9 8直線與圓錐曲線 考綱要求 1 了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用 2 理解數(shù)形結(jié)合思想 1 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1 從幾何角度看 可分為三類 沒有公共點(diǎn) 僅有一個公共點(diǎn)及有兩個不同的公共點(diǎn) 2 從代數(shù)角度看 可通過將表示直線的方程代入圓錐曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷 設(shè)直線l的方程為Ax By C 0 圓錐曲線方程為f x y 0 如消去y后得ax2 bx c 0 若a 0 當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時 直線l與雙曲線的漸近線平行 當(dāng)圓錐曲線是拋物線時 直線l與拋物線的對稱軸平行 或重合 若a 0 設(shè) b2 4ac 當(dāng) 0時 直線和圓錐曲線相交于不同的兩點(diǎn) 當(dāng) 0時 直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn) 當(dāng) 0時 直線和圓錐曲線沒有公共點(diǎn) 2 直線與圓錐曲線相交時的弦長問題 2 當(dāng)斜率k不存在時 可求出交點(diǎn)坐標(biāo) 直接運(yùn)算 利用兩點(diǎn)間的距離公式 3 圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題 1 2 3 4 5 1 下列結(jié)論正確的打 錯誤的打 1 直線l與橢圓C相切的充要條件是 直線l與橢圓C只有一個公共點(diǎn) 2 直線l與雙曲線C相切的充要條件是 直線l與雙曲線C只有一個公共點(diǎn) 3 直線l與拋物線C相切的充要條件是 直線l與拋物線C只有一個公共點(diǎn) 4 如果直線x ty a與圓錐曲線相交于A x1 y1 B x2 y2 兩點(diǎn) 則弦長 5 若拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的兩點(diǎn) 則需滿足直線l與拋物線C的方程聯(lián)立消元得到的一元二次方程的判別式 0 1 2 3 4 5 A 相交B 相切C 相離D 不確定 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 自測點(diǎn)評 1 弦長公式使用時要注意直線的斜率情況 對于斜率不存在的直線要單獨(dú)處理 對于拋物線中的過焦點(diǎn)的弦要使用其特定的公式 2 直線與雙曲線或與拋物線的交點(diǎn)問題比直線與橢圓的交點(diǎn)問題更為復(fù)雜 除了可以利用方程分析 還可以結(jié)合圖像分析 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 解題心得 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法 用直線方程與圓錐曲線方程組成方程組 研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 只需判斷這個方程組的解的個數(shù) 即用代數(shù)法研究幾何問題 這是解析幾何的重要思想方法 直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個公共點(diǎn)問題 實(shí)際上是研究方程組解的個數(shù)問題 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 對點(diǎn)訓(xùn)練1過拋物線y2 2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A B兩點(diǎn) 它們的橫坐標(biāo)之和等于1 則這樣的直線 A 有且只有一條B 有且只有兩條C 有且只有三條D 有且只有四條 答案 解析 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 考點(diǎn)2圓錐曲線中的弦長與中點(diǎn)弦問題 多維探究 類型一弦長問題 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 類型二中點(diǎn)弦問題例3過點(diǎn)M 1 1 作斜率為的直線與橢圓C a b 0 相交于A B兩點(diǎn) 若M是弦長AB的中點(diǎn) 則橢圓C的離心率等 思考 解中點(diǎn)弦問題常用的求解方法是什么 答案 解析 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 對點(diǎn)訓(xùn)練2 1 圓x2 y2 4的切線與x軸正半軸 y軸正半軸圍成一個三角形 當(dāng)該三角形面積最小時 切點(diǎn)為P 如圖 求點(diǎn)P的坐標(biāo) 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過點(diǎn)P 且與直線l y x 交于A B兩點(diǎn) 若 PAB的面積為2 求C的標(biāo)準(zhǔn)方程 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 2 已知點(diǎn) 4 2 是直線l被橢圓所截得的弦長的中點(diǎn) 則l的方程是 答案 解析 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 類型二定值問題例5如圖 已知拋物線C x2 4y 過點(diǎn)M 0 2 任作一直線與C相交于A B兩點(diǎn) 過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D O為坐標(biāo)原點(diǎn) 1 證明 動點(diǎn)D在定直線上 2 作C的任意一條切線l 不含x軸 與直線y 2相交于點(diǎn)N1 與 1 中的定直線相交于點(diǎn)N2 證明 MN2 2 MN1 2為定值 并求此定值 思考 求圓錐曲線中定值問題常見的方法有哪些 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 解題心得 1 求定值問題常見的方法有兩種 1 從特殊入手 求出定值 再證明這個值與變量無關(guān) 2 直接推理 計算 并在計算推理的過程中消去變量 從而得到定值 2 定點(diǎn)的探索與證明問題 1 探索直線過定點(diǎn)時 可先設(shè)出直線方程為y kx b 然后利用條件建立b k等量關(guān)系進(jìn)行消元 借助于直線系的思想找出定點(diǎn) 2 從特殊情況入手 先探求定點(diǎn) 再證明與變量無關(guān) 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 對點(diǎn)訓(xùn)練3 1 2015江西南昌三模 已知拋物線C x2 y 直線l與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A B 且 p 6 設(shè)直線m為線段AB的中垂線 請判斷直線m是否恒過定點(diǎn) 若是 請求出定點(diǎn)坐標(biāo) 若不是 請說明理由 記點(diǎn)A B在x軸上的射影分別為A1 B1 記曲線E是以A1B1為直徑的圓 當(dāng)直線l與曲線E相離時 求p的取值范圍 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 解題心得 圓錐曲線中常見的最值問題及其解法 1 兩類最值問題 涉及距離 面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題 求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關(guān)的一些問題 2 兩種常見解法 幾何法 若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義 則考慮利用圖形性質(zhì)來解決 代數(shù)法 若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系 則可先建立起目標(biāo)函數(shù) 再求這個函數(shù)的最值 最值常用基本不等式法 配方法及導(dǎo)數(shù)法求解 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 1 涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷有兩種方法 1 代數(shù)法 即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程 組成方程組 通過方程組的解來判斷 2 幾何法 即利用數(shù)形結(jié)合思想并找出關(guān)鍵點(diǎn)或關(guān)鍵線 2 弦長問題 1 弦長公式 設(shè)直線與圓錐曲線相交于M x1 y1 N x2 y2 兩點(diǎn) 則可結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到如下弦長公式 2 常用點(diǎn)差法解決弦的中點(diǎn)問題 知識方法 易錯易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 1 直線與橢圓有且只有一個交點(diǎn) 則直線與橢圓相切 直線與雙曲線或直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn) 則直線與雙曲線或直線與拋物線不一定相切 2 利用圓錐曲線中的弦長公式時要注意直線斜率情況 還要注意在拋物線中的焦點(diǎn)弦及其特殊的結(jié)論 知識方法 易錯易混