2016屆高三數學33個黃金考點總動員 【考點剖析】 1.最新考試說明： （1）了解命題的概念，會分析原命題及其逆命題、否命題與逆否命題這四種命題的相互關系． （2）理解必要條件、充分條件與充要條件的意義. 2.命題方向預測： （1）四種命題的概念及其相互關系、四種命題真假的判斷、充分要條件的判定及其應用是高考的熱點. (2)題型主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)． （3）本節(jié)知識常與集合、函數、不等式、數列、立體幾何中的直線、平面間的位置關系、復數等知識結合，在復習是要加強對集合、函數、不等式性質等基礎知識理解與掌握. 3.課本結論總結： （1）命題的概念 在數學中用語言、符號或式子表達的，可以判定真假的陳述句叫做命題.其中，判定為真的命題叫真命題，判定為假的命題叫假命題. （2）四種命題及其關系 ①四種命題及其關系 ②四種命題的真假關系 逆命題與否命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個命題同真假，互逆或互否的兩個命題，它們的真假沒有關系. (3)充分條件與必要條件 ①若，則是充分條件，是的必要條件. ②若，且，則是充要條件 4.名師二級結論： (1) 常見結論的否定形式 結論 是 都是 大于 小于 至少一個 至多一個 至少個 至多有個 對所有，成立 或 且 對任何，不成立 否定 不是 不都是 不大于 不小于 一個也沒有 至少兩個 至多有（）個 至少有（）個 存在某，不成立 且 或 存在某，成立 (2)充要條件判定方法 ①定義法：若，則是充分條件；若，則是必要條件；若，且，則是充要條件. ②集合法：若滿足條件的集合為A，滿足條件的集合為B，若AB，則是的充分不必要條件；若BA，則是必要不充分條件；若A=B則，是 充要條件。 對充要條件判定問題，一定要分清誰是條件，誰是結論，若條件、結論滿足的條件易求，常用集合法. ③利用原命題與逆命題的真假判斷 若原命題為“若則”，則有如下結論： （1）若原命題為真逆命題為假，則是的充分不必要條件； （2）若原命題為假逆命題為真，則是的必要不充分條件； （3）若原命題與逆命題都為真，則是的充要條件； （4）若原命題與逆命題都為假，則是的既不充分也不必要條件 5.課本經典習題： (1)新課標A版第8 頁習題1.1A組，第2題 【經典理由】本題考查了命題的四種形式及其真假的判定，特別是都是的否定是一個難點，也是一個?？键c. (2)新課標A版第12頁習題1.2A組第3題 【經典理由】本題主要考查了充要條件的三種判定方法，具有代表性. 6.考點交匯展示： (1)與集合交匯 例1【2015高考湖南，理2】.設，是兩個集合，則“”是 “”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】C. 【解析】 由題意得，，反之，，故為充要條件，選C. (2)與不等式交匯 例2【2015高考天津，理4】設 ，則“ ”是“ ”的( ) （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】,或，所以 “ ”是“ ”的充分不必要條件，故選A. （3）與函數交匯 例3 【2015高考一輪配套特供】 “10a>10b”是“l(fā)ga>lgb”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】由10a>10b得a>b，由lga>lgb得a>b>0，所以“10a>10b”是“l(fā)ga>lgb”的必要不充分條件，選B. （4）與平面向量結合 例4【2014北京西城區(qū)二?！吭O平面向量，，均為非零向量，則“”是“”的（ ） （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】由得，，得；反之不成立，故是的必要而不充分條件． （5）與復數交匯 例5【2014浙江理 2】已知是虛數單位，，則“”是“”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A. 【解析】(a+bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，于是a2－b2＝0，2ab＝2解得a＝b＝1或a＝b＝－1 ,故選A. （6）與立體幾何交匯 例6 【2014屆陜西高考前30天保溫訓練17】已知直線a，b，平面α，β，則a∥α的一個充分條件是（　?。? A．a⊥b，b⊥α B．a∥β，β∥α C．bα，a∥b D．a∥b，b∥α，aα 【答案】D (7)與數列交匯 例7【2015高考湖北，理5】設，. 若p：成等比數列； q：，則（ ） A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 C．p是q的充分必要條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 【答案】A 【解析】對命題p：成等比數列，則公比且； 對命題，①當時，成立； ②當時，根據柯西不等式，等式成立， 則，所以成等比數列，所以是的充分條件，但不是的必要條件. 【考點分類】 熱點一 命題及其關系 1. 【2014陜西高考理第8題】原命題為“若互為共軛復數，則”，關于逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ） （A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假 【答案】 為真；故選. 2. 【2013高考天津（理）】已知下列三個命題: ①若一個球的半徑縮小到原來的, 則其體積縮小到原來的; ②若兩組數據的平均數相等, 則它們的標準差也相等; ③直線x + y + 1 = 0與圓相切. 其中真命題的序號是: （ ） (A) ①②③ (B) ①② (C) ①③ (D) ②③ 【答案】C 【解析】由球的體積公式可知：①正確；對③,圓心(0,0)到直線x + y + 1 = 0的距離為,等于圓的半徑,故正確；而②是錯誤的，故選C. 【方法規(guī)律】 1.判斷一個命題的真假有兩種方法，法一：直接法，用直接法判定命題為真命題，需要嚴格的推理、考慮各種情況由命題條件推出結論正確，要判定一個命題為假命題，只要舉出一個反例就行；法二：等價值法，若不易直接判斷它的真假，利用原命題與其逆否命題同真假轉化為判斷其逆否命題的真假。 2.正確的命題要有充分的依據，不一定正確的命題要舉出反例，這是最基本的數學思維方式，也是兩種不同的解題方向，有時舉出反例可能比進行推理論證更困難，二者同樣重要． 3. 在書寫命題的四種形式時，首先要將命題轉化成“若p，則q”的形式，然后嚴格按定義書寫，注意正確應用常見詞語的否定. 4.在判斷四種形式的命題真假時，先判斷原命題的真假，再判斷逆命題的真假，然后根據等價關系確定否命題和逆否命題的真假． 【解題技巧】 1.當一個命題有大前提而要寫出其他三個命題時，必須保留大前提且不作改換． 2.在判斷命題的真假時，如果不易直接判斷它的真假，可以轉化為判斷其逆否命題的真假． 3.在書寫否命題題與您否命題時，要特別注意條件的否定和結論的否定即為條件的反面和結論的反面. 【易錯點睛】 1.區(qū)分否命題與命題：①否命題是將原命題的條件否定作為條件，將原命題的結論否定作為結論構造的一個新的命題；②命題的否定只是否定命題的結論，常用于反證法． 2.特別要注意含有邏輯連結詞的否定形式. 例 寫出命題“若，則，全為0”的否命題. 【錯解】若，則，全不為0. 【錯因分析】①將命題否定與否命題混淆；②命題結論否定錯誤, “，全為0”的否定應為“，不全為0”，而不是“，全為0”. 【預防措施】①要正確區(qū)分命題的否定與否命題：寫一個命題的否命題，既要否定條件又要否定結論，只否定結論，得到的命題是命題的否定；②對條件和結論的否定要正確，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，條件和結論的否定就是分別找條件和結論的對立面，抓住這一點就可以避免類似的錯誤. 【正解】若，則，不全為0. 熱點二 充分條件與必要條件 1. 【2015高考重慶，理4】“”是“”的（　　 ） A、充要條件 B、充分不必要條件 C、必要不充分條件 D、既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】，因此選B. 2.【2014高考福建卷理第6題】直線與圓相交于兩點，則是“的面積為”的（ ） 充分而不必要條件 必要而不充分條件 充分必要條件 既不充分又不必要條件 【答案】A 3.【2014高考湖北卷理第3題】設為全集，是集合，則“存在集合使得是“”的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】①當，，且，則，反之當，必有. ②當，，且，則，反之，若，則， ，所以. ③當，則；反之，，. 綜上所述，“存在集合使得是“”的充要條件. 4. 【2014北京理5】設是公比為的等比數列，則是為遞增數列的（ ） 充分且不必要條件 必要且不充分條件 充分必要條件 既不充分也不必要條件 【答案】D. 【解析】當a1<0，q>1時，數列{an}遞減；當a1<0，數列{an}遞增時，0<q<1.故選D. 5. 【2014天津高考理第7題】設，則|“”是“”的（　?。? （A）充要不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件　 （D）既不充要也不必要條件 【答案】C． 6. 【2014高考上海理科第15題】設,則“”是“”的（ ） （A）充分條件 （B）必要條件 （C）充分必要條件 （D）既非充分又非必要條件 【答案】B 【解析】若，則，但當時也有，故本題就選B． 【方法規(guī)律】 1.在進行充分條件、必要條件的判斷時，首先要明確哪個論斷是條件，哪個論斷是結論，再從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q，二是由條件q能否推得條件p，結合定義即可做出判斷. 2.充分條件、必要條件的三種判斷方法，要注意靈活應用.利用集合法進行判斷時，借助數軸能直觀顯示兩個集合的關系，從而命題易于求解．對于條件或結論是否定形式的充分條件、必要條件的判斷，要善于利用等價命題進行判斷． 【解題技巧】 1.在進行充要條件判斷時，在明確條件、結論的基礎上，將條件進行適當的化簡及合理的表示條件間的推出關系是解決問題的關鍵． 2.在利用集合法進行充要條件判斷時，常借助數軸直觀顯示兩個集合的關系，從而使問題易于求解. 3.在利用命題法判定充要條件時，對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命、逆命題和否命題的等價性，轉化為判斷它的等價命題． 【易錯點睛】 在判斷充要條件時，因條件與結論分不清或因考慮不全面導致致錯誤. 例 已知：“向量與向量的夾角為鈍角”是：“＜0”的 條件. 【錯解】若向量與向量的夾角為鈍角，則＜0，即＜0，故是的充要條件. 【錯因分析】判斷條件與結論之間的關系時要從兩個方向判斷，而上面之判定了一個方向就下結論，忽視了對“＜0”成立時能否導出“向量與向量的夾角為鈍角”的判斷. 【防范措施】判斷充要條件時要注意兩點：首項要分清哪個是條件，哪個是條件；其次要從兩個方向進行判斷，即條件能否導出結論與結論能否導出條件. 【正解】若向量與向量的夾角為鈍角，則＜0，即＜0，即； 當＜0，即＜0，因為，所以，故向量與向量的夾角為鈍角或平角，即，故是的充分不必要條件. 【熱點預測】 1. 【2015高考安徽，理3】設，則是成立的（ ） （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A 2. 以下四個命題中，真命題的個數為 ( ) ①集合的真子集的個數為； ②平面內兩條直線的夾角等于它們的方向向量的夾角； ③設，若，則且； ④設無窮數列的前項和為，若是等差數列，則一定是常數列． (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 【解析】對于①，集合的真子集的個數為24-1=15，∴①對； 對于②，平面內兩條直線的夾角不大于直角，而方向向量的夾角可以為鈍角，故②錯； 對于③，∵12+i2=0但1與i都不為0，故③錯； 對于④，若是等差數列，可設Sn=S1+(n-1)d，a1=S1，當n≥2時，an=Sn-Sn-1= d， 當且僅當S1=d時是常數列，故④錯. 3. 【2014高考安徽卷理第2題】“”是“”的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】因為，所以，即，因而“”是“”的必要而不充分條件 4.【2014屆福建福州三中考前模擬】原命題 ：“設＞”以及它的逆命題，否命題、逆否命題中，真命題共有（?。﹤€． A．0　　 　B．1　　 　 C．2　 　　　D．4 【答案】C 5.【2014屆安徽“江南十?！倍！俊啊笔恰爸本€與直線平行”的（ ） A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】當時，直線與直線可能平行或重合；若直線與直線平行，則故選 6.【2015河北“五個一名校聯(lián)盟”質監(jiān)（一）3】已知，如果是的充分不必要條件，則實數k的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由得，，即，解得或，由是的充分不必要條件知，，故選B. 7.【2015湖北武漢9月調研測試2】已知集合，，則是的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A. 【解析】若：則有，若：則或，∴是充分不必要條件. 8. 【2014屆山東東營市4月質量檢測】“實數”是“復數（為虛數單位）的模為”的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分條件又不必要條件 【答案】 9. 【2014屆湖南長沙二?！恐校堑膶叿謩e為，則“”是“是等腰三角形”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】當時，由余弦定理得，，故，即，所以是等腰三角形，反之，當是等腰三角形時，不一定有，故“”是“是等腰三角形”的充分不必要條件． 10.【2014屆安徽皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考】若且，則“”是“”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 11. “”是“直線和直線互相垂直”的 （ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】因為時，兩直線分別是直線和直線兩直線的斜率分別是1和-1.所以兩直線垂直，所以充分性成立；當直線和直線互相垂直則.所以必要性成立.故選C. 12.【2015上海交大附中上期高三數學摸底考試】集合，．若“a＝1”是“”的充分條件，則實數b的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】“a＝1”是“”的充分條件的意思是說當時，，現(xiàn)在，，由得或，即或，所以的范圍是. 13.設,則是的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】因為知，知顯然，反之不成立，選B. 14.【2014屆安徽“江南十校”二?！肯铝薪Y論中正確的是(填上所有正確結論得序號) ①對于函數，若，使得，則函數關于直線對稱； ②函數有2個零點； ③若關于的不等式的解集為，則； ④已知隨機變量服從正態(tài)分布且，則； ⑤等比數列的前項和為，已知，則 【答案】③④⑤