《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.2 從位移的合成到向量的加法 2.2.2 向量的減法課件2 北師大版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.2 從位移的合成到向量的加法 2.2.2 向量的減法課件2 北師大版必修4（53頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.2.22.2.2向量的減法向量的減法【知識提煉知識提煉】1.1.相反向量及性質(zhì)相反向量及性質(zhì)相反相反向量向量 定義定義 與與a長度長度_、方向、方向_的向量，叫的向量，叫作作a的相反向量，記作：的相反向量，記作：_. _. 性質(zhì)性質(zhì) (1)-(-(1)-(-a)=_.)=_.(2)(2)如果如果a，b是互為相反的向量，那么是互為相反的向量，那么a=_=_，b=_=_，a+ +b=_.=_.(3)(3)a- -b= =a+_.+_.(4)(4)零向量的相反向量仍是零向量的相反向量仍是_._.相等相等相反相反- -aa- -b- -a0(-(-b) )零向量零向量2.2.向量的減法及幾何意義向

2、量的減法及幾何意義向量的減法向量的減法 向量向量a加上向量加上向量b的的_,_,叫作叫作a與與b的的差差, ,即即a- -b= =a+(-+(-b),),求兩個向量差的運算求兩個向量差的運算, ,叫叫作向量的減法作向量的減法. . 向量減法向量減法的幾何意義的幾何意義 如圖，設(shè)如圖，設(shè)則則 = =a- -b，即，即a- -b表示從表示從_的終點的終點B B指向指向_的終點的終點A A的向量的向量. .OAOBab ，BA 相反向量相反向量向量向量b被減向量被減向量a【即時小測即時小測】1.1.思考下列問題思考下列問題: :(1)(1)任何向量與其相反向量共線嗎任何向量與其相反向量共線嗎? ?提

3、示提示: :共線共線. .如果該向量為零向量如果該向量為零向量, ,其相反向量也是零向量其相反向量也是零向量, ,零向量與任零向量與任何向量共線何向量共線; ;如果該向量不是零向量如果該向量不是零向量, ,該向量與其相反向量方向相反該向量與其相反向量方向相反, ,所以共線所以共線. .(2)(2)向量的加法運算律適用于向量的減法嗎向量的加法運算律適用于向量的減法嗎? ?提示提示: :適用適用. .向量的減法可以借助于相反向量轉(zhuǎn)化為向量的加法運算向量的減法可以借助于相反向量轉(zhuǎn)化為向量的加法運算, ,因此適用因此適用. .2. =2. =( () ) 【解析解析】選選B. B. PM MN PN

4、A MP B C NP D MN 0PM MN PN PM MN NP. 03.3.在在ABCABC中中, , 則則 = =( () )A.a-bA.a-b B.bB.b-a -a C.a+bC.a+b D.-a-b D.-a-b【解析解析】選選D.D.因為因為 BCCA ，abAB BCCABAAB. ，所以abab4.4.在在ABCABC中中,D,D是是BCBC的中點的中點, ,設(shè)設(shè) 則則d- -a=_.=_.【解析解析】如圖如圖, , 答案答案: :cABACBDAD ， ， ， ，cbadAD BD AD DB. dac5.5.已知平行四邊形已知平行四邊形ABCDABCD的對角線相交于

5、點的對角線相交于點O,O,且且 則則 =_.( =_.(用用a, ,b表示表示) )【解析解析】如圖如圖, , =-=-a- -b. .答案答案: :- -a- -bOAOB ， ，abBC OC OBCO OBOA OB BC 【知識探究知識探究】知識點知識點 向量的減法向量的減法觀察如圖所示內(nèi)容觀察如圖所示內(nèi)容, ,回答下列問題回答下列問題: :問題問題1:1:向量的相反向量是怎樣定義的向量的相反向量是怎樣定義的? ?有何性質(zhì)有何性質(zhì)? ?問題問題2:2:如何進(jìn)行向量的減法運算如何進(jìn)行向量的減法運算? ?運算法則是什么運算法則是什么? ?【總結(jié)提升總結(jié)提升】1.1.相反向量的意義相反向量的

6、意義(1)(1)在相反向量的基礎(chǔ)上在相反向量的基礎(chǔ)上, ,可以通過向量加法定義向量減法可以通過向量加法定義向量減法. .(2)(2)為向量的為向量的“移項移項”提供依據(jù)提供依據(jù). .利用利用(-(-a)+)+a= =0在向量等式的兩端加上在向量等式的兩端加上某個向量的相反向量某個向量的相反向量, ,實現(xiàn)向量的實現(xiàn)向量的“移項移項”. .例如例如, ,由由a+ +b= =c+ +d可得可得a- -c= =d- -b. .2.2.對相反向量的三點說明對相反向量的三點說明(1)(1)a與與- -a互為相反向量互為相反向量. .(2)(2)相反向量與方向相反的向量不是同一個概念相反向量與方向相反的向量

7、不是同一個概念, ,相反向量是方向相反相反向量是方向相反的向量的向量, ,反之不成立反之不成立. .(3)(3)相反向量與相反數(shù)是兩個不同的概念相反向量與相反數(shù)是兩個不同的概念, ,相反數(shù)是兩個數(shù)符號相反相反數(shù)是兩個數(shù)符號相反, ,絕對值相等絕對值相等; ;相反向量是方向相反相反向量是方向相反, ,模長相等的兩個向量模長相等的兩個向量. .3.3.對向量減法的理解對向量減法的理解(1)(1)實質(zhì)實質(zhì): :向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算. .(2)(2)應(yīng)用應(yīng)用: :利用相反向量的定義利用相反向量的定義, ,把其中減向量的方向變?yōu)榕c原方向相把其中減向量的方向變?yōu)?/p>

8、與原方向相反反, ,大小不變就可以把減法化為加法大小不變就可以把減法化為加法. .在用三角形法則作兩個共起點的在用三角形法則作兩個共起點的向量減法時向量減法時, ,只要記住只要記住“連接兩向量終點連接兩向量終點, ,箭頭指向被減向量箭頭指向被減向量”即可即可. .4.4.非零向量非零向量a, ,b的差向量的不等式的差向量的不等式(1)(1)當(dāng)當(dāng)a, ,b不共線時不共線時, ,如圖如圖, ,作作 因為在三角形中兩邊之和大于第三邊因為在三角形中兩邊之和大于第三邊, ,于是于是| |a- -b|b|,|,則則a- -b與與a, ,b同向同向( (如圖如圖),),于是于是| |a- -b|=|=|a|

9、-|-|b|.|.若若| |a|b|,|,則則a- -b與與a, ,b反向反向( (如圖如圖),),于是于是| |a- -b|=|=|b|-|-|a|.|.OAOBOAOBBA. ，則abab(3)(3)當(dāng)當(dāng)a, ,b共線且反向時共線且反向時, ,a- -b與與a同向同向, ,與與b反向反向. .于是于是| |a- -b|=|=|a|+ |+ | |b|(|(如圖如圖).).可見可見, ,對任意兩個非零向量對任意兩個非零向量, ,總有下列向量不等式成立總有下列向量不等式成立: :|a|-|-|b|a- -b|a|+|+|b|.|.【題型探究題型探究】類型一類型一 向量減法的幾何意義向量減法的幾

10、何意義【典例典例】1.1.如圖如圖, ,在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,AC,ADBC,AC與與BDBD交于交于O O點點, ,則則 =_. =_.BA BC OA OD 2.2.如圖所示如圖所示,O,O為為ABCABC內(nèi)一點內(nèi)一點, , 求作求作: :b+ +c- -a. .OAOBOC. ，abc【解題探究解題探究】1.1.兩個向量作差的前提條件是什么兩個向量作差的前提條件是什么? ?提示提示: :前提條件是兩向量同起點前提條件是兩向量同起點. .2.2.題題2 2中三個向量有何共同的特點中三個向量有何共同的特點? ?提示提示: :三個向量同起點三個向量同起點. .【解析解析】

11、1. 1. 答案答案: :BA BC OA OD CA OA OD CA AO OD CO OD CD. CD 2.2.方法一方法一: :以以 為鄰邊作為鄰邊作 OBDC,OBDC,連接連接OD,AD,OD,AD,則則 方法二方法二: :作作 連接連接AD,AD,則則 ODOBOCADODOA. ，bcbcaCDOB ，bACOCOA ，caADACCD. cabbcaOB,OC 【方法技巧方法技巧】利用向量減法進(jìn)行幾何作圖的方法利用向量減法進(jìn)行幾何作圖的方法(1)(1)已知向量已知向量a, ,b, ,如圖所示如圖所示, ,作作 利用向量減法的三利用向量減法的三角形法則可得角形法則可得a- -

12、b, ,利用此方法作圖時利用此方法作圖時, ,把兩個向量的起點放在一起把兩個向量的起點放在一起, ,則則這兩個向量的差是以減向量的終點為起點這兩個向量的差是以減向量的終點為起點, ,被減向量的終點為終點的被減向量的終點為終點的向量向量. .OA,OB, ab(2)(2)利用相反向量作圖利用相反向量作圖, ,通過向量求和的平行四邊形法則作出通過向量求和的平行四邊形法則作出a- -b. .如如圖所示圖所示, ,作作 OA,OB,AC,OC,BA. 則（） 即abbabab【拓展延伸拓展延伸】向量加法與減法的幾何意義的聯(lián)系向量加法與減法的幾何意義的聯(lián)系(1)(1)如圖所示如圖所示, ,平行四邊形平行

13、四邊形ABCDABCD中中, ,若若 (2)(2)類比類比|a|-|-|b|a+ +b|a|+|+|b|.|.可知可知|a|-|-|b|a- -b| | |a|+|+|b|.|.ABADACDB. ，則，ababab【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】如圖如圖, ,已知向量已知向量a, ,b, ,c不共線不共線, ,求作向量求作向量a+ +b- -c. .【解析解析】方法一方法一: :如圖如圖, ,在平面內(nèi)任取一點在平面內(nèi)任取一點O,O,作作 再作再作 方法二方法二: :如圖如圖, ,在平面內(nèi)任取一點在平面內(nèi)任取一點O,O,作作 再作再作 = =c, ,連接連接OC,OC,則則 = =a+ +b- -c. .

14、OAAB ，abOB 則，abOCCB. ，則cabcOAABOB ，則，ababCB OC 類型二類型二 用已知向量表示其他向量用已知向量表示其他向量【典例典例】平行四邊形中平行四邊形中, , 用用a, ,b表示向量表示向量 【解題探究解題探究】如何建立被表示的向量與已知向量間的聯(lián)系如何建立被表示的向量與已知向量間的聯(lián)系? ?提示提示: :由向量加法的平行四邊形法則及向量減法的三角形法則可得由向量加法的平行四邊形法則及向量減法的三角形法則可得. .ABAD ，abAC DB. ，【解析解析】由平行四邊形法則得由平行四邊形法則得: : AC,DBABAD. abab【延伸探究延伸探究】1.(1

15、.(變換條件、改變問法變換條件、改變問法) )平行四邊形中平行四邊形中, , 當(dāng)當(dāng)| |a|=|=|b| |時時, ,試判斷試判斷 的關(guān)系的關(guān)系. .【解析解析】由平行四邊形法則得由平行四邊形法則得: : 因為因為| |a|=|=|b|,|,所以四邊形為菱形所以四邊形為菱形, ,所以所以 互相垂直互相垂直. .ABAD ，abAC DB ，AC,DBABAD. ababAC DB ，2.(2.(改變問法改變問法) )本例條件不變本例條件不變, ,當(dāng)當(dāng)a,ba,b滿足什么條件時滿足什么條件時,|,|a+ba+b| |與與|a-b|a-b|相相等等? ?【解析解析】由平行四邊形法則知由平行四邊形法

16、則知, , 因為因為AC,BDAC,BD為平行四邊形的兩條對角線為平行四邊形的兩條對角線, ,所以要使所以要使| |a+ +b|=|=|a- -b|,|,需四邊形是需四邊形是矩形矩形, ,故當(dāng)故當(dāng)a, ,b垂直時垂直時,|,|a+ +b| |與與| |a- -b| |相等相等. .AC,ABADDB, abab【方法技巧方法技巧】利用已知向量表示其他向量的一個關(guān)鍵及三點注意利用已知向量表示其他向量的一個關(guān)鍵及三點注意(1)(1)一個關(guān)鍵一個關(guān)鍵一個關(guān)鍵是確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道一個關(guān)鍵是確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道. .(2)(2)三點注意三點注意注意相等向量、相反向量、共線向

17、量以及構(gòu)成三角形三向量之間的注意相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形三向量之間的關(guān)系關(guān)系. .注意應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運算律注意應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運算律. .注意在封閉圖形中利用多邊形法則注意在封閉圖形中利用多邊形法則. .【補償訓(xùn)練補償訓(xùn)練】設(shè)設(shè)O O是是ABCABC內(nèi)一點內(nèi)一點, ,且且 若以線段若以線段OA,OBOA,OB為鄰邊作平行四邊形為鄰邊作平行四邊形, ,第四個頂點為第四個頂點為D,D,再以再以O(shè)C,ODOC,OD為鄰邊作平為鄰邊作平行四邊形行四邊形, ,其第四個頂點為其第四個頂點為H.H.試用試用a, ,b, ,c表示表示 OAOBO

18、C ， ， ，abcDCOH BH. ， ，【解析解析】由題意可知四邊形由題意可知四邊形OADBOADB為平行四邊形為平行四邊形, ,所以所以 = =a+ +b, ,所以所以 = =c-(-(a+ +b)=)=c- -a- -b. .又四邊形又四邊形ODHCODHC為平行四邊形為平行四邊形, ,所以所以 = =c+a+b, ,所以所以 = =a+b+c-b=a+c. .OD OA OB DC OC OD OH OC OD BH OH OB 【延伸探究延伸探究】1.(1.(改變問法改變問法) )本題條件不變本題條件不變, ,如何用向量如何用向量a, ,b, ,c表示出向量表示出向量 ? ?【解析

19、解析】由以上可得由以上可得 AHOHOCOD,AHOHOA 則cab.cababc2.(2.(變換條件變換條件) )本題條件改為如圖所示本題條件改為如圖所示, ,在五邊形在五邊形ABCDEABCDE中中, ,若四邊形若四邊形ACDEACDE是平行四邊形是平行四邊形, ,且且 試用向量試用向量a, ,b, ,c表示向表示向量量 ABACAE ，abcBD BC BE CDCE. ， ， ， 及【解析解析】因為四邊形因為四邊形ACDEACDE是平行四邊形是平行四邊形, ,所以所以 所以所以 CDAEBCAC AB ， ，cbaBEAE ABCEAE AC, ，cacbBDBCCD. bac類型三類

20、型三 向量加法、減法的綜合應(yīng)用向量加法、減法的綜合應(yīng)用【典例典例】如圖如圖, ,已知向量已知向量 滿足滿足| |a|=1,|=1,|b|=2,|=2,且且BAD=BAD=6060, ,求求| |a- -b|.|.ADAB ，ab【解題探究解題探究】| |a- -b| |在圖形中實際上是什么在圖形中實際上是什么? ?提示提示: :| |a- -b| |在圖形中實際上是在圖形中實際上是ABDABD的一條邊長的一條邊長. .【解析解析】由向量減法的三角形法則可知由向量減法的三角形法則可知 = =a- -b, ,在在ABDABD中中, ,因為因為BAD=60BAD=60,AD=1,AB=2,AD=1,

21、AB=2,所以所以ABDABD為直角三角形為直角三角形, ,即即ADBD,BD=ADADBD,BD=ADtan60tan60=1=1 = . = .所以所以| |a- -b|= .|= .BD 333【延伸探究延伸探究】本例條件變?yōu)楸纠龡l件變?yōu)椤皘 |a|=1,|=1,|b|=2,|=2,且且| |a- -b|=2”,|=2”,求求| |a+ +b|.|.【解析解析】如圖如圖, ,在平面內(nèi)任取一點在平面內(nèi)任取一點A,A,作作 由題意由題意, , 過點過點B B作作BEADBEAD于點于點E,E,過點過點C C作作CFABCFAB交直線交直線ABAB于點于點F.F.因為因為AB=BD=2,AB=

22、BD=2,所以所以AE=ED= AD= .AE=ED= AD= .ADABAC ，則，ababBD. abABBD2, AD1, 1212因為因為CBF=EAB,CBF=EAB,又在又在ABEABE中中, , 所以所以BF=BF=BCcosCBFBCcosCBF=1=1 = . = .所以所以CF= CF= 所以所以AF=AB+BF= AF=AB+BF= 所以在所以在RtRtAFCAFC中中, , 即即| |a+ +b|= .|= .AE11cos EAB,cos CBF.AB44所以1414154，192.44228115ACAFCF6.16166【方法技巧方法技巧】向量加法與減法的綜合應(yīng)用

23、時的注意點向量加法與減法的綜合應(yīng)用時的注意點(1)(1)向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算, ,一般利用三角形法則求解一般利用三角形法則求解. .(2)(2)向量減法運算在平行四邊形中的應(yīng)用向量減法運算在平行四邊形中的應(yīng)用, ,要明確要明確a- -b的幾何意義的幾何意義. .(3)(3)向量減法的幾何意義往往與向量加法的幾何意義結(jié)合應(yīng)用向量減法的幾何意義往往與向量加法的幾何意義結(jié)合應(yīng)用, ,在應(yīng)用在應(yīng)用的過程中要結(jié)合矩形、正方形、三角形的邊角性質(zhì)的過程中要結(jié)合矩形、正方形、三角形的邊角性質(zhì), ,因此要熟悉相關(guān)因此要熟悉相關(guān)的圖形的性質(zhì)的圖形的性質(zhì). .【變式訓(xùn)練變

24、式訓(xùn)練】如圖如圖,O,O是平行四邊形是平行四邊形ABCDABCD的對角線的對角線AC,BDAC,BD的交點的交點, ,設(shè)設(shè) ABDAOCOA. ， ， ，求證： abcbca【解題指南解題指南】要證明要證明b+ +c- -a= ,= ,可轉(zhuǎn)化為證明可轉(zhuǎn)化為證明b+ +c= += +a, ,從而利從而利用向量加法證明用向量加法證明; ;也可以從也可以從c- -a入手入手, ,利用向量減法證明利用向量減法證明. .OAOA【證明證明】在在 ABCDABCD中中, , 因為因為 又因為又因為 所以所以 DA CBOC. ， bcDA OC OC CB OB ，bcOAOA AB OB ，aOAOA.

25、 ，即 bcabca【補償訓(xùn)練補償訓(xùn)練】已知已知A,B,CA,B,C是不共線的三點是不共線的三點,O,O是是ABCABC內(nèi)一點內(nèi)一點, ,若若 求證求證:O:O是是ABCABC的重心的重心. .OA OB OC ，0【證明證明】因為因為 方向相反且長度相等的向量方向相反且長度相等的向量. .如圖所示如圖所示, ,以以O(shè)B,OCOB,OC為相鄰的兩邊作平行四邊形為相鄰的兩邊作平行四邊形, ,則則 所以所以A,O,DA,O,D三點共線三點共線. .OA OB OCOA(OB OC)OB OCOA ，所以，即是與0OD OB OC ，ODOA 所以，在平行四邊形在平行四邊形OBDCOBDC中中, ,

26、設(shè)設(shè)ODOD與與BCBC交于交于E,E,則則 所以所以AEAE是是ABCABC的邊的邊BCBC上的中線上的中線, ,且且 所以點所以點O O是是ABCABC的重心的重心. .BE ECOE ED ， ，OA2 OE ，易錯案例易錯案例 向量的減法法則的應(yīng)用向量的減法法則的應(yīng)用【典例典例】(2015(2015亳州高一檢測亳州高一檢測) )如圖所示如圖所示, ,已知一點已知一點O O到平行四邊形到平行四邊形ABCDABCD的三個頂點的三個頂點A,B,CA,B,C的向量分別為的向量分別為r1 1, ,r2 2, ,r3 3, ,則則 =_.=_.( (用用r1 1, ,r2 2, ,r3 3表示表示

27、) )OD 【失誤案例失誤案例】【錯解分析錯解分析】分析上面的解析過程分析上面的解析過程, ,你知道錯在哪里嗎你知道錯在哪里嗎? ?提示提示: :錯誤的根本原因在于誤用了向量的減法法則錯誤的根本原因在于誤用了向量的減法法則. .減法口訣減法口訣: :起點相起點相同同, ,連接終點連接終點, ,箭頭指向被減向量箭頭指向被減向量. .即即 BAOA OB. 【自我矯正自我矯正】 = =r3 3+ +r1 1- -r2 2. .答案答案: :r3 3+ +r1 1- -r2 2OD OC CD OC BA OC OA OB 【防范措施防范措施】1.1.相等向量的靈活代換相等向量的靈活代換解決以平面幾

28、何圖形為背景的加減法運算時解決以平面幾何圖形為背景的加減法運算時, ,要注意平面幾何知識的要注意平面幾何知識的應(yīng)用應(yīng)用, ,如本題由平行四邊形如本題由平行四邊形ABCDABCD得得 并正確代換是解題的關(guān)鍵并正確代換是解題的關(guān)鍵. .2.2.運算法則的靈活應(yīng)用運算法則的靈活應(yīng)用減法口訣減法口訣: :起點相同起點相同, ,連接終點連接終點, ,箭頭指向被減向量箭頭指向被減向量. .應(yīng)把首尾相接的放應(yīng)把首尾相接的放在一起計算在一起計算, ,起點相同的放在一起計算起點相同的放在一起計算. .必要時必要時, ,可畫出圖像可畫出圖像, ,結(jié)合圖像結(jié)合圖像觀察將使問題更為直觀觀察將使問題更為直觀. .BACD,