⑵ ⑶ (4) ⑸ (6) ⑺ (8) ⑼ (10) (11)(⑵ (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) 高等數(shù)學公式 基本積分表（1）kdxkxC（k是常數(shù)） 1 xdxx1c(u1) Adx x In | x| C dx 1x2arltanx dx -arcs in x 2 X 1JI cosxdxsinxC sinxdxcosxC 一dxtanxCcosx cotxC secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC xx edxeC x a*xdx且C,(a0,且a1)lna shxdxchxC chxdxshxCdx1xaxarctan—— _1_ M2=x2 dxarcsin*C dx 1 r~i~z vax (20) dxInlx、x2a2|C■22 .xa (21) tanxdxIn|cosx|C (22) cotxdxIn|sinx|C (23) secxdx In |secx tanx| C (24) cscxdx In | cscx cotx| C 注：1、從與數(shù)基本公式可得前15個積分公式，(16)-(24)式后幾節(jié)證 2、以上公式把x換成u仍成立，u是以x為自變量的函數(shù)。 3、復習三角函數(shù)公式： 1 cos2x ?2sin22,2 xcosx1,tanx1secx,sin2x2sinxcosx,cosx 2 1cos2x ?2sinx 注：由f[(x)]'(x)dxf[(x)]d(x),此步為湊微分過程,所以第一類換元 務必熟記基本 法也叫湊微分法。此方法是非常重要的一種積分法，要運用自如，積分表，并掌握常見的湊微分形式及“湊”的技巧 小結(jié)： 1常用湊微分公式 積分類型 換元公式 *1 1. 2. 3. 4.. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1 f(axb)dx-a 上11 f(x)xdx f(axb)d(axb)(a0) -f(x)d(x)( 0) 1f(Inx)dx x f(Inx)d(lnx) f(ex)exdx f(ax)axdx f(sinx)cosxdx f(cosx)sinxdx 2 f(tanx)secxdx f(cotx)cscxdx f(ex)dex 1vv —f(ax)dax Ina f(sinx)dsinx f(cosx)dcosx f(tanx)dtanx f(cotx)dcotx T(arctanx),2dx1x 1 d-dxx1 T(arctanx)d(arctanx) T(arcsinx)d(arcsinx) uaxb ux Inxu uxe ua usinx ucosx utanx ucotx uarctanx uarcsinx 導數(shù)公式: (tgx)secx (ctgx)cscx (arcsinx) 1 1 (secx)secxtgx(cscx)cscx ctgx(aviviiviiiixxxi)axlna 1 (logax) xlna (arccosx) (arctgx) (arcctgx) 2* 1x2 1 1x2 1 1x2 tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx -22 axdx 22 ax Incosx Insinx Insecx Incscx C C tgxC ctgxC arcsinAC sinnxdxcosnxdx O0 2x7 xa2dxx.x2a 2 2 xa2dxx22a x 2 基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分 2usinx2,cosx1u sinx secxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxC x axdxC Ina shxdxchxC xi.ax In csc2xdxctgxC dx1+x —2arctgC axaa 壬jx9|C xa2axa| dx2 一secxdxtgxCcosx chxdxshxC mIn(xVxa)C 2 a- ((X 2 a. 「nx 2 In .x2a2)C vx2a2C 2 ax 一arcsin-C 2a dx% 1u2 兩個重要極限: 一些初等函數(shù): sin x x 雙曲正弦： shx 1x lim(1-)xe2.718281828459045… 雙曲余弦:chx arshxm(xthx x shx chx x21) archxln(x.x21) 11x arthx|n 21x 三角函數(shù)公式: ?誘導公式： 函數(shù) 角A、、 sin cos tg ctg —a -sin cos -tg -ctg a a a a 90°-a cos sin ctg tga a a a 90°+a cos -sin -ctg -tg a a a a 180°- sin -cos -tg -ctg a a a a a __o 180+ -sin -cos tga ctg a a a a 270°- -cos -sin ctg tga a a a a  270+ -cos sin -ctg -tg a a a a a 360- -sin cos -tg -ctg a a a a a 360+ sin cos tga ctg a a a a sin(cos( )sin cos cossin sin sin 2sin cos tg( ctg( 和差角公式: )costg 1tg cos tg tg sinsin sin sin 2cos ctgctg ctg ctg cos cos 2cos- cos cos 2sin- ?和差化積公式： -sin -cos- ?倍角公式: sin2 cos2 ctg2 2sincos 22 2cos112sin ctg21 2ctg 2cos?2sin sin33sin4sin3 cos34cos3cos tg3 3tgtg3 tg2 2tg 1tg2 13tg2 -半角公式: sin一 2 tg2 '1cos \2 1cos ?1cos 1cos sin -正弦定理: sin 1cos cos- 2 -cos V2 '1cos1cossin 1cossin1cos ab sinAsinB c sinC 2R 222 ?余弦定理：cab2abcosC arctgx — arcctgx 2 ?反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx-arccosx 2 高階導數(shù)公式----萊布尼茲(Leibniz)公式：n(n)k(nk)(k) n(n 1) (n k 1) (n k) g k! u v ⑻ (uv)CnUvk0 (n)vnu(n1)vn(n1)u(n2)v2! 中值定理與導數(shù)應用： 拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba) 柯西中值定理：“Af(a)f() F(b)F(a)F() 當F(x)x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理 曲率： 弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg s： MM弧長。 平均曲率：K.:從M點到M點，切線斜率的傾角變化M; M點的曲率：Klim|—I_卜 s0s||ds|Q(iy2)3 宜線：K0; 半徑為a的圓：K-. a 定積分的近似計算： b 矩形法：f(x)- a b 梯形法：f(x)- a b 拋物線法:f(x) a 定積分應用相關公式 a( n (y。y1 a 1 [(y0 yn) n 2 b a [(yo yn) 3n yn 1) y1 yn 1 ] 2( y2 y4 yn 2) 4(% y3 yn1)] 功：W 水壓 力： 引力: 1叮2*為引力系數(shù) r 函數(shù)的 平 F均值: 1 b f (x)dx a 均方 根： K ,b aa f2 (t)dt 空間解析幾何和向量代數(shù) 空間2點的距離：dM1M2 .(X2Xi)2(y2yi)2(Z2Zi)2 向量在軸上的投影: PrjuAB ABcos，是AB與u軸的夾角 Prju(aia?)PrjaiPJa? abcos axbx ayby azbz,是一個數(shù)M) 兩向M之間的夾角 cos a. 22ay axbxaybyazbz Ubx2 az bz2 cab az absin 例: 線速度: wr. by bz 向M的混合 積： [abc](a ax ay az bx by bz Cx Cy Cz b)c ccos,為銳角時, 代表平行六面體的體積 平面的方程: 1、點法式：A(xx0) B(yyo)C(z zo) 0,其中 n{代B,C},Mo(xo,yo,zo) 2、 般方程: AxBy CzD 3、截距世方 程： -1c 平面外任意一點到該平 面的距離: AxoByoCz。D A2B2C2 Xo mt 空間宜線的方程 :X Xom yyon Zo t淇中s{m,n,p};參數(shù)方程：y 二次曲面: 1、橢球面: 2、拋物面: 2 務 a 2 J 2p 2y.2 b 2 y 2q, nt Pt 3、雙曲面: 單葉雙曲面: 雙葉雙曲面: 2 X 2a 2工 2a 2 y_b2 y2 b2 多元函數(shù)微分法及應用 z(p,q同號) 2 三1 2c 2 勺1(馬胺面)c 全微分：dz—dx—dyxy 全微分的近似計算：zdz 多元復合函數(shù)的求與法： du—dx—dy—dz xyz fx(x,y)xfy(x,y)y zf[u(t),v(t)] dzzuzvdt"uv"T f[u(x,y),v(x,y)]：- 當u(x,y),vv(x,y)時，u du—dx—dydv xy隱函數(shù)的求導公式： vdx-dy Xy 隱函數(shù)F(x,y)0,也dx 隱函數(shù)F(x,y,z)0,-ZX Fx 、y Fx 1 Fz d2y 2 . dx z y ( X Fy Fz 隱函數(shù)方程組：F（x，y，u，v）0 G(x,y,u,v)0 J(F,G) (u,v) FuFv GuGv (F,G) (F,G) (X,v) (u,x) (F,G) (F,G) 微分法在幾何上的應用 舸:M（笠y緝寺面再L點乂在由漱中貝ij）（to）（yv。） 培空4做鹿毋軸螞槽：G{Fx（X:。,y。,2）oOF則XoMogoTFz（X。％,zo）F (to)(zzo) FzFxFx Fy 2、過此點的切平面方程：Fx（x,y,z）（x 爭GzGzGx'Gx Xo)Fy(X。,yo,z)(yyG Fz(F1yy,z)(z 3、過此點的法線方程 XX。 Fx(Xo,y0,Z。)Fy(X0,y,Z。)Fz(x,y,Z。) 方向?qū)?shù)與梯度: 函數(shù)zf(x,y)在一點p(x,y)沿任一方向I的方向?qū)?shù)為：cos—sin lxy 其中為x軸到方向I的轉(zhuǎn)角。 函數(shù)zf(x,y)在一點p(x,y)的梯度：gradf(x,y)—i—jxy 它與方向與數(shù)的關系是：-fgradf(x,y)e,其中ecosisinj,為I方向上的 單位向量。 f是gradf(x,y)在I上的投影 多元函數(shù)的極值及其求法： 設 fxg y ) AC 則：AC fy(X0,y ) 0,令:fxx(X0,y ) D2 ［斗A 0, (x ,y)為極大值 B 0時， A 0,(x。)V。)為極小值 B2 0時， 無極值 A, fxy(xo, yo) B, fyy(Xo,yo) C AC B2 0 時, 不確定 重積分及其應用 f(x,y)dxdy f (r cos , rsin )rdrd D D 2 2 曲面z f (x,y)的面積A dxdy D y x y x (x, y)d 平面薄片的重心:~~x D M (x,y)d y (x, y)d (x,y)d D D 平面薄片的轉(zhuǎn)動慣對于X軸lx y2 (x, y)d , D 平面薄片(位于xoy平面)對z軸上質(zhì)點M(0,0,a),(a 柱面坐標和球面坐標： x⑴ 空間曲線y⑴在點M(x0,y0,z0)處的切線方程： 小 z ((x, y)xd Fx 3, Fy D/ 2 2 2/2 D / (x y a ) (x (to) (x, y)yd 3, y2 a2)2 對于 y 軸 I y x (x, y)d D 0)的引力：本作x,Fy,Fz},其中： (to) (to) (x，y)xd Fz fa D / (x y a ) xrcos 柱面坐標：y r sin f (x, y, z)dxdydz F(r, ,z)rdrd dz, 其中：F(r, ,z) f(rcos ,rsin ,z) x rsin cos 球面坐標：y rsin sin 2 dv rd rsin d dr r sin drd d z rcos f (x, y, z)dxdydz F(r, ,)r2sin drd d 重心：x — x dv, M 轉(zhuǎn)動慣量：I x 曲線積分： 1 y ydv, M (y2 z2) dV, I y 2 r(,) d d F(r, ,)r2sin dr o o o z 1 z dv, 其中 M x M (x2 z2) dv, Iz (x2 y2) dv dv 第一類曲線積分(對弧 長的曲線積 分)： 設f (x, y)在L上連續(xù),L的參數(shù)方程 為： (t) (t) f (x, y)ds f [ (t), L (t)].. 2(t) 2(t)dt 特殊情況： y (t) 第二類曲線積分(對坐標的曲線積分): 設L的參數(shù)方程為x聘則：y P(x,y)dxQ(x,y)dy L {P[(t).(t)]⑴Q[(t)，(t)] (t)}dt 兩類曲線積分之間的關 系：PdxQdy(PcosQcosLL )ds其中和分別為 L上積分起止點處切向量的方向角 Q P 格林公式：( )dxdy : Pdx d x y l 當P y,Q x,即：■上2時，x y 平面上曲線積分與路徑無關的條件 1、G是一個單連通區(qū)域； Qdy格林公式：(—QP)dxdyy：PdxQdy DXL 1 得到D的面積：Adxdy—xdyydx DO 2l 2、P(x,y),Q(x,y)在0內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)V ，且衛(wèi)二-P。注意奇點，女口(0,0)，應 減去對此奇點的積分，注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積: QP 在一二一時，PdxQdy才是二兀函數(shù)u(x,y)的全微分，其中: xy (x,y) u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常設xoyo0。(x°,yo) 曲面積分： 對面積的曲面積分：f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]j1z：(x,y)z：(x,y)dxdy D xy 對坐標的曲面積分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中： R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy取曲面的上側(cè)時取正號； D xy P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz取曲面的前側(cè)時取正號；Dyz Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx取曲面的右側(cè)時取正號。 ''D zx 兩類曲面積分之間的關系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds 高斯公式: PQR ()dv-PdydzQdzdxRdxdy,(PcosQcosRcos)ds xyz 高斯公式的物理意義一通量與散度： 散度：divR，即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div0,則為消失 z 通量：AndsAnds(PcosQcosRcos)ds, 因此，高斯公式又可寫成：divAdvAnds 斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關系 ()dydz( yz 一)dzdx :x dydz dzdx 上式左端又可寫 成： Q (一x dxd y 上)dxdy cos Pdx cos QdyRdz cos 的環(huán)流量：Pdx Qdy Rdz A t ds (n 1)n 2 ，是發(fā)散的 n 空間曲線積分與路徑無關的條件: 旋度：rotA 向量場A沿有向閉曲線 常數(shù)項級數(shù)： 等比數(shù)列：qq2 等差數(shù)列：23 調(diào)和級數(shù)：-- 23 級數(shù)審斂法： 1正項級數(shù)的審斂法一一根植審斂法（柯西判別法）: 1時，級數(shù)收斂 設：limnUn,則1時，級數(shù)發(fā)散 1時，不確定 2、 比值審斂法： 1時，級數(shù)收斂 設：lnimUn\則1時，級數(shù)發(fā)散 Un1時，不確定 3、 定義法： snuU2un;limsn存在，則收斂；否則發(fā)散。 n 交錯級數(shù)U1U2U3U4（或U1U2U3,un0）的審斂法萊布尼茲定理： UnUn1 如果交錯級數(shù)滿足那么級數(shù)收斂且其和sU1,其余項rn的絕對值rnUn1 limUn0'n 絕對收斂與條件收斂： ⑴U1U2Un,其中Un為任意實數(shù)； （2）U1U2U3Un 如果⑵收斂，則（1）肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù)； 如果（2）發(fā)散，而（1）收斂，則稱（1）為條件收斂級數(shù)。 調(diào)和級數(shù): 1發(fā)散，而』收斂; n n 數(shù)： ，收斂; n 1.P p級數(shù)nP . p 1時發(fā)散 1時收斂 幕級數(shù): 1 x x2 x3 對于級數(shù)(3)a0 a- a2x2 |X 數(shù)軸上都收斂，則必存 在 R, |x 1時，收斂于 |x 1時，發(fā)散 。,如果它不是僅在原點收斂，也不是在全 anX R時收斂 R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。 R時不 定 0 時，R - 求收斂半徑的方法：設 an 1 lim 一 n an 其中an% an 1是(3)的系數(shù)，則 0時，R 時，R 0 函數(shù)展開成幕級數(shù) 函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f (x) f(X )(X x° )f4X A(x X。)2 f%)(x 2 n! (n 1) ()(x X0)n1,f(x)可以展開成泰勒級數(shù)的！充要條件是：limRn n 余項：Rn (n 1)! n X。) X 0時即為麥克勞林公 f(x) f(0) f (0)x o 式： 些函數(shù)展開成幕級數(shù)： 2! f ⑻(0) n X n! m (1 x) sinx x 1 mx m(mJ ) x2 2! 3 5 X x_ 3! 5! m(m 1) (m n 1) n n Y2n 1 ! 1)n1 (2n 1)! 1 x 1) 歐拉公式: ixix ee ix .. e cosx i sinx cosx 或 si nx 2 ix ix e e 2 三角級數(shù): (an cosnx b nSin nx) n 1 f(t)AoAnsin(ntn)lf n1 其中，a0aA。，anAnsinn,bnAnCOsn,tX。 正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意兩個不同項的乘積在［上的積分=0。 傅立葉級數(shù): ao f(x)一 (ancosnxbnsinnx),周期 n1 f(x)cosnxdx(n0,1,2 f(x)sinnxdx(n1,2,3 11111 1尹孑尸孑41 H1111 2242622232 正弦級數(shù)：an0,bnf(x)sinnxdx 余弦級數(shù)：bn0,anf(x)cosnxdx 0 an 其中 bn 2 （相加） 6 2 一（相減） 12 1,2,3f(x)bnsinnx是奇函 數(shù) a0 0,1,2f(x)2ancosnx是偶函 周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù) 其中 bn n x用廿口 (n 0,1,2 ) (n 1,2,3 ) 齊次方程：一階微分方 程可以寫成 史 f (x, y) dx (x,y),即寫成上的函數(shù)，解法: x 設u 丫，則凹u x dx 即得齊次方程通解 du xdx, du u dx (u), dx 一分離變量，積分后將一代替u, (u) u aonx f(X)Qni(anc0ST的山丁)’周期21 「fgcos-dx 1 l 1nx, f(x)sindx 1 微分方程的相關概念 一階微分方程：yf(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy0 可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dyf(x)dx的形式，解法: g(y)dyf(x)dx得：G(y)F(x)C稱為隱式通解。 一階線性微分方程： 1、一階線性微分方程：史P(x)yQ(x) dx 當Q(x)0時,為齊次方程，y P(x)dx Ce 當Q(x)0時，為非齊次方程,  P(x)dxP(x)dx y(Q(x)edxC)e 2、貝努力方程：翌P(x)yQ(x)yn,(n0,1)dx 全微分方程: 如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是莫函數(shù)的全微分方程，即: uu du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中:-P(x,y),Q(x,y) xy u(x,y)C應該是該全微分方程的通解。 二階微分方程： 西p吧Q(x)yff(x)0時為齊次 2f dx僅)，f(x)0時為非齊 二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：次 （*）ypyqy0,其中p,q為常數(shù)； 求解步驟： 1寫出特征方程：（）r2prq0,其中r2,r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是（*）式中y,y,y的系數(shù); 2、求出（）式的兩個根r,,r2 3、根據(jù)r,,r2的不同情況，按下表寫出（*）式的通解： fr2的形式 （*）式的通解 兩個不相等實根（p24q0） nxex ycec?e 兩個相等實根（p24q0） y(Gc2x)e"x 一對共鈍復根（p24q0） r-i,Di yex(GCOSxc2sinx) pJ4qp2 2,2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 ypyqyf(x),p,q為常數(shù) f(x)exPm(x)型，為常數(shù)； f(x)ex[R(x)cosxFn(x)sinx]型 dxxa 2aax