實(shí)驗(yàn)報(bào)告（本科） 學(xué) 號(hào) 2015141443002 　 姓 名 柏沖 　 專 業(yè) 通信工程 　 日 期 2017/12/4 　 實(shí)驗(yàn)題目 時(shí)域采樣和頻域采樣 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 時(shí)域采樣理論與頻域采樣理論是數(shù)字信號(hào)處理中重要的理論。要求掌握模擬信號(hào)采樣前后頻譜的變化，以及如何選擇采樣頻率才能使得采樣后的信號(hào)不丟失信息；要求掌握頻率采樣會(huì)引起時(shí)域周期化的概念，以及頻域采樣定理及其對(duì)頻域采樣點(diǎn)數(shù)選擇的指導(dǎo)作用。 2、 實(shí)驗(yàn)過程 附：源程序 (1)時(shí)域采樣 Tp=64/1000; %觀察時(shí)間Tp=64毫秒 %產(chǎn)生M長(zhǎng)采樣序列x(n) Fs=1000; T=1/Fs; M=Tp*Fs; n=0:M-1; A=444.128; a=pi*50*2^0.5; omega=pi*50*2^0.5; xnt=A*exp(-a*n*T).*sin(omega*n*T); Xk=T*fft(xnt,M); %M點(diǎn)FFT[(xnt)] subplot(3,2,1); stem(xnt,.); %調(diào)用編繪圖函數(shù)stem繪制序列圖 box on;title((a) Fs=1000Hz); k=0:M-1;fk=k/Tp; subplot(3,2,2);stem(fk,abs(Xk),.);title((a) T*FT[xa(nT)],Fs=1000Hz); xlabel(f(Hz));ylabel(幅度);axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))]); % Fs=300Hz和 Fs=200Hz的程序與上面Fs=1000Hz完全相同。 Tp=64/1000; %觀察時(shí)間Tp=64毫秒 %產(chǎn)生M長(zhǎng)采樣序列x(n) Fs=300; T=1/Fs; M=Tp*Fs; n=0:M-1; A=444.128; a=pi*50*2^0.5; omega=pi*50*2^0.5; xnt=A*exp(-a*n*T).*sin(omega*n*T); M1=fix(M); Xk=T*fft(xnt,M1); %M點(diǎn)FFT[(xnt)] subplot(3,2,3); stem(xnt,.); %調(diào)用自編繪圖函數(shù)stem繪制序列圖 box on;title((b) Fs=300Hz); k=0:M-1;fk=k/Tp; subplot(3,2,4);stem(fk,abs(Xk),.);title((b) T*FT[xa(nT)],Fs=300Hz); xlabel(f(Hz));ylabel(幅度);axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))]); Tp=64/1000; %觀察時(shí)間Tp=64毫秒 %產(chǎn)生M長(zhǎng)采樣序列x(n) Fs=200; T=1/Fs; M=Tp*Fs; n=0:M-1; A=444.128; a=pi*50*2^0.5; omega=pi*50*2^0.5; xnt=A*exp(-a*n*T).*sin(omega*n*T); M2=fix(M); Xk=T*fft(xnt,M2); %M點(diǎn)FFT[(xnt)] yn=xa(nT);subplot(3,2,5); stem(xnt,.); %調(diào)用自編繪圖函數(shù)stem繪制序列圖 box on;title((c) Fs=200Hz); k=0:M-1;fk=k/Tp; subplot(3,2,6);stem(fk,abs(Xk),.);title((c) T*FT[xa(nT)],Fs=200Hz); xlabel(f(Hz));ylabel(幅度);axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))]); 程序運(yùn)行結(jié)果 （2） 頻域采樣 M=27;N=32;n=0:M-1; %產(chǎn)生M長(zhǎng)三角波序列x(n) xa=1:ceil(M/2); xb= fix(M/2):-1:1; xn=[xa,xb]; Xk=fft(xn,1024); %1024點(diǎn)FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的Ft X32k=fft(xn,32); %32點(diǎn)FFT[x(n)] x32n=ifft(X32k); %32點(diǎn)IFFT[X32(k)]得到x32(n) X16k=X32k(1:2:N); %隔點(diǎn)抽取X32k得到X16(K) x16n=ifft(X16k,N/2); %16點(diǎn)IFFT[X16(k)]得到x16(n) subplot(3,2,2);stem(n,xn,.);box on title((b) 三角波序列x(n));xlabel(n);ylabel(x(n));axis([0,32,0,20]) k=0:1023;wk=2*k/1024; % subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title((a)FT[x(n)]); xlabel(\omega/\pi);ylabel(|X(e^j^\omega)|);axis([0,1,0,200]) k=0:N/2-1; subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),.);box on title((c) 16點(diǎn)頻域采樣);xlabel(k);ylabel(|X_1_6(k)|);axis([0,8,0,200]) n1=0:N/2-1; subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,.);box on;title((d)16點(diǎn)IDFT[X_1_6(k)]); xlabel(n);ylabel(x_1_6(n));axis([0,32,0,20]) k=0:N-1; subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),.);box on title((e) 32點(diǎn)頻域采樣);xlabel(k);ylabel(|X_3_2(k)|);axis([0,16,0,200]) n1=0:N-1; subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,.);box on title((f)32點(diǎn)IDFT[X_3_2(k)]); xlabel(n);ylabel(x_3_2(n));axis([0,32,0,20]) 程序運(yùn)行結(jié)果 3、 問題分析（思考題以及老師提問） （1）如果序列x(n)的長(zhǎng)度為M，希望得到其頻譜X(ejω)在]2,0[p上的N點(diǎn)等間隔采樣，當(dāng)N<M時(shí)，如何用一次最少點(diǎn)數(shù)的DFT得到該頻譜采樣？ 先對(duì)原序列x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓后取主值區(qū)序列， xN(n)=[∑x(n+iN)]RN(n) 再計(jì)算N點(diǎn)DFT則得到N點(diǎn)頻域采樣 4、 實(shí)驗(yàn)總結(jié) 本次實(shí)驗(yàn)總體來說比較簡(jiǎn)答關(guān)鍵是要深入理解頻域采樣和時(shí)域采樣的特點(diǎn)和要求，，頻域采樣的采樣頻率要大于原信號(hào)的最大頻率的兩倍，否則采樣出來的信號(hào)是沒有辦法不失真的還原成原來的信號(hào)，上面的16點(diǎn)的IDFT可以很容易的看出該信號(hào)已經(jīng)失真。而對(duì)于時(shí)域采樣，則要求采樣點(diǎn)數(shù)N要大于離散信號(hào)的長(zhǎng)度M，否則就會(huì)發(fā)生時(shí)域混疊。 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 學(xué)習(xí)用FFT對(duì)連續(xù)信號(hào)和時(shí)城高散信號(hào)進(jìn)行譜分析的方法，了解可能出現(xiàn)的分后間 差及其原因，以便正確應(yīng)用FFT. 二、實(shí)驗(yàn)原理 用FFT對(duì)信號(hào)作頻譜分析是學(xué)習(xí)數(shù)字信號(hào)處理的重要內(nèi)容，經(jīng)常需要進(jìn)行譜分析的 信號(hào)是模擬信號(hào)和時(shí)城離散信號(hào)。對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析的重要問題是頻譜分辨率D和分析誤 差。頻譜分辨率直接和FFT的變換區(qū)間N有關(guān)，因?yàn)镕FT能夠?qū)崿F(xiàn)的頻率分辨率是 2π/N，因此要求2π/N≤D。可以根據(jù)此式選擇FFT的變換區(qū)間N。誤差主要來自于用 FFT作頻譜分析時(shí)，得到的是離散譜，而信號(hào)（周期信號(hào)除外）是連續(xù)譜，只有當(dāng)N較大 時(shí)，離散譜的包絡(luò)才能逼近于連續(xù)譜，因此N要適當(dāng)選擇大一些。 周期信號(hào)的頻譜是離散譜，只有用整數(shù)倍周期的長(zhǎng)度作FFT，得到的離散譜才能代表 周期信號(hào)的頻譜。如果不知道信號(hào)周期，可以盡量選擇信號(hào)的觀察時(shí)間長(zhǎng)一些。 對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析時(shí)，首先要按照采樣定理將其變成時(shí)域離散信號(hào)。如果是模擬 周期信號(hào)，也應(yīng)該選取整數(shù)倍周期的長(zhǎng)度，經(jīng)過采樣后形成周期序列，按照周期序列的譜 分析進(jìn)行。 3、 實(shí)驗(yàn)過程 附：繪圖函數(shù)mstem function mstem(Xk) M=length(Xk); k=0:M-1;wk=2*k/M; stem(wk,abs(Xk),.);box on; xlabel(ω/π);ylabel(幅度); axis([0,2,0,1.2*max(abs(Xk))]); 對(duì)三信號(hào)進(jìn)行頻譜分析 x1n=[ones(1,4)];%產(chǎn)生序列向量x1(n)=R4(n)? M=8;xa=1:(M/2);xb=(M/2):-1:1;x2n=[xa,xb];%產(chǎn)生長(zhǎng)度為8的三角波序列x2(n)? x3n=[xb,xa]; X1k8=fft(x1n,8);%計(jì)算x1n的8點(diǎn)DFT? X1k16=fft(x1n,16);%計(jì)算x1n的16點(diǎn)DFT? X2k8=fft(x2n,8);%計(jì)算x1n的8點(diǎn)DFT? X2k16=fft(x2n,16);%計(jì)算x1n的16點(diǎn)DFT? X3k8=fft(x3n,8);%計(jì)算x1n的8點(diǎn)DFT? X3k16=fft(x3n,16);%計(jì)算x1n的16點(diǎn)DFT? %以下繪制幅頻特性曲線?subplot(3,2,1);? subplot(3,2,1);mstem(X1k8);%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖 title((1a)8點(diǎn)DFT[x_1(n)]);xlabel(ω/π);ylabel(幅度); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k8))]) subplot(3,2,2);mstem(X1k16);%繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖? title((1b)16點(diǎn)DFT[x_1(n)]);xlabel(ω/π);ylabel(幅度); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k16))]) subplot(3,2,3);mstem(X2k8);%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖? title((2a)8點(diǎn)DFT[x_2(n)]);xlabel(ω/π);ylabel(幅度); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k8))]) subplot(3,2,4);mstem(X2k16);%繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖? title((2b)16點(diǎn)DFT[x_2(n)]);xlabel(ω/π);ylabel(幅度); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k16))]) subplot(3,2,5);mstem(X3k8);%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖? title((3a)8點(diǎn)DFT[x_3(n)]);xlabel(ω/π);ylabel(幅度); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k8))]) subplot(3,2,6);mstem(X3k16);%繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖? title((3b)16點(diǎn)DFT[x_3(n)]);xlabel(ω/π);ylabel(幅度); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k16))]) N=8;n=0:N-1;%FFT的變換區(qū)間N=8? x4n=cos(pi*n/4); x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8); X4k8=fft(x4n,8);%計(jì)算x4n的8點(diǎn)DFT X5k8=fft(x5n,8);%計(jì)算x5n的8點(diǎn)DFT N=16;n=0:N-1;%FFT的變換區(qū)間N=16? x4n=cos(pi*n/4); x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8); X4k16=fft(x4n,16);%計(jì)算x4n的16點(diǎn)DFT? X5k16=fft(x5n,16);%計(jì)算x5n的16點(diǎn)DFT? subplot(2,2,1);mstem(X4k8);%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖? title((a)8點(diǎn)DFT[x_4(n)]);xlabel(ω/π);ylabel(幅度); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k8))]) subplot(2,2,3);mstem(X4k16);%繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖? title((b)16點(diǎn)DFT[x_4(n)]);xlabel(ω/π);ylabel(幅度); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k16))]) subplot(2,2,2);mstem(X5k8);%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖? title((a)8點(diǎn)DFT[x_5(n)]);xlabel(ω/π);ylabel(幅度); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k8))]) subplot(2,2,4);mstem(X5k16);%繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖? title((b)16點(diǎn)DFT[x_5(n)]);xlabel(ω/π);ylabel(幅度); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k16))]) Fs=64;T=1/Fs; N=16;n=0:N-1;%FFT的變換區(qū)間N=16? x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);%對(duì)x6(t)16點(diǎn)采樣? X6k16=fft(x6nT);%計(jì)算x6nT的16點(diǎn)DFT? X6k16=fftshift(X6k16);%將零頻率移到頻譜中心? Tp=N*T;F=1/Tp;%頻率分辨率F? k=-N/2:N/2-1;fk=k*F;%產(chǎn)生16點(diǎn)DFT對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)頻率（以零頻率為中心）? subplot(3,1,1);stem(fk,abs(X6k16),.);box on%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖? title((6a)16點(diǎn)|DFT[x_6(nT)]|);xlabel(f(Hz));ylabel(幅度); axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k16))]) N=32;n=0:N-1;%FFT的變換區(qū)間N=16? x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);%對(duì)x6(t)32點(diǎn)采樣? X6k32=fft(x6nT);%計(jì)算x6nT的32點(diǎn)DFT? X6k32=fftshift(X6k32);%將零頻率移到頻譜中心? Tp=N*T;F=1/Tp;%頻率分辨率F? k=-N/2:N/2-1;fk=k*F;%產(chǎn)生16點(diǎn)DFT對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)頻率（以零頻率為中心）? subplot(3,1,2);stem(fk,abs(X6k32),.);box on%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖? title((6b)32點(diǎn)|DFT[x_6(nT)]|);xlabel(f(Hz));ylabel(幅度); axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k32))]) N=64;n=0:N-1;%FFT的變換區(qū)間N=16? x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);%對(duì)x6(t)64點(diǎn)采樣? X6k64=fft(x6nT);%計(jì)算x6nT的64點(diǎn)DFT X6k64=fftshift(X6k64);%將零頻率移到頻譜中心? Tp=N*T;F=1/Tp;%頻率分辨率F? k=-N/2:N/2-1;fk=k*F;%產(chǎn)生16點(diǎn)DFT對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)頻率（以零頻率為中心）? subplot(3,1,3);stem(fk,abs(X6k64),.);box on%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖? title((6a)64點(diǎn)|DFT[x_6(nT)]|);xlabel(f(Hz));ylabel(幅度); axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k64))]) 4、 問題分析（思考題以及老師提問） （1）對(duì)于周期序列。如果周期不知道，如何用FFT進(jìn)行譜分析？ 答：可任意選取定長(zhǎng)N，進(jìn)行譜分析，再選取2N長(zhǎng)度進(jìn)行譜分析，如果兩次的分析所得主譜誤差不大則可將截取N的頻譜作為周期信號(hào)的頻譜。否則需要再次將選擇范圍加到i（i=3,4?）倍，直到與前一次的頻譜誤差不大為止，同時(shí)將（i-1）N長(zhǎng)度的頻譜作為周期信號(hào)的頻譜。 （2）如何選擇FFT的變換區(qū)間？（包括非周期信號(hào)和周期信號(hào)） 答：首先要得到信號(hào)的頻譜的話，必須經(jīng)過采樣分析，如果采樣頻率過低，會(huì)導(dǎo)致頻譜失真，而頻譜分辨率的要求是2π/N≤D，所以采樣點(diǎn)N的數(shù)量必須大才能滿足要求。 對(duì)于周期信號(hào)可按照問題（1）中的方式選取適當(dāng)?shù)腘；對(duì)于非周期信號(hào)，根據(jù)原理“FFT能夠?qū)崿F(xiàn)的頻率分辨率是2π/N”可以規(guī)定固定D，求取N來得到變換區(qū)間。 （3）當(dāng)N=8時(shí)，X2（n）和X3（n）的幅頻特性會(huì)相同嗎？為什么？N=16呢？ 答：DFT變換與將原序列進(jìn)行周期延拓后的傅里葉級(jí)數(shù)變換的主值序列可以近似等同。當(dāng)N=8時(shí)，兩序列進(jìn)行周期延拓后序列相同，所以其傅里葉級(jí)數(shù)變換的主值序列等同，進(jìn)而DFT變換也近似等同。而當(dāng)N=16時(shí)，兩序列進(jìn)行周期延拓后序列不相同，所以其傅里葉級(jí)數(shù)變換的主值序列不同，進(jìn)而DFT變換也 不同。 （4） 為什么32點(diǎn)的IDFT[x6(nT)]的圖跟64點(diǎn)的IDFT[x6(nT)]的圖（以及8點(diǎn)的DFT[x4(nT)]的圖跟16點(diǎn)的DFT[x4(nT)]）一樣呢？ 答： （5） 為什么8點(diǎn)的DFT[x2(nT)]的圖與8點(diǎn)的DFT[x3(nT)]的圖一樣？ 答：x3(n)=x2((n+3))8R4(n),滿足循環(huán)位移關(guān)系所以，這兩個(gè)圖是一樣的 5、 實(shí)驗(yàn)總結(jié) 本次實(shí)驗(yàn)做了幾種信號(hào)的FFT變換，對(duì)信號(hào)進(jìn)行了頻譜分析，最主要的是深入理解了FFT的變換過程，把書本上的知識(shí)通過工具進(jìn)行分析，加深了我們對(duì)FFT的理解，同時(shí)也加強(qiáng)了我們的動(dòng)手能力。