傅里葉變換的基本牲質(zhì)（一） 傅電葉變換建立了時間函數(shù)和頻譜丙數(shù)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系.4實際信號分析中.統(tǒng)常需要對信號的時域和頻域 Z間的對應(yīng)關(guān)系及轉(zhuǎn)換規(guī)律令一個淸楚而深入的理解。I人I此令必耍討論傅里葉變換的基木性質(zhì)，并說明其 應(yīng)用. 一、線性 傅里葉變換是-種線性運算。M（f）f E（M）了2 V戸2少） 功（f ）十 bf2（〉O aFx （丿少）十礙（丿0） （3-55） 其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。 例3?6利用傅也葉變換的線性性質(zhì)求臥位階躍以打FJ頻譜西數(shù)叫助- /(/) = ^) = - + -sgn(/) 由式（3-55）得 F3 = <{^))=；譏 1} + 1X 2兀撫少)+ x 2 二址應(yīng)勁 + 2 2 2 2 jaj 對稱性 心）》（妙則叫心切（-力）&56） 證明【人I為 將上式中變昴e換為X.積分結(jié)果不變.即 2 寸(-()=[F ^dx 丄一9 再將t用少代之.I：述關(guān)系依然成立.即 2譏-①）=P心）嚴(yán)dx FQ) h 2 磔(一卬) 若/是一個偶嗨數(shù)，即/（T）= /（）,相應(yīng)右J（一㈤二/⑷），則式（3-56）成為 F（并）<-> 2nf（a）） （3-57） 町見，傅里葉變換Z間存在著対稱關(guān)系，即信號波形與信號頻誥說數(shù)的波形有著用相置換的關(guān)系，其 幅度Z比為常數(shù)2燈。式中的一少農(nóng)示頻譜函數(shù)朋標(biāo)軸必須止負(fù)對調(diào)。例如： /W =占（0歹（丿①）=1 只3 = 1 <-> 2疥（助=加罠勁 例3-7若仁卩；/（◎的傅里葉變換為 片（丿少）二 2切 |e2?| <r/2 0 圈 >Z2 試求/ o 解 將應(yīng)（丿少）中的少換成t.并考電刀（丿勸為少的實函數(shù).冇 F3 二 F = 2別 0 |i| <r/2 |i| > r/2 該信號的傅里葉變換由式（3-54）uf知為 根據(jù)對稱性 (TJT 再將/（一少〉中的. -^..,w/w=aM> /為抽樣函數(shù)， 其波形和頻譜如圖920所示。 三. 折疊性 r：- /（/） J 尸(-》= Y 型 -F(Joj) （3-58） 四、尺度變換性 /W㈠刀0少） /）?丄F0-）（3為大于零的實常數(shù)） （3-59） 則 Q a 令X二加.則dx = adt t代入前式.可得 亦畑1>）嚴(yán)哼弓殲） 證畢 F （J ） 除數(shù)了（加）衣示/沿時間軸斥縮（或時間尺度擴展）a倍，而 a則衣示 %少）沿頻率軸擴 展（或頻率尺度壓縮）a倍。 該件質(zhì)反映了信號的持續(xù)時間與戲占冇頻帶成反比，信號持續(xù)時間壓縮的倍數(shù)恰好等丁占冇頻帶的展 寬倍數(shù).反之亦然. / = 例 M |/| <r/4 "4,求頻譜函數(shù)叫叭 \E 解嘰討論了恥彳。 |f| <r/2 #卜"2的頻譜函敵，n 根搖尺度變換竹??佇汴；/比』 ）的時間尺度擴展一倍，即波形壓縮了一半，岡此英頻i普函數(shù) 叫斫軌畸）=■滋（護 o o O 兩種信號的波形及頻譜函數(shù)如圖3-21所示。 碎) E -r/20r/2 aIwI Kr/2 五、時移性 Y- 幾心刀（皿 f(t g) V F(j 產(chǎn)叭 (3-60) 則 此性質(zhì)町根據(jù)傅也葉變換定義不難得到證明。它衣明林任時域/平移時間％,則其頻惜函數(shù)的振 幅并不改變，但其相位卻將改變曲。 / = 例S9求 E 0 <Z <t f t<Oft>v的頻譜函數(shù)F(j叭 解根據(jù)詢|佃所討論的矩形脈沖信號和傅電葉變換的時移沐仃 F（j^= E妙聳河再“ 六、頻移性 幾）》（購 fgS 宀 7[；(^ + ^o)] (3-61) IJ 證明 rf/C），曲卜匸幾）嚴(yán)2“婦匸/妙*%咕心兒⑷干曲 證畢 頻移性說明川”；/乘以€曲,加門的;所分斛的毎寸F數(shù)分M;乘以/曲，這就使頻譜 中的毎條譜線祁必須移％.亦即拾個頻諾相應(yīng)地掘移了 5位代.頻諾搬移技術(shù)川通信系統(tǒng)得到了廣泛 2用.謚如iO、同步解調(diào)、變頻1；過用都足在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻譜掘移實現(xiàn)原理是將佇?』 乘以所謂載頻信號匕：如或彳山吋?即 /（f）皿則一右冋（少+嗣+殆（少一氣）］｝ / (f) sin 少也 O 〔尸［丿（少+5）._尸［丿（少_5）］｝ 七、時域微分性 柞 "）一刀0少） 讐"3 Z2） 則 證明, 因為 幾）』「F0如％ 2究」? 兩邊對t求導(dǎo)數(shù) W）_ 得處 —f* jQJtF(JtD)e^Tdnj 2tt J 若 幾）o） 蟲?卑0（購）于（購） 證畢 同理，可推出 必 例30求幾）=㈤（的頻譜曲數(shù)刀（丿少）. 解：I人i為 旳一1 由時域微分性 叫斫。呼 例3-11圖3-22所示信號/（）為三角形旳數(shù) /W = A（i）= ^-7 0 求It?頻譜函數(shù)刀（丿少）. 解：將/（）微分兩次心，得到圏3?22（c）”i小函數(shù)，英展達(dá)比為 1 ? 1 T T T <{/" W）=（2 貞〃）} = I @琢 一 2 + 嚴(yán)）=-[cos 曲一1] 山微分性 廠 曠 r sin / 2) ^ (bi 所以 T（JG3） —iba ( ) 2 傅里葉變換的基本性質(zhì)（二） 八. 頻域微分性 則 day 廣/（（）㈠（丿嚴(yán)""丫妙 （3-63） 為證 例3d2求/C）=2"（Z）的頻誥曲數(shù)尸（臨。 U （?） <->兀爲(wèi)勁+ — 解：I月為 丿少 ■ tU{t） <-> j -^― 更曳少）+ -^- =嚴(yán)/ （少）-厶- 根據(jù)頻域微分性 加L 丿①」 ① 九、時域積分性 /■ /（/） F(jd) +曲（0）扌3） （3-64） 若 幾）o） 若 幾）o） 例A3根據(jù)處）㈠1和積分件求/）= S）的頻詵函數(shù)。 ?根據(jù)時域枳分性 解：I人1為死W "（）㈠丄+兀薊少） 若 幾）o） 若 幾）o） 例3-14求圖3 23所示信號/的頻譜因數(shù)月（丿少） 解］/（Q對上求兩次微分后.得 /*(/)= -^ + r/2)--^-r/2) /? 0舄如2 _匕沖以》? siH(竺) r v t 2 由時域積分性 j F 嚴(yán)、：＞ 2 ?“ cur、 幾 ^/ 、 2 . , aj z .d?r 、 /C0 = L/ (x^x --(T)+ -xO^)=_sln(T)= ^(—) 丿少 2 f (z) = f f (x)dx b — sin(巴L + 於班0)占(q)=丸罠qj) +&^(孚^) J" j a* 2 c (a) 1/r 1 -r/2 0 Til y (b) S3 -23 十、頻域積分性 音/（/） S左（丿少） 丄加（0）犯）+ 1j^）㈠丄「FQ^dx （3-65） J t 『7 例15已知 t ,求F（阿。 解：因為 sin") = 2@力-e-^)o— [3(qj_ 1) 一 古3+1)]=丿胚[5(田 +1) — 占(少一 1)] 2j 2) 根據(jù)頻域枳分性 竺3 ㈠丄匸皿［占0 +1） —序0 -1）皿=規(guī)“田+1）— 5少一 1）］ 十一、時域卷積定理 若/1 (f) 0坷0少)/1⑴0 % 0少) /1（^） * /} 0）㈠戸1 0勁戸2 0㈤ （3-66） 則 證明： ^u*/2）=r『=r 〃）［「皿 b= 丿一^ I」一g I J—I 丿一< 匸Z”）碼（丿勁曠問必=碼（丿勁匸必=禺（購）國（購）證畢 例A16圖324（a）所示的工角形函數(shù) L H .. /W= 1_7 .o kl>^ 可看做為兩個如圖3-24（b）所示門函數(shù)9）卷枳。試?yán)脮r域卷枳定理求其頻譜幣數(shù)刀（丿少）。 神 r (a) (b) sin（ G衛(wèi)）》—— （DT 又 gg對 所以 3皿焙 1 A _ 例?17 —個信號了的希們特變換/）是/和曲的卷枳.即 A 1 1 /（/） = /W*-=-f 7d rr 兒 9 gn（z）㈠—— 解：岡為 丿少 — 今 2席$奧（一勁 =一2址sgn（少） 則對稱性 應(yīng) — G-J sgn（少） 山時域卷枳定理 八 ] /W = /W*— f -j 嘶時伽） 33-22 傅里葉變換的基本性質(zhì)（三） 十二、頻域卷積定理 /i 一巧（皿） A Q）一碼0㈤ 齊（。加）7丄用（何咧帥） （3-67） 例38利用頻域卷枳定理求/W=^W的傅里葉變換鞏阿. 解：因為 占（f）《今丿少 山對禰性 虛㈠2加$ * （-血）=一2加5 *〔0） jjrS (少)+t5?(<y) t O J2兀S (少) 所以根據(jù)頻域卷枳定理?令 *—=嚴(yán) (@) + $ (ffl) *(—) Q} 0J f（j功=禍（功_（爲(wèi)） 少 十三、帕塞瓦爾定理 人（g 心⑴㈠碼0少） .I ［咒⑴A 0）必=匸巧（』力）力（皿）為 （3-68） 可推廣 匸|伽|%諄＞伽）|也 （3-69） 若&為實函數(shù)?則匚長）止=匸匚片（皿）也 (3-70) 若為實幡數(shù)■則 匸ZW /2 （"必■ 匸用少）尸2 (3-71) 例皿 Sa2(ai)dcD 解：因 「Sa2(o})d J- 2兀 1 U — X 4 2充 r 」一9 2ta ㈣ 2xS2j( af)d cd 2Sa㈣㈠G2 （f）. 山帕塞瓦爾定理町得 %）&2（切=膚 十四.奇偶性 若幾）? F（g）二F3）應(yīng)如二R（e） +疋（少）■則 （1）半/（）為實惰數(shù)時.則 = （丿少）| = （-勁 祕勁=_旗_勁 J?(2?) = R(-ui) 乂(少)二—x(—q) (3T2) 若/為實偶函數(shù).即/（〉= /（-，）■則 （實偶函數(shù)） （3-73） 若＜7（。為實奇函數(shù).即幾）二一/（一f） ■則 F（j勁二必（叫 陰）=0 J 隠奇函數(shù)） (3-74) （2）當(dāng)/為虛函數(shù)?即幾）=丿噸）時.則 F(cu) = F (-少) 0(①)=- (-少) 農(nóng)(少)二(- QJ) xg = xz （3-75） 傅里葉變換的性質(zhì)表格 性質(zhì)名稱 時域 頻域 1.線性 妙+城(f) 2.對稱性 F3 2^(-0?) 3.折疊性 /(P ”（-丿少） 4.尺度變換性 丄尸舁） a a 5?時移性 F(j 論 g 6.頻移性 宀幾） 尸|丿（血干叫,）］  7?時域微分 才北） 0少）嚇0少） 8.頻域微分 S) e怙) aa> 9時域枳分 f /0）必 尸⑷）+曲（加（少） 10.頻域積分 g旳十咲） t [2 -I叫如 11.時域卷積 鞏0少迅（丿少） 12.頻域卷枳 2咒 13.帕塞瓦爾定理 周期信號的傅里葉蠻換 周期信匕雖然不滿足絕對可枳的條件.但氏傅里葉變換是心在的。山丁?周期伏汀;頻譜是離散的，所以 它的螺甲.葉變換必然也是離散的.而II?是由一系列沖激信號紐成.卜?而先討論兒種常見的周期信號的傅世 葉變換?然后再討論一般周期信號的傅里葉變換. 一. 復(fù)指數(shù)信號的傅里葉變換 對「復(fù)指數(shù)信號 -00 <1 <00 （3-76） 因為2/5㈣.山頻移性 復(fù)指數(shù)信號是表示一個單位長度的柿嵐以網(wǎng)定的角頻率30隨時間旋轉(zhuǎn).經(jīng)傅電葉變換后.英頻譜為 集中丁5,強度為2兀的沖激。這說明信弓時間特性的相移對應(yīng)丁?頻域中的頻率轉(zhuǎn)移. 二、余弦、正弦信號的傅里葉變換 對丁余弦信巧 = COS 砒= 2 -00 <00 梵頻譜函數(shù) 勁=丄【2加戌少一叫）+2席次少+列）］ 2 二応頃也一％）+貢少+ %）］ 仙） -25 -25 曲_送-z -oo <t <00 並⑵二sin琢二 對丁?正弦信號 G 爲(wèi) 00> = —42?- %) - 2瞰+%)] 6-78) 2J 二丿』或少+電）一&少一％）］ 它們的波形及其頻譜如圖3-25所示. -25 -25 A血爲(wèi)（丿? （詠 （一兀） -25 -25 單位沖激序列的傅里葉變換 若信號/（◎為小位沖激徑列.即 -25 （3-79） (3-80) 則其博里葉開式為 對X進(jìn)行傅甲?葉變換?并利用線性和頻移性得 (3-81) [ 0 9 F（JcD）=—工 2席鳳eU-？3門）=門另 3（少一 〃G） T 足.TO "YD 可見?時域周期為T的爪位沖激序列，其傅也葉變換也是周期沖激序列.而頻域周期為G.沖激強 戌川；均為 d 周期單位沖激序列波形、傅里葉系數(shù)吒與頻諾兩數(shù)川丿少）如圖3?26所示. S 3-26 (D -2Q-Q0 Q 2C 3) 三. 一般周期信號的傅里葉變換 對「-般周期為T的周期信號/（力?其指數(shù)塑傅里葉級數(shù)展開式為 /w=Z^ C 式中 =—FM = - p Z 嚴(yán) di 丫 * 丁 J-iya 八 9  對上式兩邊取傅里葉變換.并利用其線性和頻移性?且考慮到4與時間f無關(guān).可得 Fg=工殆 2広次少—〃G） = 2% 另瑪 （3-82） 式082）衣明.一般周期信號的傅里葉變換（頻譜函數(shù)）是山無窮多個沖激函數(shù)紐成.這些沖激甫數(shù)位 r信號的各諧波頻率"G（"二士1，2,…）處，其強度為相應(yīng)傅里葉級數(shù)系數(shù)兔的2x倍。 可見，周期的頻譜是離散的。但山「傅里葉變換是反映頻譜密度的槪念，岡此周期信弓/（◎的 傅退葉變換尸（丿勁不同T-MHl葉系數(shù)丘，它不足仃限值，而足沖激函數(shù).這農(nóng)明無窮小的頻帶范川（即 諧頻點）取得了無窮人的頻諾值。 例420圖3-27（a）表示 周期為尸，脈沖寬度為丁，幅度為1的周期性矩形脈沖制；?記為耳（◎ 試求芷頻譜函數(shù)。 -T -T/1 0 1/2 T 3 八 解 山式026）可知.圖3?27（a）所小周期性矩形脈沖信巧/⑴=Fr（f）的傅里葉系數(shù)為 F(j8)= {# }=學(xué) 占(少-加) =z 2f.ro 數(shù)所爼成.1“ m = 處的強度為 2sin( 圖027(b)給出了丁= 2丁情況下的頻譜國 (3-83) 式中 T 可見，周期矩形脈沖信兮與()的傅里葉變換山位t.^=0zO+2Q,…處的沖激函 周期信號的頻譜 一、周期信號的頻譜 一個周期信；；/，只耍滿足狄也赫利條件.則可分解為一系列諧波分蛍之和.H各次諧波分丘可 以是正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，也可以足指數(shù)函數(shù).不同的周期信號?英展開式組成悄況也不盡相同。在實際 丁?作中，為了表征不同信號的諧波組成惜況.時常倆出周期信號％次諧波的分布圖形，這種圖形稱為信號 的頻誥，它是信號頻域表示的一種方式。 描述各次諧波振幅與頻率關(guān)系的圖形稱為振幅頻詵，描述各次諧波相位與頻率關(guān)系的圖形稱為相位頻 誥。根據(jù)周期信號展成傅里葉級數(shù)的不同形式乂分為單邊頻譜和雙邊頻譜。 1 m邊頻譜 廿周期信勺/(的傅里葉級數(shù)展開式為式(3J5),即 f<l) = 4 +S0 cos血Gr+Q (3-2i) 則對屁的掘幅頻譜4和相位頻譜仇稱為單邊頻譜。 例3-3求圖3-4所示周期矩形的單邊頻誥圖。 解山/波形町知./《)為偶曲數(shù)，其傅里葉系數(shù) T10 7T 故 幾）-如+ix COS說一 1 +乞2s垃（歸4） cos說 ~ X-1 邱 7 5 , 1 2 血4) 蟲0 = "7 & = 因此 4 * njz 即 4 = 0.45 > 刃2 0.32 9 Z3 w 0.15 i -^ = 0 9 A5 0.09 9 4 0.106 ... 單邊撮福頻譜如圖3?5所示。 0.45 ■ :0.32 則打“G所描述的振幅頻i普以及丘的相位MCtan尺=此ijnCl所描述的郴位頻譜稱為雙邊頻 -r/20r/2 0.25n 學(xué)。呼; 3 Q2Q3Q4Q5Q6Q7 Q 陽3-5 2 XX邊頻譜 若周期制；/的傅也葉級數(shù)展開式為式（3J7）.即 幾）=茹嚴(yán) 幵.ro (3 - 25) in- 傍34怖出圖34所小妙形周期信巧$ 的以邊頻譜圖形。 解 111X(3-18)和圖3?4可知 兔冷j::;處叫" 1 2sin(”x/4) —x 4 nrr 2 4 理1 = 0.225 F2 = 0.159 屜=0 075 t ~~ > 9 0.25 ? t ；n,225 「鼻 0.159 :?o OQ5 .:字0?04二 -I 2_-_? - ?50 ?3Q -Q 0 G 30 5Q > co 二 0 F劭=-0.045 = 0.053 > ? ??? 故呵 迅沁罠的雙邊頻譜圖如圖3?6所示. A arctai遲 -5Q ?3Q ?G 0 G 3Q 5Q 從上例頻譜圖上可以看出?單邊振幅頻諾是拆4 = 2氏 與疋負(fù)力值的關(guān)系?應(yīng)注意 所以將炊邊掠輜荻譜 與正川值的關(guān)系?雙邊振幅頻譜是指 "|1彳繞縱軸將負(fù)嚴(yán)邊対折到" 邊.并將振幅相加.便得到單邊振幅4頻譜. X丘為實數(shù).1|/備諧波分童的樸 或TT?用形比較簡單?時，也可將振幅頻i帶和相位頻譜 介金 幅圖中。比如.例34中的頻譜町用尺I嚴(yán)關(guān)系圖形反映，如圖3?7所示。 -[0-再：丨： :1?4G?3Q?0 0 3周期信號頻譜的特點 圖7反映了周期知形佇:；/頻譜的一叫性質(zhì)，實際上它也是所冇周期信弓頻譜的泮遍性質(zhì)，這 就是： (1) 離散性.措傾譜山頻率戲散而不謹(jǐn)續(xù)的譜線紐成.這種煩譜稱為曲散頻譜哎線譜. Q =— (2) 諧波件?指乞次諧波分雖的頻率都是基波頻率 T的整數(shù)倍.而［|.郴鄰諧波的頻率間隔是 均勻的.即譜線隹頻率軸上的位世是Q的整數(shù)倍。 (3) 收斂性。指譜線幅度隨"TO□而衰減到零＜ |人］此這種頻譜具何收斂性或衰懣性. 二、周期信號的有效頻譜寬度 在周期信昂的頻諾分析中?周期矩形脈沖信號的頻諾J1冇典烈的總義，得到廣泛的應(yīng)用?下而以圖3-8 所示的周期矩形脈沖信號為例，進(jìn)一步研究其頻譜寬度與脈沖寬度Z間的圖3-8關(guān)系。 -T -r/20r/2 T S 3-2 圖3-8所示仞；/的脈沖寬度為乂 ,脈沖幅度為S. jeumj期為T,巫復(fù)角頻率為G T ; 2；將了展丿I為式(3■仃)傅里葉級數(shù).則lllA(3-18)nff!/ (3-26) 在這里幾為實數(shù)。為此一般把報福頻譜和相位頻譜合畫在-仙圖中.W 3-9所示。 圖3 ? 9 由此圖可以看出’ Q二竺 (1)周期矩形脈沖信號的頻譜是離散的，為譜線間隔為 T . (2)直流分鍛、基波及各次諧波分雖的大小疋比于脈幅占和脈寬J 反比于周期八其變化受包絡(luò) sin x 線x 的牽制? (3)當(dāng) 時，誥線的包絡(luò)線過零點?因此 T 稱為零分嵌頻率.  (4) 周期竝形脈沖信號包金無限多條譜線?它可分解為無限篡個頻率分址?但其匸耍能城集中在第 "0?絲 個零分呈頻率Z內(nèi)。岡此通常把 7這段頻率范IM稱為矩形倍巧的仃效頻譜寬度或缶巧的山仃頻 帶.記作 （3-27） 顯然.有效頻譜寬度〃只與脈沖寬度"有關(guān),而且成反比關(guān)系：仃效頻譜寬度是研究信號與系統(tǒng)頻 率特性的巫要內(nèi)容?要使信匕通過線性系統(tǒng)不火JX?就要求系統(tǒng)木巾所JI仃的頻率特性必須與信號的頻寬 相適應(yīng)? 對T 傲周期信號，同樣也可得到離散頻譜,也存在零分尼頻率和信號的占有頻帶。 三. 周期信號頻譜與周期丁的關(guān)系 卜M仍以圖3?8所示的周期拒形信號為例進(jìn)行分析。肉為 所以在脈沖寬度廠保持不變的悄況下,若增大周期丁,則可以看tfh Q =— ⑴離散譜線的仙隔 T將變小，即譜線變密。 (2) 并譜線的蚓度將變小.包絡(luò)線變化緩慢.即振幅收斂速度變慢。 (3) 由F*不變,故零分最頻率位置不變，信號有效頻譜寬度亦不變。 圖3?10給出了脈沖寬度丁相同而周期f不同的周期矩形脈沖信號的頻譜。山圖可見，這時頻譜包絡(luò) 線的零點所在位代不變，而半周期T増大時，頻i普線變密，即在信弓占冇頻帶內(nèi)諧波分吊増多，同時振幅 減小.半周期無限增人時.變?yōu)榉侵芷谌氏噜徸V線旬隔趨近「?零。相應(yīng)撮幅總「無 仁 從 而周期信號的離散頻譜過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜.這將4：卜一節(jié)中討論? T = 4r -2jr/r ; -i ?—1 j ?3G ?20 - Q 0 0 2G 3Q ? 2^/r ——?—— w ■ 樣） E ■— —■ Er!T ■ ? ? * ! ? —00 fl 圖3?ID 如果保持周期矩形信號的周期T不變,而改變脈沖寬度生?則可知此時譜線間隔不變.若減小J 2只 (23 = 則信巧頻譜中的第，個零分呈頻率 丁 增人.即倍號的頻譜寬度増人?同時出現(xiàn)零分雖頻率的次數(shù) 減小，相鄰兩個零分嵐頻率間所含?的諧波分試增大。并II各次諧波的振幅減小，即振幅收斂速度變慢.若卩 增大，則反Z。 四、周期信號的功率譜 周期信巧/的平均功率可定義為在1電陽上消兀的平均功率.即 (3-28) 周期信■； f 的平均功率可以用式(3?28)在時域進(jìn)行計覽?也可以心頻域進(jìn)ffil W?若/的指數(shù) 型傅里葉級數(shù)展開式為 /=乞丘嚴(yán) Jtf.—CD 則將此式代入式(3-28),并利用尺的仃關(guān)性質(zhì)，可得 丄 M— 該式稱為帕塞任爾(Parseval)宦理。它農(nóng)明周期信號的半均功率完全可以在頻域用凡加以確定。實際 上它反映周期信金時域的平均功率等「?頻域中的“流功率分：iifH族次諧波半均功率分it之和。國I 0 "C的關(guān)系稱為周期信號的功率頻譜.簡稱為功率i乩 顯然.周期Q；的功率譜也足離敬譜? 1 20. 例口 試求圖3?8所小周期如形脈沖信號/C)/仃汶頻譜寬度內(nèi). 介：訓(xùn)!1仃的忖"： E = \,T = — rT = 個信號平均功率的百分比。設(shè) 4 解肉為 1 sin(^ /5) 1 1 作出頻譜和功率譜圖.如圖3?11所示』■個零分為 所以在信號頻諾寬度內(nèi).包禽一個克流分戢和四個諧波分吊:。 1/5 0} 二 4附 丁 ： 1 ??32介16朮0 16^32加?右 ?327T-167T o 16兀32加? j 0} 1 1 圖 3-11 1 /T/2 佯 P^-\ 子 2（。處二 0.2 琢 周期信弓的平均功率為 T 在冇效頻譜寬度內(nèi)（H巧的平均功率為 耳=1對+2{|對+|對+吋+囲2} 1 1 +〃（）+對（）}= 0.1806 爐 1 _ 0.1806 ~P~ 0.2 從上式町以看出，在所給出的周期矩形脈沖怙況■包介在仃效頻譜寬度內(nèi)的信匕均功率約占整個 信號平均功率的90% 非周期信號的頻譜 一. 非周期信號的頻譜函數(shù) /W=寸嚴(yán)（3-50） 對丁周期信號/（?己知它可表示為 "i (3-31) 式中 （3-32） 將式（3-31） A寫為 **!（；. J / 的周期尸矩丁?無限人時，山I：廿討論町知譜線何隔趙J 小，譜銭密集成為連續(xù)頻 離散變戢變?yōu)檫B續(xù)變戢.即此時記 鞏丿）= Inn RZ=「/（）廠琢必 （3-33） I*Tg 」一9 用（丿少）稱為頻譜密度曲數(shù)，簡稱頻誥的數(shù)，其意義為單位頻率上的諧波幅度。尸（丿少）為少的復(fù)函數(shù), 可寫作 嗆少）十⑷）嚴(yán) 其中I用（丿少）丨代衣非周期信號中各頻率分加幅值的相對人小，輻角瓏0）則代衣相應(yīng)各頻率分爪的 相位. Ill J?? H 伽)二 lim TTtp G lim 7? = lim y*Tc& j*T9 F(jg N 所以式(3-30)在于To□時為 / =「F(J叭叫也二 J_「FQ畤叫a (3-34) Lg 2兀 2網(wǎng)兒9 ?個分就的復(fù)數(shù) 該式農(nóng)明.一?個井周期信號可以看做足無限多個幅度無限小的父指數(shù)諧波之和.而苴中毎 振幅為 2冗 * 二. 傅里葉變換 式(3?33)和式(3?34)豎一對很取要的變換式.現(xiàn)眾寫如下: [F(Jai)e"dd 」p (3-35) 前者是由信號的時間函數(shù)變換成頻那函數(shù).稱為傅里葉正變換式.有時記為 川九)2 F伽)或/@)TF伽) 麻音是山信匕的頻率函數(shù)變換為時間函數(shù).稱為傅嘰葉反變換式.冇時記為 如果上述變換中的n變迪不用角頻率?少而用頻率/.則山\?"2對?可寫為 32匸心叫2 /w=w>/2^J 頻譜密度怖數(shù)F（臨込 復(fù)變幣數(shù).可以寫為 F(J功=|尸0少)|昇3’ = &a?) +樓(少) 式中I 少）I和日（少）分別為刀（丿勁的模和相位，人（㈤和X（0＞分別為刀“少）的實部和虛部. 傅也葉反變換式也町寫成 /（/） = — [e F0詼川才心=丄「憾（丿0）*曲"3咕0 = 2?！?2龍」~ 血|%/勁|述[血+炯悶+丿右圜代/啡尬血+畑血二上@） +広 （ 3-； 町見-個卄周期（『，；/（◎也町以分解成許多不同頻率的止、余弦分址，也町以分解為/的父變函數(shù) 若/是實函數(shù),則I用（丿砂I和瓏皿）分別是3的偶函數(shù)和奇函數(shù)，并且 cos[ at + &(tu)Rtu （3-38） 三、傅里葉變換的存在條件 前面根據(jù)周期信號的傅里葉級數(shù)導(dǎo)出了傅里葉變換。而從理論上講,傅里葉變換也應(yīng)滿足一定條件才 能g傅里葉變換“在的必耍和充分條件的證明需耍較多的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，在此僅對其充分條件加以討 論。 如果制；/（滿足絕対可積條件.即 r 1/(2) 1^ <00 (3-39) ■-<30 則其縛里葉變換FQ血 存在，井滿足反變換式。所右能址佇號都能満足上述絕対叮枳條件。這一條件是 傅甲?葉變換心在充分條件而不是必耍條件.一叫不滿足絕對可積條件的幡數(shù)也可右傅甲-葉變換，例如抽樣 sin QJL 函數(shù)al ,階躍因數(shù)"（）?符號說數(shù)和周期函數(shù)等。 卜面說明為什么式（3-39）成立時./和只（詢一定存在.I人1為 /-(D 嬰使嗆嘰在必須滿足= Z） 式（340）中的被積函數(shù)妙是變就上的換數(shù).它可正可負(fù).但如果取絕對值再逍行積分.則必仃 又.r 「/Q）宀如「血） _9 dt t 1 ,故「畑一7 ＜「必購（3-41） 訛（屮畑如果1＞刪 ＜co ，則 四. 典型信號的頻謙函數(shù) 1爪邊指數(shù)信號 單邊指數(shù)信號力的表達(dá)式為 /! = L >0 L <0 a>0 (3-42) 代入式（3?33）得 fs=r 產(chǎn)曠期泓=—!— 2 CE+ JOJ （3-43） 1^10 少）| = / 2 2’ （型=一 arctan — 幅度賴譜為 "a +少，相位頻譜為 a e uf見幅度頻譜和柑位頻譜曲 數(shù)分別是頻率田的偶函數(shù)和奇西數(shù)。單邊指數(shù)信號X波形.幅度諾冋（丿少）1和郴位謙&㈣如圖 3/2所示. 田3?12 2偶雙邊指數(shù)倍弓 纓"邊指數(shù)信＜；& )的表達(dá)式為 -co <2 <oo ct > 0 (3-44) JI：頻說曲數(shù)為 瑪(g)=卜專九+『宀h = 2o a2 +a? (3-45) 屁(2)卜 故幅度頻誥 2a Jo? + 少2 相位頻譜仇㈣二。 (f)波形和幅度頻譜岡咧如圖 3奇雙邊指數(shù)信號 對「?奇雙邊指數(shù)信號 處)=3 L <0 / > 0 a >0 (3-46) 其頻誥函數(shù) ^(jcd) = -f 4-pe~^e~3^ = -j 2 (3-47) J JO OS + CD I禺0勁卜 故 $3) = " 広/2 ~^/2 其波形和幅度頻譜如圖3-14所示。 圖345 4符弓函數(shù)信匕 符號怖數(shù)或正負(fù)號怖數(shù)以記，其表示式為 +1 / > 0 z（Q 二哪（巧二 S 1 .門 48） —1 i < U 顯然.這種信號不滿足絕對可積條件.但它卻存在傅里葉變換。對奇雙邊指數(shù)信號 處）= I <0 t > 0 CE > 0 當(dāng)” TO時, 有忸"）■聘，故符弓函數(shù)的頻譜函數(shù) （3-49） 2a a2 冋（2）1帀 一禎2 其波形和福度頻譜如圖3-15所示。 5爪位克流信號 對丁單?位山流信T；?JL衣達(dá)式為 /j(r) = 1 -co < <00 (3-50) 可見孩信號也不滿足絕対可積條件.山川利川上述力（取極限?對求即此傅股葉變換。即 /5(Z)= lim /2=limn^=l 17# 0 少=0 e—>U fir->U 此（g） =lim 碼 0 少）二応 r_^_ 故 G十少 2ck 2 +/ 顯然.這農(nóng)明烏。少）為一個沖激強度為2「出現(xiàn)在力=0的沖激曲數(shù)?即 = 2 広董勁（3-51） 其波形和頻譜如圖3-16所示。 對丁?也位階躍他‘6（』）="（）.可利川求其傅里葉變換■即 扎QX U抽二曲人二靈尹U◎ 1 .. r a l = lim [ : 費TO a + jgj “to 0# + 少 a ->0 ar—> 0 九（丿少）=lim 片（Jq） = lim 少一>0 匚: 故 lim —5 二歷薊少） 利用心a +心 ■有 F6 （jo?）=兀罠方）+ — （3-52） 其波形和頻譜如圖3?17所示。 陽3?16 圖3?17 7單位沖激信號扌（ 單位沖激信號的時域表示式為 Fq 0 CD)= F{3(ty)= 1 (3-53) 其傅里葉變換式為 可見」丫1位沖激信號的頻譜函數(shù)是簾數(shù)仁它均勻分布丁型個頻率范I譏其波形和頻譜如圖3-18所示. 八馬(間I 1 S3 ? 12 8矩形脈沖信號山) 九(f)= 的表達(dá)式為 ⑷ <r/2 |f| > vf2 sin(—) 耳 0勁=「Ee^dt = Et——「 其頻譜函數(shù) ~ (3-54) S垮)> 0 吋。  -r/20r/2 木I瓦0切）| 其波形和頻譜如圖A9所示.可以看出,矩形脈沖信號在時域中處于有限范他內(nèi),而其頻譜卻以 g） 0丄 2 規(guī)律變化.分布于無限寬的頻率范國內(nèi).但英卞要能吊處丁? 營范帕. 所以.通常認(rèn)為這種常；的占冇頻帶為眄=2小 或表二2列出了站用信號的傅世 葉變換? 表32常用信號的傅里葉變換 時間函數(shù)/（ 傅立葉變換少） 單邊指數(shù)信號 幾)之 F(f) a>0 1/(qj + Jg?) 偶雙邊指數(shù)信號 /（2）= ^W >0 2dz/(a2 +/) 詢雙邊指數(shù)信巧 一戶 L <0 a a > 0 嚴(yán) i >0 ■ -</2cu/(ck2 + a?) 符號函數(shù) +1 i > 0 SSQ(O=1-1 Y 2 ja 直流仃號 /(/) = E -co <z <w 2鹿 fl r >0 單位階躍信號 1 1 <0 rrtS(cb) +」- 單位沖激信號 奐）= 8上=0 「8（e）dt = 1 \e lil <r/2 矩形脈沖信號 1 rl 話［心（邊/2）］ 三角脈沖信號 1 - t\fj k| <t F o Eh 濟二（斬/2）F 非正弦周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 周期信號足泄義4（8嚴(yán)）區(qū)間.毎隔?定時間匚 按相同規(guī)律巫以化的信號。?般表示為 幾）=/@+和乃 ^ = QD士團（3-12） 式中，丁為該信右的匝復(fù)周期.英倒數(shù)稱為該信兮的頻率.記為 或角頻率 對J; II 11?^周期國數(shù)，根據(jù)定理3?仁可以用在區(qū)仙（S心+。內(nèi)兄備的止交函數(shù)集來表示。下血 討論幾種不同形式的表示式. 一、三角函效表示式 宙上節(jié)討論町知，三血數(shù)集"osM/sin mQL）（n,m = 0,12…）在區(qū)何血,如+O內(nèi)為完 涪正交函數(shù)集.根據(jù)定B|! 3-1,對I：周期為F的一啖信:;（兩數(shù)）中任一個信號于都町以將確地表示為 g沁仙 G｝的線性組合，即對于 幾）= /（（ +切 2 a /(}) = (3-13) + 工 cosrO 也 sinnQ) ■>! 山式(3-10),得 2 2 2 rr/2 b=-\ /sin G-14) ” T Lm 八’ 2 rT,2 G上 T 代(3?13)稱為周期X；/⑷的旳側(cè)、艸葉級數(shù)展開式。從數(shù)學(xué)上講，當(dāng)周期信兮/滿足伙嘰赫利條 件時才可展開為傅里葉級數(shù).但在電子、通信、控制等工程技術(shù)中的周期信號?般都能滿足這個條件,故 以后-?般不再特別注明此條件. 若將式(313)中同頻率項加以合并,還可寫成另一種形式,即 f = 4 +YH COSgt +何)(3-15) x 4 比較式(13)和式(3-15),可看出傅里葉級數(shù)中族雖Z何仃如卜關(guān)系： -arctan □ □ □ □□□ □ □ □ nB > ‘ 2 2 式(3邛5)稱為周期信巧了⑷的余眩熨傅里葉級數(shù)展開式。 式(13)和式(3J5)表明，任何周期信號，只耍滿足狄里赫利條件.都可以分解為許多頻率成整數(shù)倍 關(guān)系的正(余)技信號的線性組合。在式(3-13)中，如‘2是宜淤成分；sinCtt稱為基波分 C二2児 気 T為基波頻率3八處"込皿稱"次諧波分顯宜流分戢的大小?基波分戢和 各次諧波的振幅、相位収決「?周期信兮/的波形。從式(3J4)和式(3J6)町知，外分M的振幅盒，5,4 和相位條都是"G的用數(shù)?并冇: 4厲是沁的偶函數(shù).r卩= 例02圖3?3所示鋸齒波.求其二角空傅里葉級數(shù)展開式. 皿) 圖？?3 解 山圖3?3可知?該信號/(0在一個周期區(qū)間(?TTJT)內(nèi).冇 周期T = 2j T 由式(3-14),得 一路 <1 5 f =切 化=0 0? = 0」2??) F 耳=蕓八丹 式中4由式(3/0)可求得為 (3-18) Qidt = — — C0SM5T = (―1)如一 故吻淚;/的:?角空傅甲?葉級數(shù)展開式為 /(/) = 2(sin d-sin 2Qi +*sin 3C^ + ■ ?■) 二、指數(shù)形式 因為父指數(shù)函數(shù)集2曲}二0，1，竝，…)在區(qū)間&，陽+了)內(nèi)也足一個完務(wù)的正交函數(shù)如 t=^L 其中 C，因此 根據(jù)泄理3舁?對丁任總周期為丁的f："；/,可在區(qū)間(5，陽+。內(nèi)衣示為 r ＞的線性組合.即 (3-17) 式(47)稱為周期信巧/(。的指數(shù)也傅里葉級數(shù)展開心 山「?幾通常為復(fù)數(shù)，所以式(3-17)乂稱為 復(fù)系數(shù)傅里葉級數(shù)展開式。 同個周期信巧/?既可以展開成式(3-13)所示的三如型傅里葉級數(shù)式，也可以展成式(3-17)所示 的指數(shù)型傅里葉級數(shù)式.所以??者Z何必仃確定的關(guān)系。 cos = 因為 2 sin nCll = 2j /w = 代入式(3-13),得 a 0 =—+》(J8 cosC1Z +6足 sin nCli) 2 .i  所以 =+滂嚴(yán) 孑弧-兒）二半產(chǎn)“12… 彳 2 （3-19） +A）=寸“兀=-1，一 2,… 在周期信號展開式（3/7）中./表示成境頻率為0，2,3宀…的指數(shù)函數(shù)之和。雖然山 丁?引用一"而出現(xiàn)了角頻率-沁,但這并不表示實際上存在負(fù)頻率，而只足將第n項諧波分磧耳成了兩 個指數(shù)項而出現(xiàn)的一種數(shù)學(xué)形式?事實匕?以Q和廠附必然成對出現(xiàn)?IL都扼蕩在用。卜.，它們的和 給出了 ?個振蕩頻率為刃的時間實函數(shù)，即 亠"Q +如評％=兔COS（Q +呂） 2 2 三、周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 耍把C知周期信號展開為傅里葉級數(shù)，如果為實函數(shù)，1L它的波形滿足某種劉稱性?則 在其穌里葉級數(shù)中何些項將不出現(xiàn)，留卜的各項系數(shù)的表示式也變得比較簡單。周期信號的対稱關(guān)系上耍 仃兩種：?種是整個周期相對丁?縱坐標(biāo)軸的對稱關(guān)系.這取決丁周期信巧是偶函數(shù)還是奇函數(shù)，也就足展 開式中是否倉冇正弦項或余弦項：另-種是滋個周期詢麻的對稱關(guān)系.這將決定傅嘰葉級數(shù)展開式中足否 含有偶次項或奇次項。下面簡單說明函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系。 1偶函數(shù) 若周期信y/波形相對r縱軸是対稱的，即滿足 則/（"是偶旳數(shù)，其傅里葉級數(shù)展開式中只:門1.流分駅和余弦分最，即 2奇函數(shù) 人周期信巧/（波形相對J?縱幫標(biāo)是反對稱的.即汕 gs （3-21） 此時/稱為奇函數(shù).比傅甲?葉級數(shù)展開式中只含仃正恢項.即 4嚴(yán)2 乞=—L /(i) sin nQtdt 3 = 0丄2,…) 3奇諧函數(shù) 人周期信巧丁 波形沿時間軸半移半個周期丿門川!波形柑對r時何軸像對稱? u卩満足 /0 = -/(ri) (3-22) 則/（Z）稱為奇諧函數(shù)或半波對稱函數(shù)。這類函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式中只會仃止弦和余戎項的奇次潛我 分雖. 4偶諧函數(shù) 人周期信巧波形沿時間軸平移半個周期丿門刖衛(wèi)I 即滿足 幾）5 士韋） （3-23） 則為偶諧函數(shù)或半周期璽疊函數(shù)?其傅里葉級數(shù)展丿I式屮只:M ill弦和余弦波的傅 rft. 熟悉并掌握J(rèn)周期信號的奇.偶和奇諧、偶諧等性質(zhì)垢?対「?一些波形所包金的諧波分戢?？梢宰鞒?迅速判斷，并便傅里葉級數(shù)系數(shù)的計算得到一定簡化。 表A給出了周期信號波形的各種對稱情況.性質(zhì).以及對應(yīng)的傅里葉系數(shù)an和bn的計算公式。 表3-1周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 慚數(shù)/ 性質(zhì) dg # 0) H 0) 偶函數(shù) 只冇直流 分呆和余 2心2 討。/cos(QO^ 0 幾）=心） 弦項 奇函數(shù) 只冇正弦 項 0 0 4 fri 亍 I 奇諧函數(shù) 只有奇次 諧波分雖 0 4…？ 討0 /②cos〔心）慶 汀,*）沁沁）盤 T /⑴一門士壬 S為奇數(shù)） （〃為奇數(shù)） 偶諧函數(shù) 只有偶次 諧波分雖 亍丄/⑦cos（位妙 4 fri 亍［耳hQM AO = /a^) （"為偶數(shù)） S為偶數(shù)） 四.傅里葉級數(shù)的性質(zhì) 科.rr ，則丿問的傅甲?葉級數(shù)展開式八仃以下忡質(zhì)（證明略）: kU <i)心)=嚴(yán) (2> 代-心 20^^ ⑶f Q)=勃明嚴(yán) 0 O (4〉 f(t)cosCi=X^ N?《0 X-D 4/ 用完備正交函數(shù)集表示信號 一、正交矢雖 在平而空間中,兩個矢雖正交是指兩個矢量相互垂直。如圖3-1 (a)所示的A】和血足正交的,它們 Z間的銳夾角為90。。眾然，平面空間兩個矢呈止交的條件是 Aj *[3^2 = 0 (3-1) 這樣.可將一個平血中任總矢雖A.在吒角朋標(biāo)系中分觥為兩個正交矢就的集合 A = C1Al 十 Q& <3-2) 同理?對 個二維空間中的矢W.A必須用?]維的止交矢呈集來表小?如圖x(b)所 示。有 A = q 爲(wèi) + G九 C 3*3) (a> 圖3 - 1 其中A】，A2t A3相互正交。在三維空間中個完務(wù)的正交矢雖集.而二維正交矢 雖集則在此悄況卜鬼不完備的。 依次類推，在〃維空間中，只冇〃個正交矢JfAi. A2. A3?...?矗九構(gòu)成的正交矢環(huán)傑 3]上2，啟3,…,AJ才是完備的，也就是說.在〃維空間中的任一欠雖A,必須用〃維止交矢雖集 （A1>A2,A3,- 表示，即 A = C] % + C? ^2 + C2 Ag +-D + CnA^ 雖然n維矢戢空間并不存在于客觀世界,但是這種概念有許多應(yīng)用.例如,"個獨立變戢的一個線 性方程，可看做〃維坐標(biāo)系中n個分雖紐成的矢氐 二、正交函數(shù)與正交函數(shù)集 正交矢雖分解的概念.可推廣應(yīng)用丁?信號分析，信號常以時間函數(shù)來表示，故信號的分解，也就足時 間惰數(shù)的分解.仿照矢戢正交概念，也可定義函數(shù)的正交。 設(shè)和去⑴是定義在山」2）區(qū)何上的兩個實變函數(shù)（信號）.卄在（」耳）區(qū)間上仃 廿縱處=0 （3-5） 則稱久⑴和在（上"）內(nèi)正交? 若久（丄）易（。,...,（。定義在區(qū)間（必2）上，并且在（上“）,內(nèi)有 B r H - j f □nus - 則W）v’y）｝在山）內(nèi)稱為正交函數(shù)集，其中zh,2,.s先為一正數(shù)。如果 □ns 則稱W）4◎??，（）｝為歸一化n-交怖數(shù)集. 對M區(qū)何內(nèi)的復(fù)變怖數(shù)集厲％（"…丿山）｝ ?若満足 H = ?r ?— □nuE //>1 IL - 口 8 - (3 則稱此奴變函數(shù)集為正交復(fù)變函數(shù)集.英中力（為力的共犯復(fù)變函數(shù). 三、完備的正交函數(shù)集 如果在正交函數(shù)集｛&（%（" ?，（）｝之外.找不到另外一個非零兩數(shù)與該函數(shù)集◎（）｝中 毎一個函數(shù)都正交.則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。否則為不完備正交函數(shù)集. 對J：完備止交函數(shù)集，仃兩個巫耍圧理。 定理a 設(shè)｛&⑵，並（"…，人⑵｝在（ss）區(qū)間內(nèi)是某-類信號（函數(shù)）的完備疋交函數(shù)集，則 這一類信號中的任何一個信號仗）都町以粘確地農(nóng)示為｛』i⑵，並（"…，人⑵｝的線性組合。即 f（t） = +af2 + ?□ + qx （3-9） 式中.為加權(quán)系數(shù),且有 (3-10) 式(3-9)常稱正交展開式，仃時也稱為歐拉傅里葉公式或廣義傅里葉級數(shù)，G稱為傅里葉級數(shù)系數(shù)。 定理32在式(3-9)條件下.冇 fjr陸二百 (3-11) A(3-11)nr以理解為：的能,1；「芻個分雖的陡MZ和，即反映能雖抽仁怎理3?2也稱為帕塞瓦爾 定理. 例M(2知余弦函數(shù)集{cos/,cos2/,...,cosn/}(/7為整數(shù)) ⑴證明該函數(shù)集在區(qū)間(0,2n)內(nèi)為止交函數(shù)集： (2) 該怖數(shù)集在區(qū)間(O?2tt)內(nèi)是完條iE交幣數(shù)集嗎？ (3) 該函數(shù)集住區(qū)問(0. 2 )內(nèi)璉疋交函數(shù)策嗎？ 解：(1)岡為當(dāng)丙時 檢曲譏。$曲"丄[蘭匕+迥二=0 JLJ 2 I +r I -r o rr 11" 當(dāng)時 J^jcos j/cosr/^Z = —[/ + — sin 2it] - 可見該函數(shù)集任區(qū)何(0. 2tt)內(nèi)滿足式(3?6),故它在區(qū)間(0. 2TT)內(nèi)足-個正交函數(shù)集。 (2)因為對「?非零函數(shù)sin*仃 即sint在區(qū)間(0. 2tt)內(nèi)與｛cos/7t｝iE交?故因數(shù)集｛cosnt｝在區(qū)間(0. 2tt)內(nèi)不是完備正交幡數(shù)集。 對「?任總整數(shù)?此式丿卞不恒軫于零?因此,根據(jù)正交函數(shù)集的定義.該甌數(shù)集｛cos/#｝在區(qū)間(0, x/2)內(nèi)不是正交用數(shù)集. 山上例町以看到，一個函數(shù)集是否正交，與它所在區(qū)何有關(guān)，在某一區(qū)間町能止交，而在列一區(qū)間乂 可能不正交。另外.在判斷函數(shù)集正交時.是指函數(shù)集中所仃函數(shù)應(yīng)兩兩正交.不能從-個函數(shù)集中的某 〃個甬?dāng)?shù)相互正交，就判斷該函數(shù)集是正交函數(shù)集. 四?常見的完備正交函數(shù)集 ⑴ 三角函數(shù)集｛cos班Msin = 0J2…)在區(qū)間&易+C內(nèi).有 0 ( m) cos nQi cos mCiLdt = 7/2 ?72 (n = fn) r ( = w = 0) 0 〔〃 H 加,〃=胡=0) Tf2 n = m 式中,  可見在區(qū)間（‘皿+內(nèi)，三角函數(shù)集"os沁以in刃創(chuàng)對丁?周期為尸的信測成正交函數(shù) 幾而」Um務(wù)的止交函數(shù)集⑴完務(wù)性在此不討論）。而函數(shù)集fco$"G, （sm wCte）也匕|交函數(shù) 集，但它們