點. ③若a＞1，則a3＞a2，函數(shù)f(x)在R上不單調(diào)，f(x)的圖象如圖(3)實線部分所示，其與直線y＝b可能有兩個公共點． 綜上，a<0或a>1. 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1且使f(x)＝2x成立的實數(shù)x只有一個，求函數(shù)f(x)的表達式． 解析：∵f(x)＝，f(1)＝1， ∴＝1.∴a＝2b＋1. 又f(x)＝2x，即＝2x只有一個解， 也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解． ∴Δ＝[－2(1＋b)]2－42a0＝0，即(1＋b)2＝0. 得b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝. 10．某地區(qū)要在如圖所示的一塊不規(guī)則用地規(guī)劃建成一個矩形商業(yè)樓區(qū)，余下的作為休閑區(qū)，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB＝BC＝2OA＝4 km，曲線OC段是以O為頂點且開口向上的拋物線的一段，如果矩形的兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點在曲線OC段上，應當如何規(guī)劃才能使矩形商業(yè)樓區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積． 解析：以點O為原點，OA所在的直線為x軸，建立直角坐標系，設拋物線的方程為x2＝2py， 由C(2，4)代入得：p＝， 所以曲線段OC的方程為：y＝x2(x∈[0，2])． A(－2，0)，B(－2，4)，設P(x，x2)(x∈[0，2])在OC上，過P作PQ⊥AB于Q，PN⊥BC于N， 故PQ＝2＋x，PN＝4－x2， 則矩形商業(yè)樓區(qū)的面積 S＝(2＋x)(4－x2)(x∈[0，2])． S＝－x3－2x2＋4x＋8，令S′＝－3x2－4x＋4＝0得x＝或x＝－2(舍去)， 當x∈時，S′＞0，S是x的增函數(shù)， 當x∈時，S′＜0，S是x的減函數(shù)， 所以當x＝時，S取得最大值， 此時PQ＝2＋x＝，PN＝4－x2＝， Smax＝＝(km2)． 故該矩形商業(yè)樓區(qū)規(guī)劃成長為 km，寬為 km時，用地面積最大為 km2. 11．近年來，豬肉價格上漲，養(yǎng)豬所得利潤比原來有所增加．某養(yǎng)殖戶擬建一座平面圖(如圖所示)是矩形且面積為200平方米的豬舍養(yǎng)殖生豬，由于地形限制，豬舍的寬x不少于5米，不多于a米，如果該養(yǎng)殖戶修建豬舍的地基平均每平方米需投入10元，房頂(房頂與地面形狀相同)每平方米需投入15元，豬舍外面的四周墻壁每米需投入20元，中間四條隔墻每米需投入10元．問：當豬舍的寬x定為多少時，該養(yǎng)殖戶投入的資金最少？最少是多少元？ 解析：設該養(yǎng)殖戶投入資金為y元，易知豬舍的長為米， ∵y＝20010＋20015＋20＋4x10＝80＋5 000(5≤x≤a)， ∵函數(shù)f(x)＝x＋在[5，10]上單調(diào)遞減，在[10，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴當a≥10時，ymin＝6 600，此時x＝10； 當5≤a＜10時，ymin＝80＋5 000，此時x＝a. ∴若a≥10米，豬舍的寬定為10米，該養(yǎng)殖戶投入的資金最少是6 600元；若5≤a＜10米，豬舍的寬就定為a米，該養(yǎng)殖戶投入的資金最少是[80＋5 000]元． 12．直線m：y＝kx＋1和雙曲線x2－y2＝1的左支交于A，B兩點，直線l過點P(－2，0)和線段AB的中點M，求l在y軸上的截距b的取值范圍． 解析：由(x≤－1)消去y， 得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0.① 因為直線m與雙曲線的左支有兩個交點，所以方程①有兩個不相等的負實數(shù)根． 所以解得1＜k＜. 設M(x0，y0)，則 由P(－2，0)，M，Q(0，b)三點共線，得出b＝， 設f(k)＝－2k2＋k＋2＝－2＋， 則f(k)在(1，)上為減函數(shù)， ∴f()＜f(k)＜f(1)，且f(k)≠0. ∴－(2－)＜f(k)＜0或0＜f(k)＜1. ∴b＜－－2或b＞2. ∴b的取值范圍是(－∞，－－2)∪(2，＋∞)． 13．若關于x的方程4x＋a2x＋a＋1＝0有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍． 解析：解法一　令2x＝t(t＞0)，則原方程可化為 t2＋at＋a＋1＝0，(*) 問題轉(zhuǎn)化為方程(*)在(0，＋∞)上有實數(shù)解，求a的取值范圍． ①當方程(*)的根都在(0，＋∞)上時，可得下式 ? 即－1＜a≤2－2， ②當方程(*)的根一個在(0，＋∞)上，另一根在(－∞，0]上時， 令f(t)＝t2＋at＋a＋1得f(0)≤0，即a≤－1. 由①②知滿足條件的a的取值范圍為 (－∞，2－2]． 解法二　令t＝2x(t＞0)， 則原方程可化為t2＋at＋a＋1＝0. 變形為a＝－＝－ ＝－ ＝－≤－(2－2)＝2－2. 當且僅當t＝－1時取等號． 所以a的取值范圍是(－∞，2－2]．