課時(shí)分層作業(yè)(三)　余弦定理 (建議用時(shí)：40分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，則角A等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432037】 A．30　　　　　　　　 B．60 C．120 D．150 B　[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc， ∴b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝，∴A＝60.] 2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，則最大角的余弦值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　[由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－287＝9，所以c＝3，故a最大， 所以最大角的余弦值為cos A＝＝＝－.] 3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若>0，則△ABC(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432038】 A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是鈍角三角形 D．是銳角或直角三角形 C　[由>0得－cos C>0，所以cos C<0，從而C為鈍角，因此△ABC一定是鈍角三角形．] 4．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60，則ab的值為(　　) A. B．8－4 C．1 D. A　[由 (a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60＝ab，則ab＋2ab＝4，∴ab＝.] 5．銳角△ABC中，b＝1，c＝2，則a的取值范圍是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432039】 A．1<a<3 B．1<a<5 C.<a< D．不確定 C　[若a為最大邊，則b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<，若c為最大邊，則a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>，故<a<.] 二、填空題 6．已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120，則a2＋c2＋ac－b2＝________. 0　[∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120 ＝a2＋c2＋ac， ∴a2＋c2＋ac－b2＝0.] 7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，則a＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432040】 1　[∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴()2＝a2＋12－2a1cos ，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.] 8．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，則B的大小是________． 　[由正弦定理知：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．設(shè)sin A＝5k，sin B＝7k，sin C＝8k， ∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk， ∴a∶b∶c＝5∶7∶8， ∴cos B＝＝，∴B＝.] 三、解答題 9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsin A＝acos B. (1)求角B的大??； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432041】 [解]　(1)由正弦定理得＝＝2R，R為△ABC外接圓半徑． 又bsin A＝acos B， 所以2Rsin Bsin A＝2Rsin Acos B. 又sin A≠0， 所以sin B＝cos B，所以tan B＝. 又因?yàn)?<B<π，所以B＝. (2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a. 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得9＝a2＋c2－ac， ∴a2＋4a2－2a2＝9， 解得a＝，故c＝2. 10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的兩根，2cos (A＋B)＝1. (1)求角C的度數(shù)； (2)求AB的長(zhǎng)． [解]　(1)∵cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－，且C∈(0，π)， ∴C＝. (2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的兩根， ∴ ∴AB2＝b2＋a2－2abcos 120＝(a＋b)2－ab＝10， ∴AB＝. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．在△ABC中，有下列關(guān)系式： ①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；③a2＋b2－c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asin C．一定成立的有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) C　[對(duì)于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．對(duì)于②，由正弦定理及sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B，知顯然成立．對(duì)于④，利用正弦定理，變形得sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos Csin A＋cos Csin A，與上式不一定相等，所以④不一定成立．故選C.] 2．在△ABC中，a，b，c為角A，B，C的對(duì)邊，且b2＝ac，則B的取值范圍是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432042】 A. B. C. D. A　[cos B＝＝ ＝＋≥， ∵0<B<π，∴B∈.故選A.] 3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，則cos A的值是________． 　[由2sin B＝3sin C及正弦定理可得2b＝3c， 由b－c＝a可得a＝c，b＝c， 由余弦定理可得cos A＝＝.] 4．△ABC為鈍角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，則x的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432043】 (1，)∪(5,7)　[①若x>4，則x所對(duì)的角為鈍角， ∴<0且x<3＋4＝7，∴5<x<7. ②若x<4，則4對(duì)的角為鈍角， ∴<0且3＋x>4， ∴1<x<. ∴x的取值范圍是(1，)∪(5,7)．] 5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． [解]　(1)由b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)， 又b＝2，a＋c＝6，cos B＝， 所以ac＝9，解得a＝3，c＝3. (2)在△ABC中，sin B＝＝， 由正弦定理得sin A＝＝. 因?yàn)閍＝c，所以A為銳角，所以cos A＝＝， 因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.