線性代數(shù)模擬題A 一．單選題. 1.下列（ A ）是4級(jí)偶排列． （A） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 2. 如果 ，， 那么（ B ）． （A） 8； (B) ； (C) 24； (D) ． 3. 設(shè)與均為矩陣，滿足，則必有（ C ）． （A）或； （B）； （C）或； （D）． 4. 設(shè)為階方陣，而是的伴隨矩陣，又為常數(shù)，且，則必有等于（ B ）． （A）； （B）； （C）； （D）． 5.向量組線性相關(guān)的充要條件是（ C ） （A）中有一零向量 (B) 中任意兩個(gè)向量的分量成比例 (C) 中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合 (D) 中任意一個(gè)向量都是其余向量的線性組合 6. 已知是非齊次方程組的兩個(gè)不同解，是的基礎(chǔ)解系，為任意常數(shù)，則的通解為（ B ） (A) ; (B) (C) ; (D) 7. λ＝2是A的特征值，則（A2/3）－1的一個(gè)特征值是（ B ） (a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4 8. 若四階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為1/2,1/3,1/4,1/5，則行列式|B-1-I|=( B ) (a)0 (b)24 (c)60 (d)120 9. 若是（ A ），則必有． （A）對(duì)角矩陣； (B) 三角矩陣； (C) 可逆矩陣； (D) 正交矩陣． 10. 若為可逆矩陣，下列（ A ）恒正確． （A）； (B) ； (C) ； (D) ． 二．計(jì)算題或證明題 1. 設(shè)矩陣 (1)當(dāng)k為何值時(shí)，存在可逆矩陣P，使得P－1AP為對(duì)角矩陣？ (2)求出P及相應(yīng)的對(duì)角矩陣。 參考答案： 2. 設(shè)n階可逆矩陣A的一個(gè)特征值為λ，A*是A的伴隨矩陣，設(shè)|A|=d，證明：d/λ是A*的一個(gè)特征值。 參考答案： 3. 當(dāng)取何值時(shí)，下列線性方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解？有解時(shí)，求其解． 參考答案： . 當(dāng)時(shí)有唯一解： 當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多解： 當(dāng)時(shí)，無(wú)解。 4. 求向量組的秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用極大無(wú)關(guān)組線性表示． 參考答案： 極大無(wú)關(guān)組為：，且， 5. 若是對(duì)稱矩陣，是反對(duì)稱矩陣，試證：是對(duì)稱矩陣． 參考答案： 線性代數(shù)模擬題B 一．單選題. 1. 若是五階行列式的一項(xiàng)，則、的值及該項(xiàng)符號(hào)為（ A ）． （A），，符號(hào)為負(fù)； (B) ，符號(hào)為正； (C) ，，符號(hào)為負(fù)； (D) ，，符號(hào)為正． 2. 下列行列式（ A ）的值必為零． (A) 階行列式中，零元素個(gè)數(shù)多于個(gè)； (B) 階行列式中，零元素個(gè)數(shù)小于個(gè)； (C) 階行列式中，零元素個(gè)數(shù)多于個(gè)； (D) 階行列式中，零元素的個(gè)數(shù)小于個(gè)． 3. 設(shè)，均為階方陣，若，則必有（ D ）． （A）； (B)； (C)； (D)． 4. 設(shè)與均為矩陣，則必有（ C ）． （A）；（B）；（C）；（D）． 5. 如果向量可由向量組線性表出，則（ D ） (A) 存在一組不全為零的數(shù)，使等式成立 (B) 存在一組全為零的數(shù)，使等式成立 (C) 對(duì)的線性表示式不唯一 (D) 向量組線性相關(guān) 6. 齊次線性方程組有非零解的充要條件是（ C ） (A)系數(shù)矩陣的任意兩個(gè)列向量線性相關(guān) (B) 系數(shù)矩陣的任意兩個(gè)列向量線性無(wú)關(guān) (C )必有一列向量是其余向量的線性組合 (D)任一列向量都是其余向量的線性組合 7. 設(shè)n階矩陣A的一個(gè)特征值為λ，則(λA－1)2＋I(xiàn)必有特征值（ C ） (a)λ2+1 (b)λ2-1 (c)2 (d)-2 8. 已知 與對(duì)角矩陣相似，則＝（ A ） (a) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 2 9. 設(shè)，，均為階方陣，下面（ D ）不是運(yùn)算律． （A） ； （B）； （C）； （D）． 10. 下列矩陣（ B ）不是初等矩陣． (A)；（B）；（C）；（D）． 二．計(jì)算題或證明題（ 1. 已知矩陣A，求A10。其中 參考答案： 2. 設(shè)A為可逆矩陣，λ是它的一個(gè)特征值，證明：λ≠0且λ-1是A-1的一個(gè)特征值。 參考答案： 3. 當(dāng)取何值時(shí)，下列線性方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解？有解時(shí)，求其解． 參考答案： 當(dāng)時(shí)有唯一解： 當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多解： 當(dāng)時(shí)，無(wú)解。 4. 求向量組的秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用極大無(wú)關(guān)組線性表示． 參考答案： 極大無(wú)關(guān)組為：，且 5. 若是對(duì)稱矩陣，是正交矩陣，證明是對(duì)稱矩陣． 參考答案： 線性代數(shù)模擬題C 一．單選題. 1. 設(shè)五階行列式，依下列次序?qū)M(jìn)行變換后，其結(jié)果是（ C ）． 交換第一行與第五行，再轉(zhuǎn)置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素． （A）； (B)； (C)； (D)． 2. 如果方程組有非零解，則（ D ）． （A）或；（B）或；（C）或；（D）或． 3. 設(shè)，，，為同階矩陣，若，則下列各式中總是成立的有（ A ）． （A） ； (B) ； (C) ； (D) ． 4. 設(shè)，，為同階矩陣，且可逆，下式（ A ）必成立． （A）若，則； (B) 若，則； (C) 若，則； (D) 若，則． 5. 若向量組的秩為，則（ D ） （A）必定r<s (B)向量組中任意小于個(gè)向量的部分組線性無(wú)關(guān) (C )向量組中任意個(gè)向量線性無(wú)關(guān) (D)向量組中任意個(gè)向量必定線性相關(guān) 6. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（ C ） (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 7. 設(shè)A、B為n階矩陣，且A與B相似，I為n階單位矩陣，則（ B ） (a)λI-A＝λI-B (b)A與B有相同的特征值和特征向量 (c)A與B都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣 (d)kI-A與kI-B相似（k是常數(shù)） 8. 當(dāng)（ C ）時(shí)，A為正交矩陣，其中 (a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 . 9. 已知向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組（ C ） (A) 線性無(wú)關(guān); (B) 線性無(wú)關(guān); (C) 線性無(wú)關(guān); (D) 線性無(wú)關(guān). 10. 當(dāng)（ B ）時(shí)，有 ． （A）；（B）；（C）；（D）． 二．計(jì)算題或證明題 1. 設(shè)A～B,試證明 (1)Am～Bm(m為正整數(shù))（2）如A可逆，則B也可逆，且A－1～B－1 參考答案： 2. 如n階矩陣A滿足A2=A，證明：A的特征值只能為0或-1。 參考答案： 3. 當(dāng)、b取何值時(shí)，下列線性方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解？有解時(shí)，求其解． 參考答案： 當(dāng)a=0, b = －2時(shí)有解 4. 判斷向量能否被線性表出，若能寫出它的一種表示法． ， 參考答案： 不能被線性表示。 5. 若方陣可逆，則的伴隨矩陣也可逆，并求出的逆矩陣． 參考答案： 證明， 離散數(shù)學(xué)試卷 （參考答案） 一、 選擇題 1、設(shè)，下列選項(xiàng)正確的是：（3） （1） （2） （3） （4） 2、對(duì)任意集合，下述論斷正確的是：（1） （1）若，則 （2）若，則 （3）若，則 （4）若，則 3、假設(shè)上的關(guān)系如下，具有傳遞性的關(guān)系是：（4） （1） （2） （3） （4） 4、非空集合上的空關(guān)系不具備下列哪個(gè)性質(zhì)：（1） （1）自反性 （2）反自反性 （3） 對(duì)稱性 （4）傳遞性 5、假設(shè)，，令：，則不同的函數(shù)個(gè)數(shù)為：（2） （1）2+3個(gè) （2）個(gè) （3）個(gè) （4）個(gè) 6、假設(shè)，，下列哪個(gè)關(guān)系是到的函數(shù)：（3） （1） （2） （3） （4） 7、一個(gè)無(wú)向簡(jiǎn)單圖有條邊，個(gè)頂點(diǎn)，則圖中頂點(diǎn)的總度數(shù)為：（3） （1） （2） （3） （4） 8、一個(gè)圖是歐拉圖是指：（1） （1）圖中包含一條回路經(jīng)過(guò)圖中每條邊一次且僅一次； （2）圖中包含一條路經(jīng)過(guò)圖中每條邊一次且僅一次； （3）圖中包含一條回路經(jīng)過(guò)圖中每個(gè)頂點(diǎn)一次且僅一次； （4）圖中包含一條路經(jīng)過(guò)圖中每個(gè)頂點(diǎn)一次且僅一次。 9、下面哪一種圖不一定是樹(shù)：（3） （1）無(wú)回路的連通圖 （2）有個(gè)頂點(diǎn)條邊的連通圖 （3）每一對(duì)頂點(diǎn)之間都有通路 （4）連通但刪去一條邊則不連通的圖. 10、完全叉樹(shù)中有片葉，個(gè)分支點(diǎn)，則有它們之間的關(guān)系表達(dá)式是：（2） （1） （2） （3） （4） 二、填空題 1、假設(shè)，， （1）{1，2，3，5}； （2）{1，3，5，7，11，13，17，19}； （3）{7，11，13，19}； （4）； 2、假設(shè)上的關(guān)系，則： （1）{<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}； （2）{<1,2>,<2,1>}； （3）{<1,2>}； 3、設(shè)無(wú)向圖有12條邊，有3個(gè)3度的頂點(diǎn)，其余頂點(diǎn)度數(shù)均小于3，則中至少有 11 個(gè)頂點(diǎn)。 4、一棵樹(shù)有2個(gè)2度頂點(diǎn)，1個(gè)3度頂點(diǎn)，3個(gè)4度頂點(diǎn)，則有9片葉。 5、假設(shè)：我有時(shí)間，：我去圖書館。 （1）命題“如果我有時(shí)間，我就去圖書館”符號(hào)化為 ； 三、假設(shè)、是任意兩個(gè)集合，證明：。 證明：對(duì) 則 或者 由冪集定義可知：或者 所以 因此 故 四、假設(shè)是自然數(shù)集合，定義上的二元關(guān)系 。 證明：是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，并求出關(guān)系所確定的等價(jià)類。 證明：（1）對(duì)，則是偶數(shù)，所以是自反的； 對(duì)，假設(shè)，則是偶數(shù)，而也是偶數(shù) 所以，故是對(duì)稱的； 對(duì)，假設(shè)， 則有，是偶數(shù)； 若是偶數(shù)，由于是偶數(shù)，所以也是偶數(shù)，則是偶數(shù) 若是奇數(shù)，由于是偶數(shù)，所以是奇數(shù)， 又因?yàn)槭桥紨?shù)，所以是奇數(shù)，因此是偶數(shù) 所以 是傳遞的。 綜上 是等價(jià)關(guān)系。 （2）當(dāng)是偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)是奇數(shù)時(shí)， 五、對(duì)下列集合在整除關(guān)系下構(gòu)成的偏序集，畫出Hasse圖，并寫出最大元，最小元，極大元，極小元。 （1） （2） （3） 解：（1）沒(méi)有最大元和最小元；極大元是24,36。 （2）最大元和極大元是45，最小元和極小元是1。 （3）最大元和極大元時(shí)16，最小元和極小元是2。 六、令V = {a, b, c, d, e}, E = {aa, ab, ab, ba, cd, ca, dd, de}， A = {<a, a>, <a, b>, <b, a>, <c, d >} 做出圖G = <V, E> 和D = <V , A> 的圖示。 解： 離散數(shù)學(xué)模擬卷2參考答案 一、選擇題 1、請(qǐng)指出下列選項(xiàng)中哪一個(gè)是錯(cuò)誤的：（2） （1） （2） （3） （4） 2、對(duì)任意集合，下述論斷正確的是：（1） （1）若，則 （2）若，則 （3）若，則 （4）若，則 3、假設(shè)上的關(guān)系，那么，是：（4） （1）反自反的 （2）反對(duì)稱的 （3） 可傳遞的 （4）不可傳遞的 4、非空集合上的空關(guān)系不具備下列哪個(gè)性質(zhì)：（1） （1）自反性 （2）反自反性 （3） 對(duì)稱性 （4）傳遞性 5、若是滿射函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)必是：（3） （1）雙射函數(shù) （2）單射函數(shù) （3）滿射函數(shù) （4）不單射也不滿射 6、假設(shè)，，下列哪個(gè)關(guān)系是到的函數(shù)：（3） （1） （2） （3） （4） 7、一個(gè)無(wú)向簡(jiǎn)單圖有條邊，個(gè)頂點(diǎn)，則圖中頂點(diǎn)的總度數(shù)為：（3） （1） （2） （3） （4） 8、一個(gè)圖是哈密頓圖是指：（3） （1）圖中包含一條回路經(jīng)過(guò)圖中每條邊一次且僅一次； （2）圖中包含一條路經(jīng)過(guò)圖中每條邊一次且僅一次； （3）圖中包含一條回路經(jīng)過(guò)圖中每個(gè)頂點(diǎn)一次且僅一次； （4）圖中包含一條路經(jīng)過(guò)圖中每個(gè)頂點(diǎn)一次且僅一次。 9、一棵樹(shù)有2個(gè)2度頂點(diǎn)，1個(gè)3度頂點(diǎn)，3個(gè)4度頂點(diǎn)，則其1度的頂點(diǎn)數(shù)為：（2） （1）5 （2）7 （3）8 （4）9 10、完全叉樹(shù)中有片葉，個(gè)分支點(diǎn)，則有關(guān)系式是：（2） （1） （2） （3） （4） 二、填空題 1、假設(shè)，試求出： 的冪集{,{{a,b}},{{c}},{{a,b},{c}}}； 2、假設(shè)，， （1）{7,9,11,13,15,17,19}； （2）； 3、假設(shè)上的關(guān)系，則： （1）{<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>,<4,4>}； （2）{<2,3>,<3,2>}； （3）{<2,3>}； 4、假設(shè)，是到的函數(shù)，其中：（a）；（b），，；（c），；則： （1）g 是滿射；（2）g 是雙射； 5、設(shè)無(wú)向圖有36條邊，有6個(gè)3度的頂點(diǎn)，其余頂點(diǎn)度數(shù)均小于3，則中至少有33個(gè)頂點(diǎn)。 6、假設(shè)：今天天氣好，：我就去鍛煉身體。 （1）命題“如果今天天氣好，我就去鍛煉身體”符號(hào)化為 PQ ； 三、假設(shè)、是任意兩個(gè)集合，證明：。 證明：對(duì)，則且 所以 并且 由交集的定義，則 所以 因此 反之，假設(shè) 則 所以 并且 所以 且 由交集定義，則 故 綜上 四、證明定義在實(shí)數(shù)集合上的關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。 證明：對(duì)，則是整數(shù)，所以是自反的； 對(duì)，并且設(shè)，則是整數(shù) 而也是整數(shù)，所以，是對(duì)稱的； 對(duì)，并且設(shè)， 則 ，，是整數(shù)； 而 也是整數(shù) 所以 因此 是傳遞的 綜上，是等價(jià)關(guān)系。 五、對(duì)下列集合在整除關(guān)系下構(gòu)成的偏序集，畫出Hasse圖，并寫出最大元，最小元，極大元，極小元。 （1） （2） （3） 解：（1）無(wú)最大元，極大元為：24，36；無(wú)最小元，極小元為：2，3； （2）最大元和極大元為：30；最小元和極小元為：1 （3）無(wú)最大元，極大元為：6，9；最小元和極小元為：1 六、設(shè)無(wú)向圖G中有9個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)不是5就是6，試證明G中至少有5個(gè)6度頂點(diǎn)或至少有6個(gè)5度頂點(diǎn)。 解：假設(shè)圖G中最多有4個(gè)6度頂點(diǎn)，并且最多有有5個(gè)5度頂點(diǎn) 則度為奇數(shù)的頂點(diǎn)只能為偶數(shù)個(gè)，所以5度頂點(diǎn)應(yīng)該為4個(gè)， 而6度頂點(diǎn)最多也為4個(gè)，所以與命題條件有9個(gè)頂點(diǎn)產(chǎn)生矛盾； 因此G中至少有5個(gè)6度頂點(diǎn)或至少有6個(gè)5度頂點(diǎn)。 離散數(shù)學(xué)模擬3參考答案 一、選擇題 1、假設(shè)，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是：（2） （1） （2） （3） （4） 2、對(duì)任意集合，下述論斷正確的是：（1） （1）若，則 （2）若，則 （3）若，則 （4）若，則 3、假設(shè)上的關(guān)系如下，具有傳遞性的關(guān)系是：（4） （1） （2） （3） （4） 4、假設(shè)和是集合上的任意關(guān)系，則下列命題為真的是：（1） （1）若和是自反的，則也是自反的； （2）若和是反自反的，則也是反自反的； （3）若和是對(duì)稱的，則也是對(duì)稱的； （4）若和是傳遞的，則也是傳遞的。 5、若是滿射函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)必是：（3） （1）雙射函數(shù) （2）單射函數(shù) （3）滿射函數(shù) （4）不單射也不滿射 6、假設(shè)，，令：，則不同的函數(shù)個(gè)數(shù)為：（2） （1）2+3個(gè) （2）個(gè) （3）個(gè) 4）個(gè) 7、一個(gè)無(wú)向簡(jiǎn)單圖有條邊，個(gè)頂點(diǎn)，則圖中頂點(diǎn)的總度數(shù)為：（3） （1） （2） （3） （4） 8、一個(gè)圖是半歐拉圖是指：（2） （1）圖中包含一條回路經(jīng)過(guò)圖中每條邊一次且僅一次； （2）圖中包含一條路經(jīng)過(guò)圖中每條邊一次且僅一次； （3）圖中包含一條回路經(jīng)過(guò)圖中每個(gè)頂點(diǎn)一次且僅一次； （4）圖中包含一條路經(jīng)過(guò)圖中每個(gè)頂點(diǎn)一次且僅一次。 9、下面哪一種圖不一定是樹(shù)：（3） （1）無(wú)回路的連通圖 （2）有個(gè)頂點(diǎn)條邊的連通圖 （3）每一對(duì)頂點(diǎn)之間都有通路 （4）連通但刪去一條邊則不連通的圖. 10、完全叉樹(shù)中有片葉，個(gè)分支點(diǎn)，則它們之間的關(guān)系表達(dá)式是：（2） （1） （2） （3） （4） 二、填空題 1、假設(shè)，， （1）{5，7}； （2）{5}； 2、假設(shè)上的關(guān)系，則： （1）； （2）； （3）； 3、假設(shè)，是到的函數(shù)，其中：（a）；（b）；（c）。則： （1）_g_是滿射；（2）_g_是雙射； 4、設(shè)無(wú)向圖有24條邊，有4個(gè)3度的頂點(diǎn)，其余頂點(diǎn)度數(shù)均小于3，則中至少有22個(gè)頂點(diǎn)。 5、一棵樹(shù)有2個(gè)2度頂點(diǎn)，1個(gè)3度頂點(diǎn)，3個(gè)4度頂點(diǎn)，則有 7 片葉。 6、假設(shè)：我有時(shí)間，：我去體育館。 （1）命題“如果我有時(shí)間，我就去體育館”符號(hào)化為 ； 三、假設(shè)、是非空集合，并且。證明：。 證明：對(duì)任意的，有，所以 因?yàn)?，所? 所以 ，因此 故 同理可證 綜上 。 四、假設(shè)R,S是集合A上的等價(jià)關(guān)系，證明RS也是集合A上的等價(jià)關(guān)系。 證明：對(duì)任意的，因?yàn)镽,S是集合A上的等價(jià)關(guān)系，所以是自反、對(duì)稱、傳遞的。 故有 ，所以，是自反的； 對(duì)任意的，并且假設(shè)，有 所以 ，因此，是對(duì)稱的； 對(duì)任意的，并且假設(shè)， 有，并且 所以有 因此，是傳遞的。 綜上是集合A上的等價(jià)關(guān)系。 五、對(duì)下列集合在整除關(guān)系下構(gòu)成的偏序集，畫出Hasse圖，并寫出最大元，最小元，極大元，極小元。 （1） （2） （3） 解： （1）無(wú)最大元，有極大元是24、36，無(wú)最小元，有極小元2，3； （2）無(wú)最大元，有極大元30，42，70，有最小元和極小元2； （3）有最大元和極大元18，有最小元和極小元3 六、假設(shè)圖是個(gè)頂點(diǎn)條邊的簡(jiǎn)單無(wú)向圖，則。 證明：若圖是連通圖，由于圖是簡(jiǎn)單圖，所以邊數(shù)不會(huì)超過(guò)完全圖的邊數(shù)， 因此 ； 若圖是非連通圖，則至少存在兩個(gè)連通分支和 假設(shè)和的頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)分別為，和 則有 和 而 命題得證。