2019年高考數(shù)學新一輪復習 詳細分類題庫 考點18 解三角形應用舉例（文、理）（含詳解13高考題） .doc
2019年高考數(shù)學新一輪復習 詳細分類題庫 考點18 解三角形應用舉例（文、理）（含詳解，13高考題）
一、填空題
1. (xx福建高考理科T13)如圖,在△ABC中,已知點D在BC邊上,AD⊥AC, sin∠BAC=,AB=,AD=3,則BD的長為 .
【解題指南】顯然,sin∠BAC=cos∠BAD,用余弦定理.
【解析】sin∠BAC===cos∠BAD,
在△BAD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcos∠BAD=18+9-23=3,
所以BD=.
【答案】
二、解答題
2.（xx重慶高考理科Ｔ20）在△中，內(nèi)角、、的對邊分別是、、，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）設，，求的值．
【解題指南】直接利用余弦定理可求出的值，由和差公式及的值通過化簡可求出的值.
【解析】（Ⅰ）因為
由余弦定理有故.
（Ⅱ）由題意得
因此
①
因為,所以
因為即
解得
由①得,
解得或.
3. （xx重慶高考文科Ｔ18）在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且a2=b2+c2+ab.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）設a=,S為△ABC的面積,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此時B的值.
【解題指南】直接利用余弦定理可求出的值，再利用正弦定理求解S+3cosBcosC的最大值，并指出此時的值.
【解析】（Ⅰ）由余弦定理得
又因為,所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）得又有正弦定理及得
因此,
所以,當,即時, 取最大值
4. （xx山東高考理科Ｔ17）設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=.
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A-B）的值.
【解題指南】（1）先由余弦定理可得到ac的關系式，再和已知a+c=6聯(lián)立方程，可得a，c的值；（2）由知，需先求出sinA,sinB,cosA,cosB的值，可先利用同角三角函數(shù)基本關系式求出sinB,然后由正弦定理求出sinA，進而求得cosA，從而本題得解.
【解析】（1）由與余弦定理得，得
又a+c=6，b=2，cosB=，所以ac=9，解得a=3,c=3.
（2）在△ABC中，,
由正弦定理得.
因為a=c，所以A為銳角.
所以.
因此.
5.（xx福建高考文科Ｔ21）如圖,在等腰直角中,, ,點在線段上.
（I）若,求的長;
（II）若點在線段上,且,問:當取何值時,的面積最小?并求出面積的最小值.
【解題指南】由等腰知，此時，可解；第(II)問,按“求什么設什么”列式求解，將面積表達式寫出，利用三角函數(shù)計算公式求解。
【解析】（Ⅰ）在中，，，，
由余弦定理得，，得，解得或．
（Ⅱ）設，，
在中，由正弦定理，得，
所以，
同理
故
因為，，所以當時，的最大值為，此時的面積取到最小值．即時，的面積的最小值為．
6.(xx江蘇高考數(shù)學科T18)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量, ，.
(1)求索道AB的長.
(2)問:乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)?
【解題指南】(1)利用正弦定理確定出AB的長.(2)先設再建立時間t與甲、乙間距離d的函數(shù)關系式,利用關系式求最值.(3)利用條件“使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘”建立不等式求解.
【解析】(1)在△ABC中,因為cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=.
從而sinB=sin[π-(A+C)]
=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
=，
由正弦定理=,得
AB=sinC= =1040(m).
所以索道AB的長為1040m.
(2)假設乙出發(fā)t分鐘后,甲、乙兩游客距離為d,此時,甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50),
因0≤t≤,即0≤t≤8,
故當t= (min)時,甲、乙兩游客距離最短.
(3)由正弦定理=,得BC=sinA==500(m).
乙從B出發(fā)時,甲已走了50(2+8+1)=550(m),還需走710m才能到達C.
設乙步行的速度為vm/min,由題意得-3≤ ≤3,解得
所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應控制在[，] (單位:m/min)范圍內(nèi).
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