專題綜合檢測練（一） (120分鐘　150分) 第Ⅰ卷(選擇題,共60分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.(2018泉州一模)tan θ=2,則sin 2θ= (　　) A.45 B.45 C.25 D.25 【解析】選A.sin 2θ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=45. 2.(2018石家莊一模)若角α的終邊經(jīng)過點P35,-45,則sin αtan α的值是 (　　) A.1615 B.-1615 C.-35 D.35 【解析】選A.因為角α的終邊經(jīng)過點P35,-45,所以sin α=-45,tan α=-43,所以sin αtan α=1615. 3.(2018廈門一模)把函數(shù)fx=sin 2x+3cos 2x的圖象向右平移φ個單位,再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)gx=2sin x的圖象,則φ的一個可能值為 (　　) A.-π3 B.π3 C.-π6 D.π6 【解析】選D.因為fx=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+π3的圖象向右平移φ個單位,再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=2sinx-2φ+π3,由已知可得-2φ+π3=2kπ,k∈Z,所以φ的一個可能值為π6. 4.如圖,《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈(1丈=10尺), 現(xiàn)被風(fēng)折斷,尖端落在地上,竹尖與竹根的距離三尺,問折斷處離地面的高為 (　　) A.5.45 B.4.55 C.4.2 D.5.8 【解析】選B.如圖,已知AC+AB=10(尺),BC=3(尺),AB2-AC2=BC2=9, 所以(AB+AC)(AB-AC)=9,解得AB-AC=0.9, 因此AB+AC=10,AB-AC=0.9,解得AB=5.45,AC=4.55. 故折斷處離地面的高為4.55尺. 5.已知函數(shù)fx=sin 2x+φ-π<φ<0,將fx的圖象向左平移π3個單位長度后所得的函數(shù)圖象經(jīng)過點0,1,則函數(shù)fx (　　) A.在區(qū)間-π6,π3上單調(diào)遞減 B.在區(qū)間-π6,π3上單調(diào)遞增 C.在區(qū)間-π6,π3上有最大值 D.在區(qū)間-π6,π3上有最小值 【解析】選B.函數(shù)fx=sin 2x+φ-π<φ<0,將fx的圖象向左平移π3個單位長度后所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin2x+2π3+φ,又因為經(jīng)過點(0,1),所以1=sin2π3+φ,所以2π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,所以φ=-π6+ 2kπ,又因為-π<φ<0,所以φ=-π6,所以f(x)=sin2x-π6,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間-π6,π3上單調(diào)遞增. 6.(2018宜賓二模)在△ABC中,sin B=13,BC邊上的高為AD,D為垂足,且BD=2CD,則cos A= (　　) A.-33 B.33 C.-1010 D.1010 【解析】選A.由已知可得B為銳角,且tan B=122, 因為AD=BD tan B=CD tan C,BD=2CD, 所以tan C=2tan B=12, 所以tan A=-tan(C+B)=-tanC+tanB1-tanCtanB=-2, A為鈍角,由于tanA=sinAcosA,sin2A+cos2A=1, 所以cos A=-33. 7.已知cos α=79,且α是第四象限角,則sinα-π4= (　　) A.23 B.-23 C. 8-7218 D.-8+7218 【解析】選D.因為cos α=79,且α是第四象限角, 所以sin α=-429, 所以sinα-π4=22(sinα-cosα)=22-429-79 =-8+7218. 8.若0<α<π2,-π2<β<0,cos (π4+α)=13,cos (π4-β2)=33,則cos α+β2= (　　) A.539 B.-33 C. 7327 D.-69 【解析】選A.因為0<α<π2,cosπ4+α=13, 所以sinπ4+α=223, 因為-π2<β<0,cosπ4-β2=33, 所以sinπ4-β2=63, 所以cosα+β2=cosπ4+α-π4-β2 =cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2 =1333+22363=539. 9.(2018淄博一模)南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶獨立發(fā)現(xiàn)的計算三角形面積的“三斜求積術(shù)”,與著名的海倫公式等價,其求法是:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減小,余四約之,為實.一為從隅,開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式,即S=14a2c2-a2+c2-b222.若滿足 sin A∶sin B∶sin C=(2-1)∶5∶(2+1),周長為22+5的△ABC的面積為 (　　) A.34 B.32 C.54 D.52 【解析】選A.因為sin A∶sin B∶sin C=(2-1)∶5∶(2+1), 所以由正弦定理得 a∶b∶c=(2-1)∶5∶(2+1), 又因為周長為22+5,所以a=2-1,b=5,c=2+1,所以代入秦九韶公式得 △ABC的面積為S=14(2-1)2(2+1)2-(2-1)2+(2+1)2-(5)222=34. 10.已知函數(shù)f(x)=sin (πx+π4)和函數(shù)g(x)=cos (πx+π4)在區(qū)間[-54,74]上的圖象交于A,B,C三點,則△ABC的面積是 (　　) A.22 B.324 C.2 D.524 【解析】選C.解方程sinπx+π4=cosπx+π4, 得πx+π4=kπ+π4,k∈Z,所以x=k, 又因為x∈-54,74,所以x=-1,0,1, 所以A-1,-22,B0,22,C1,-22, 所以△ABC的面積是S=12[1-(-1)]2=2. 11.將函數(shù)fx=cos2x-π4的圖象向左平移π8個單位后得到函數(shù)gx的圖象,則gx (　　) A.為奇函數(shù),在0,π4上單調(diào)遞減 B.最大值為1,圖象關(guān)于直線x=π2對稱 C.最小正周期為π,圖象關(guān)于點3π8,0對稱 D.為偶函數(shù),在-3π8,π8上單調(diào)遞增 【解析】選B.因為gx=cos2x+π8-π4=cos 2x, 所以g(x)為偶函數(shù),且在kπ2,kπ2+π2上單調(diào)遞減, 在kπ2+π2,kπ2+π上單調(diào)遞增,最大值為1,圖象關(guān)于x=kπ2,k∈Z對稱,最小正周期為π,對稱中心為k2π+π4,0,所以A,C,D都是錯誤的,B正確. 12.(2018成都一模)已知函數(shù)f(x)=4sin2x+π60≤x≤91π6,若函數(shù)F(x)=f(x)-3的所有零點依次記為x1,x2,x3,…,xn,x1<x2<x3<…<xn,則x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn= (　　) A.1 255π3 B.445 π C.1 420π3 D.1 520π3 【解析】選B.如圖 畫出函數(shù)圖象,因為函數(shù)的最小正周期為π,所以共有31個零點, x1+x2=π3,x2+x3=4π3, x3+x4=2π+π3,x4+x5=2π+4π3, x5+x6=4π+π3,x6+x7=4π+4π3, … x29+x30=28π+π3,x30+x31=28π+4π3, 所以x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn=2(2π+4π+…+28π)+155π3=445π. 第Ⅱ卷(非選擇題,共90分) 二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把正確答案填在題中橫線上) 13.在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若b=4,∠B=π6,sin A=13,則a=____________. 【解析】由正弦定理得a=bsinAsinB=41312=83. 答案:83 14.(2018廣東六校聯(lián)考)已知平面四邊形ABCD為凸四邊形(凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在直線,其余各邊均在此直線的同側(cè)),且AB=2,BC=4,CD=5,DA=3,則平面四邊形ABCD面積的最大值為____________. 【解析】設(shè)AC=x,在△ABC中由余弦定理有x2=22+42-224cos B=20-16cos B, 同理,在△ADC中,由余弦定理有:x2=32+52-235cos D=34-30cos D, 即15cos D-8cos B=7,① 又平面四邊形ABCD面積為S=1224sin B+1235sin D=12(8sin B+15sin D), 即8sin B+15sin D=2S,② ①②平方相加得 64+225+240(sin Bsin D-cos Bcos D)=49+4S2, 即-240cos(B+D)=4S2-240, 當(dāng)B+D=π時,S取最大值230. 答案:230 15.已知cos π4-α=24,則sin 2α=____________. 【解析】因為cos π4-α=24, 所以22cos α+22sin α=24, 所以cos α+sin α=12, 兩邊平方得1+2cos αsin α=14,所以sin 2α=-34. 答案:-34 16.(2018宜賓二模)若函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示,則該函數(shù)解析式是____________. 【解析】因為最高點的坐標(biāo)軸為2,所以A=2, 因為T=258π-π8=π,所以ω=2, 由2π8+φ=π2,解得φ=π4, 所以該函數(shù)解析式是y=2sin2x+π4. 答案:y=2sin2x+π4 三、解答題(本大題共6小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 17.(12分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且bsin 2A- asin (A+C)=0. (1)求角A. (2)若c=3,△ABC的面積為332,求a的值. 【解析】(1)由bsin 2A-asin(A+C)=0得bsin 2A=asin B=bsin A, 又0<A<π,所以sin A≠0,得2cos A=1,所以A=π3. (2)由c=3及12bcsinπ3=332可得 b=23, 又在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, 即a2=(23)2+(3)2-2233cos π3, 解得a=3. 18.(12分)(2018蕪湖一模)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),且mn=sin 2C. (1)求角C的大小. (2)若sin A+sin B=2sin C,且△ABC面積為93,求邊c的長. 【解析】(1)因為mn=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin 2C, 在三角形ABC中有:sin(A+B)=sin C, 從而有sin C=2sin Ccos C, 即cos C=12,則C=60. (2)由sin A+sin B=2sin C, 結(jié)合正弦定理知:a+b=2c, 又S=12absin C=12ab32=93知:ab=36. 根據(jù)余弦定理可知:c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=4c2-108. 解得c=6. 19.(12分)(2018武漢一模)在△ABC中,角A,B,C對邊分別為a,b,c,已知2=a2-b+c2. (1)求角A的大小. (2)若a=6,b=23,求△ABC的面積. 【解析】(1)由已知2=a2-(b+c)2, 得2bccos A=a2-(b+c)2, 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4bccos A=-2bc, 所以cos A=-12,又0<A<π,故A=2π3. (2)由(1)知cos A=-12,sin A=32, 由正弦定理,得sin B=bsinAa=23326=12, 所以B=π6或56π(舍去) 從而C=π6,所以△ABC的面積為S=12absin C=1262312=33. 20.(12分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊為a,b,c,滿足3asin C- ccos A=2a-b. (1)求C. (2)若c=2,求△ABC的面積的最大值. 【解析】(1)由正弦定理和3asin C-ccos A=2a-b可得:3sin Asin C- sin Ccos A=2sin A-sin B? 3sin Asin C+sin Acos C=2sin A, 因為A為三角形內(nèi)角,故3sin C+cos C=2, sinC+π6=1, 因為C∈0,π,所以C=π3. (2)由余弦定理a2+b2-2abcos C=c2,得a2+b2=ab+4≥2ab,即ab≤4, 故△ABC的面積的最大值為3. 21.(12分)(2018江西名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟二模)已知△ABC中,角B=60,AB=8. (1)若AC=12,求△ABC的面積. (2)若點M,N滿足==,=23,求AM的值. 【解析】(1)在△ABC中,設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, 方法一:由正弦定理bsinB=csinC, 得sin C=csinBb=83212=33, 又b>c,所以B>C,則C為銳角, 所以cos C=63, 則sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=3263+1233=32+36, 所以△ABC的面積S=12bcsin A=4832+36=242+83. 方法二:由余弦定理可得122=64+a2-28acos 60,解得a=4+46, 所以△ABC的面積S=12acsin B=12(4+46)832=242+83. (2)由題意得M,N是線段BC的兩個三等分點, 設(shè)BM=x,則BN=2x,AN=23x, 又B=60,AB=8, 在△ABN中,由余弦定理得12x2=64+4x2-282xcos 60, 解得x=2(負值舍去),則BN=4, 所以BN2+AN2=AB2, 所以∠ANB=90, 在Rt△AMN中,AM=AN2+MN2=48+4=213. 22.(14分)已知函數(shù)f(x)=3sin 2x+sin xcos x. (1)當(dāng)x∈0,π3時,求f(x)的值域. (2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,fA2=32,a=4,b+c=5,求△ABC的面積. 【解析】(1)由f(x)=3sin2x+sin xcos x =sin2x-π3+32, 因為x∈0,π3,所以2x-π3∈-π3,π3, 所以sin2x-π3∈-32,32 可得f(x)∈[0,3]. (2)因為fA2=32,所以sinA-π3=0, 因為A∈(0,π)可得A=π3, 因為a=4,b+c=5, 所以由余弦定理可得16=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=25-3bc, 所以bc=3, 所以S△ABC=12bcsin A=334. 【提分備選】 1.(2018廣東省六校聯(lián)考)已知sinπ2+θ+3cos(π-θ)=sin(-θ),則 sin θcos θ+cos2 θ=(　　) A.15　　　 B.25　　 　C.35　　　 D.55 【解析】選C.因為sinπ2+θ+3cos(π-θ) =sin(-θ),所以cos θ-3cos θ=-sin θ, 所以tan θ=2,所以sin θcos θ+cos2 θ=sinθcosθ+cos2θsin2θ+cos2θ=tanθ+1tan2θ+1=35. 2.已知函數(shù)f(x)=asinπ4x(a>0)在同一周期內(nèi)的圖象過點O,P,Q,其中O為坐標(biāo)原點,P為函數(shù)f(x)圖象的最高點,Q為函數(shù)f(x)的圖象與x軸的正半軸的交點,△OPQ為等腰直角三角形. (1)求a的值. (2)將△OPQ繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α0<α<π4,得到△OP′Q′,若點P′恰好落在曲線y=3x(x>0)上(如圖所示),試判斷點Q′是否也落在曲線y=3x(x>0)上,并說明理由. 【解析】(1)因為函數(shù)f(x)=asin π4x(a>0)的最小正周期T=2ππ4=8,所以函數(shù)f(x)的半周期為4,所以|OQ|=4,即有Q坐標(biāo)為(4,0),又因為P為函數(shù)f(x)圖象的最高點,所以點P的坐標(biāo)為(2,a).又因為△OPQ為等腰直角三角形,所以a=|OQ|2=2. (2)點Q′不落在曲線y=3x(x>0)上,理由如下:由(1)知,|OP|=22,|OQ|=4 所以點P′,Q′的坐標(biāo)分別為 22cosα+π4,22sinα+π4,(4cos α,4sin α). 因為點P′在曲線y=3x(x>0)上, 所以3=8cosα+π4sinα+π4=4sin2α+π2 =4cos 2α, 即cos 2α=34,又0<2α<π2, 所以sin 2α=74. 又4cos α4sin α=8sin 2α=874=27≠3. 所以點Q′不落在曲線y=3x(x>0)上.