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第二章 數列 滾動訓練(二) 一、填空題 1．△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝2，b＝，A＝45，則B＝________. 考點　用正弦定理解三角形 題點　已知兩邊及其中一邊對角解三角形 答案　30 解析　由正弦定理可得＝，sin B＝＝＝.又因為a＝2，b＝，a>b，所以A>B，所以B＝30. 2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則＝________. 考點　正弦、余弦定理與其他知識的綜合 題點　正弦、余弦定理與三角變換的綜合 答案　2 解析　∵等式右邊＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB， 等式左邊＝sinB＋2sinBcosC， ∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB. 由cosC＞0，得sinA＝2sinB. 根據正弦定理，得a＝2b，即＝2. 3．若數列{an}中，an＝n＋(－1)n，則a4＋a5＝________. 考點　數列的通項公式 題點　已知通項公式求項或項數 答案　9 解析　因為an＝n＋(－1)n，所以a4＝4＋(－1)4＝5，a5＝5＋(－1)5＝4，所以a4＋a5＝9. 4．600是數列12,23,34,45，…的第________項． 考點　數列的通項公式 題點　判斷某數是否為數列的項 答案　24 解析　由數列12,23,34,45，…可得通項公式為an＝n(n＋1)，令n(n＋1)＝600，求得n＝24. 5．已知{an}是等差數列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，則a3＋a6＋a9＝________. 考點　等差數列的性質 題點　兩個等差數列的性質問題 答案　33 解析　根據等差數列的性質可知a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差數列， 故a3＋a6＋a9＝239－45＝33. 6．已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且＝，則使得為整數的正整數n的個數是________． 考點　等差數列的前n項和性質運用 題點　通項公式的綜合應用 答案　5 解析　∵＝＝＝＝7＋為正整數， ∴n＝1,2,3,5,11. 7．等差數列{an}中，已知a1＝－6，an＝0，公差d∈N*，則n(n≥3)的最大值為________． 考點　等差數列的通項公式 題點　通項公式的綜合應用 答案　7 解析　由an＝a1＋(n－1)d，得－6＋(n－1)d＝0，n＝＋1，因為d∈N*，所以當d＝1時，n取最大值7. 8．已知△ABC的三邊長分別為3,5,7，則該三角形的外接圓半徑為________． 考點　用余弦定理解三角形 題點　已知三邊解三角形 答案　 解析　設角A，B，C的對邊分別為a，b，c. 由已知a＝3，b＝5，c＝7，∴cosC＝＝－， ∴sinC＝，∴R＝＝. 9．數列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝________. 考點　數列的遞推公式 題點　由遞推公式求項 答案　 解析　由an＋1＝，可得an＝1－，又a8＝2，故a7＝，…依次下去得a1＝. 10．在等差數列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，m，n∈N*，且m>n，則am＝________. 考點　等差中項 題點　等差中項及其應用 答案　 解析　因為am＋n與am－n的等差中項是am，所以am＝. 11．已知數列{an}的通項公式an＝(－1)n(2n－1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________. 考點　數列前n項和的求法 題點　并項求和法 答案　10 解析　觀察可知a1＋a2＝2，a3＋a4＝2，…，a9＋a10＝2，故a1＋a2＋a3＋…＋a10＝10. 二、解答題 12．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2. (1)求cosB； (2)若a＋c＝6，△ABC面積為2，求b. 考點　正弦、余弦定理與其他知識的綜合 題點　正弦、余弦定理與三角變換的綜合 解　(1)由題設及A＋B＋C＝π，得sinB＝8sin2， 故sinB＝4(1－cosB)． 上式兩邊平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0， 解得cosB＝1(舍去)或cosB＝. 故cosB＝. (2)由cosB＝，得sinB＝， 故S△ABC＝acsinB＝ac. 又S△ABC＝2，則ac＝. 由余弦定理及a＋c＝6， 得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB) ＝36－2＝4. 所以b＝2. 13．設數列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，求{an}的通項公式． 考點　an與Sn關系 題點　由Sn公式求an 解　因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故當n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 兩式相減得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2) . 又由題設可得a1＝2，也符合上式， 從而{an}的通項公式為an＝，n∈N*. 三、探究與拓展 14．設等差數列{an}的公差為d，若數列{2a1an}為遞減數列，則a1d________0.(填>，＝，<) 考點　等差數列綜合 題點　數列與不等式綜合 答案　< 解析　由數列{2a1an}為遞減數列，得2a1an<2a1an－1，再由指數函數性質得a1an－1>a1an，由等差數列的公差為d知，an－an－1＝d，所以a1an－1>a1an?a1an－a1an－1<0?a1(an－an－1)<0?a1d<0. 15．已知等差數列{an}的公差d>0，設{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S2S3＝36. (1)求d及Sn； (2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65. 考點　等差數列前n項和 題點　等差數列前n項和有關的基本量計算問題 解　(1)由題意知，(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 解得d＝2或d＝－5(舍去)． 所以Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2. (2)由(1)知， am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)， 所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65， 由m，k∈N*知，2m＋k－1≥k＋1>1， 故所以