江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 專題三 不等式 第2講 線性規(guī)劃與基本不等式學案.doc
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江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 專題三 不等式 第2講 線性規(guī)劃與基本不等式學案.doc
第2講 線性規(guī)劃與基本不等式
[考情考向分析] 1.線性規(guī)劃的要求是A級,主要考查線性目標函數(shù)在給定區(qū)域上的最值.2.基本不等式是江蘇考試說明中的C級內(nèi)容,高考會重點考查.主要考查運用基本不等式求最值及其在實際問題中的運用,試題難度中檔以上.
熱點一 簡單的線性規(guī)劃問題
例1 (1)(2017全國Ⅰ)設x,y滿足約束條件則z=3x-2y的最小值為________.
答案 -5
解析 作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示,
由z=3x-2y得y=x-,求z的最小值,即求直線y=x-在y軸上的截距的最大值,當直線y=x-過圖中點A時,其在y軸上的截距最大,由解得A點坐標為(-1,1),
此時z=3(-1)-21=-5.
(2)已知實數(shù)x,y滿足則的取值范圍是________.
答案
解析 不等式組對應的平面區(qū)域是以點(3,-1),(3,2)和為頂點的三角形及其內(nèi)部,設z=,則z表示平面區(qū)域內(nèi)的點與原點連線所在直線的斜率,則當z=經(jīng)過(3,-1)時取得最小值-,經(jīng)過點(3,2)時取得最大值,故的取值范圍是.
思維升華 線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結合的思想.需要注意的是: 畫目標函數(shù)所對應的直線時,要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較;一般情況下,目標函數(shù)的最值會在可行域的端點或邊界上取得.
跟蹤演練1 (1)設變量x,y滿足約束條件
若目標函數(shù)z=ax+y的最小值為-2,則a=________.
答案?。?
解析 約束條件對應的可行域是以點(1,1),(1,3)和(2,2)為頂點的三角形及其內(nèi)部.當a≥-1時,當目標函數(shù)所在直線y=-ax+z經(jīng)過點(1,1)時,z取得最小值,則zmin=a+1=-2,即a=-3(舍去);當a<-1時,當目標函數(shù)所在直線y=-ax+z經(jīng)過點(2,2)時,z取得最小值,則zmin=2a+2=-2,即a=-2,符合題意,故a=-2.
(2)甲、乙兩種食物的維生素含量如下表:
維生素A(單位/kg)
維生素B(單位/kg)
甲
3
5
乙
4
2
分別取這兩種食物若干并混合,且使混合物中維生素A,B的含量分別不低于100,120單位,則混合物重量的最小值為________ kg.
答案 30
解析 設甲食物重x kg,乙食物重y kg,
∵維生素A,B的含量分別不低于100,120單位,
∴
由得
A(20,10),混合物重z=x+y,平移直線z=x+y,
由圖知,當直線過A(20,10)時,z取最小值為20+10=30.
熱點二 利用基本不等式求最值
例2 (1)(2018蘇北六市模擬)已知a,b,c均為正數(shù),且abc=4(a+b),則a+b+c的最小值為________.
答案 8
解析 ∵abc=4(a+b),
∴c=,
∴a+b+c=a+b+=a+b++≥2+2=4+4=8.(當且僅當a=b=2時,等號成立)
(2)設△ABC的BC邊上的高AD=BC,a,b,c分別表示角A,B,C對應的三邊,則+的取值范圍是____________________.
答案 [2,]
解析 因為BC邊上的高AD=BC=a,
所以S△ABC=a2=bcsin A,
所以sin A=.
又因為cos A==,
所以+=2cos A+sin A≤,
同時+≥2(當且僅當b=c時,等號成立),
所以+∈[2,].
思維升華 用基本不等式求函數(shù)的最值,關鍵在于將函數(shù)變形為兩項和或積的形式,然后用基本不等式求出最值.在求條件最值時,一種方法是消元,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值;另一種方法是將要求最值的表達式變形,然后用基本不等式將要求最值的表達式放縮為一個定值,但無論哪種方法在用基本不等式解題時都必須驗證等號成立的條件.
跟蹤演練2 (1)設a,b>0,a+b=5,則+的最大值為________.
答案 3
解析 ∵a,b>0,a+b=5,∴(+)2=a+b+4+2≤a+b+4+()2+()2=a+b+4+a+b+4=18,當且僅當a=,b=時,等號成立,則+≤3,即+最大值為3.
(2)(2018興化三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x+x3+3x,若正數(shù)a,b滿足f(2a-1)+f(b-1)=0,則+的最小值為________.
答案
解析 由題意得f(-x)=-f(x),且f(x)為單調(diào)增函數(shù),最多有一個零點,
所以f(2a-1)+f(b-1)=0,即f(2a-1)=-f(b-1),
所以2a-1=1-b,即 2a+b=2,
所以 +=+b+
=2+b++-4=+.
又+=
=≥,
當且僅當a=,b=時取等號.
所以+的最小值為.
熱點三 基本不等式的實際運用
例3 (2018蘇州期末)如圖,長方形材料ABCD中,已知AB=2,AD=4.點P為材料ABCD內(nèi)部一點,PE⊥AB于E,PF⊥AD于F,且PE=1,PF=.現(xiàn)要在長方形材料ABCD中裁剪出四邊形材料AMPN,滿足∠MPN=150,點M,N分別在邊AB,AD上.
(1)設∠FPN=θ,試將四邊形材料AMPN的面積表示為θ的函數(shù),并指明θ的取值范圍;
(2)試確定點N在AD上的位置,使得四邊形材料AMPN的面積S最小,并求出其最小值.
解 (1)在Rt△NFP中,因為PF=,∠FPN=θ,
所以NF=tan θ,
所以S△NAP=NAPF=,
在Rt△MEP中,因為PE=1,∠EPM=-θ,
所以ME=tan,
所以S△AMP=AMPE=1,
所以S=S△NAP+S△AMP =tan θ+tan+,θ∈.
(2)因為S=tan θ+tan+
=tan θ++,
令t=1+tan θ,由θ∈,得t∈,
所以S=+=+ ≥2+=2+,
當且僅當t=,即t=時,即tan θ=時等號成立,
此時,AN=,Smin=2+.
答案 當AN=時,四邊形材料AMPN的面積S最小,最小值為2+.
思維升華 利用基本不等式求解實際應用題的方法
(1)解題時需認真閱讀,從中提煉出有用信息,建立數(shù)學模型.
(2)注意當運用基本不等式求最值時,若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時,就不能使用基本不等式求解,此時可根據(jù)變量的范圍用對應函數(shù)的單調(diào)性求解.
跟蹤演練3 一批救災物資隨26輛汽車從某市以v km/h的速度勻速直達400 km外的災區(qū),為了安全起見,兩輛汽車的間距不得小于2 km,則這批物資全部運送到災區(qū)最少需____ h.
答案 10
解析 時間最短,則兩車之間的間距最小,且要安全,則時間t==+≥2=10,當且僅當v=80時等號成立.
1.(2017江蘇)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是________.
答案 30
解析 一年的總運費為6=(萬元),
一年的總存儲費用為4x萬元,
總運費與總存儲費用的和為萬元.
因為+4x≥2 =240,
當且僅當=4x,即x=30時取得等號,
所以當x=30時,一年的總運費與總存儲費用之和最?。?
2.(2018江蘇)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為________.
答案 9
解析 方法一 如圖,
∵S△ABC=S△ABD+S△BCD,
∴acsin 120=c1sin 60+
a1sin 60,
∴ac=a+c,∴+=1.
∴4a+c=(4a+c)=++5≥2+5=9.
當且僅當即時取等號.
方法二 如圖,以B為原點,BD所在直線為x軸建立平面直角坐標系,則D(1,0),A,C.
又A,D,C三點共線,
∴=,∴ac=a+c.
以下同方法一.
3.已知正實數(shù)x,y滿足向量a=(x+y,2),b=(xy-2,1)共線,c=,且a(a-c)≥0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是________.
答案
解析 由a=(x+y,2),b=(xy-2,1)共線得
x+y=2(xy-2),則x+y+4=2xy≤,
即(x+y)2-2(x+y)-8≥0,當且僅當x=y(tǒng)時等號成立.
又由x,y是正實數(shù),得x+y≥4.
不等式a(a-c)≥0,即a2≥ac,
所以(x+y)2+4≥m(x+y)+3,
即(x+y)2-m(x+y)+1≥0,令x+y=t,t≥4,
則t2-mt+1≥0,t∈[4,+∞)(*)恒成立.
對于方程t2-mt+1=0,
當Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2時,(*)恒成立;
當m<-2時,相應二次函數(shù)y=t2-mt+1的對稱軸t=<-1,(*)恒成立;
當m>2時,由相應二次函數(shù)y=t2-mt+1的對稱軸t=<4,且16-4m+1≥0,得2<m≤.
綜上可得,當m≤時,(*)恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是.
4.某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀),高度恒定,它的后墻利用舊墻不花錢,正面用鐵柵,每米長造價40元,兩側墻砌磚,每米長造價45元,頂部每平方米造價20元,則倉庫面積S的最大允許值是________平方米.
答案 100
解析 設鐵柵長為x米,一堵磚墻長為y米,則頂部面積為S=xy,
依題意得40x+245y+20xy=3 200,
由基本不等式得3 200≥2+20xy
=120+20xy=120+20S.
所以S+6-160≤0,即(-10)(+16)≤0,
故0<≤10,從而0<S≤100,
當且僅當即x=15,y=時等號成立.
所以S的最大允許值是100平方米.
A組 專題通關
1.(2018江蘇無錫一中期末)已知實數(shù)x,y滿足則z=9x3y的最大值是________.
答案 27
解析 由題意得z=9x3y=32x3y=32x+y.
不等式組對應的可行域如圖所示的△OAB及其內(nèi)部,
設u=2x+y,則y=-2x+u,
當直線y=-2x+u經(jīng)過點A(1,1)時,直線在y軸上的截距最大,umax=21+1=3,
所以zmax=33=27.
2.(2018連云港期末)已知實數(shù)x,y滿足
則z=x2+y2的最小值為________.
答案
解析 先根據(jù)實數(shù)x,y滿足不等式組
畫出可行域,如圖中陰影部分(含邊界)所示,
z=x2+y2表示可行域內(nèi)點到原點的距離的平方,
由圖可知,z=x2+y2的最小值就是直線x-y+1=0與原點的距離的平方,
所以最小值為2=.
3.已知x>1,則函數(shù)y=2x+的最小值為________.
答案 5
解析 ∵x>1,∴2x-1>0,
∴y=2x-1++1≥2 +1=5,
當且僅當2x-1=,即x=時,等號成立.
4.(2018常州期末)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若a2a3a4=a2+a3+a4,則a3的最小值為________.
答案
解析 因為是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a2a3a4=a2+a3+a4,所以a-a3=a2+a4,則a-a3=a2+a4≥2=2a3,(當且僅當a2=a4,即數(shù)列{an}為正數(shù)常數(shù)列時取等號)即a3≥0,即a≥3,a3≥,即a3的最小值為.
5.若點A(m,n)在第一象限,且在直線+=1上,則mn的最大值是________.
答案 3
解析 點A(m,n)在第一象限,且在直線+=1上,
所以m,n>0,且+=1,所以≤2,
,
所以≤2=,即mn≤3,
所以mn的最大值為3.
6.設P是函數(shù)y=(x+1)圖象上異于原點的動點,且該圖象在點P處的切線的傾斜角為θ,則θ的取值范圍是________.
答案
解析 因為y′=(x+1)+=
=+≥2=,
當且僅當=,即x=時“=”成立.
所以切線的斜率k=tan θ≥,
又θ∈[0,π),所以θ∈.
7.已知正數(shù)a,b,滿足+=-5,則ab的最小值為________.
答案 36
解析 ∵正數(shù)a,b滿足+=-5,
∴-5≥2,
化為()2-5-6≥0,解得≥6,
當且僅當=,+=-5,即a=2,b=18時取等號,解得ab≥36.
8.(2018揚州期末)已知正實數(shù)x,y滿足x+y=xy,則+的最小值為________.
答案 5+2
解析 正實數(shù)x,y滿足x+y=xy,+=1,
+=+ ,
故得到+==5++≥5+2,
等號成立的條件為1-=1-,即x=y(tǒng)=2.
9.若△ABC的內(nèi)角滿足sin A+sin B=2sin C,則cos C的最小值是________.
答案
解析 由sin A+sin B=2sin C,
及正弦定理得a+b=2c.
又由余弦定理得cos C=
==
≥=,
當且僅當a2=時等號成立,
故≤cos C<1,故cos C的最小值為.
10.某工廠利用輻射對食品進行滅菌消毒,現(xiàn)準備在該廠附近建一職工宿舍,并對宿舍進行防輻射處理,建造宿舍的費用與宿舍到工廠的距離有關.若建造宿舍的所有費用p(萬元)和宿舍與工廠的距離x(km)的關系式為p=(0≤x≤8),若距離為1 km時,測算宿舍建造費用為100萬元.為了交通方便,工廠與宿舍之間還要修一條道路,已知購置修路設備需5萬元,鋪設路面每千米的成本為6萬元.設f(x)為建造宿舍與修路費用之和.
(1)求f(x)的表達式;
(2)宿舍應建在離工廠多遠處,可使總費用f(x)最小,并求最小值.
解 (1)根據(jù)題意得100=,所以k=800,
故f(x)=+5+6x(0≤x≤8).
(2)因為f(x)=+2(3x+5)-5≥80-5=75,
當且僅當=2(3x+5),即當x=5時f(x)min=75.
所以宿舍應建在離工廠5 km處,可使總費用f(x)最小,最小為75萬元.
B組 能力提高
11.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,則的最小值為________.
答案 4
解析 由題意知,
所以==
=+2≥2+2=4,
當且僅當x=y(tǒng)時,等號成立.
12.已知二次函數(shù)f(x)=ax2-x+c(x∈R)的值域為[0,+∞),則+的最小值為________.
答案 10
解析 由f(x)的值域為[0,+∞)可知該二次函數(shù)的圖象開口向上,且函數(shù)的最小值為0,
因此有=0,從而c=>0,
所以+=+≥24+2=10,
當且僅當即a=時取等號.
故所求的最小值為10.
13.(2018江蘇如東高級中學等五校聯(lián)考)已知a,b,c∈(0,+∞),則的最小值為________.
答案 4
解析 a2+b2+c2=+
≥ac+bc,
即ac+2bc≤,當且僅當a=,b=時等號成立,
則≥
≥=4(經(jīng)驗證兩次等號可同時取得),
所以 的最小值為4.
14.已知函數(shù)f(x)=|x-2|.
(1)解不等式f(x)+f(2x+1)≥6;
(2)已知a+b=1(a,b>0),且對于?x∈R,f(x-m)-f(-x)≤+恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
解 (1)f(x)+f(2x+1)=|x-2|+|2x-1|
=
當x<時,由3-3x≥6,解得x≤-1;
當≤x≤2時,x+1≥6不成立;
當x>2時,由3x-3≥6,解得x≥3.
∴不等式的解集為(-∞,-1]∪[3,+∞).
(2)∵a+b=1(a,b>0),
∴+=(a+b)=5++≥5+2=9,
當且僅當a=,b=時等號成立,
∴對于?x∈R,f(x-m)-f(-x)≤+恒成立等價于對?x∈R,|x-2-m|-|-x-2|≤9,
即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9,
∵|x-2-m|-|-x-2|≤|(x-2-m)-(x+2)|
=|-4-m|,
∴-9≤m+4≤9,∴-13≤m≤5.