第二節(jié)　排列與組合 【考綱下載】 1．理解排列組合的概念． 2．能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式． 3．能利用排列組合知識解決簡單的實際問題． 1．排列與組合的概念 名稱 定義 排列 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列 組合 合成一組 2．排列數與組合數的概念 名稱 定義 排列數 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同 排列的個數 組合數 組合的個數 3.排列數與組合數公式 (1)排列數公式 ①A＝n(n－1)…(n－m＋1)＝； ②A＝n！. (2)組合數公式 C＝＝＝. 4．組合數的性質 (1)C＝C_； (2)C＋C＝C. 1．排列與排列數有什么區(qū)別？ 提示：排列與排列數是兩個不同的概念，排列是一個具體的排法，不是數，而排列數是所有排列的個數，是一個正整數． 2．如何區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題？ 提示：看選出的元素與順序是否有關，若與順序有關，則是排列問題，若與順序無關，則是組合問題． 1．將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案的種數是(　　) A．12 B．10 C．9 D．8 解析：選A　先安排1名教師和2名學生到甲地，再將剩下的1名教師和2名學生安排到乙地，共有CC＝12種安排方案． 2．用數字1,2,3,4,5組成的無重復數字的四位偶數的個數為　　(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 解析：選C　先排個位共有C種方法，再排其余3位．則有A種排法，根據分步乘法計數原理，所求的四位偶數的個數為CA＝48. 3．將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法的種數是(　　) A．12 B．18 C．24 D．36 解析：選A　先排第一列，共有A種方法，再排第二列第一行共有C種方法，第二列第二行，第三列第二行各有1種方法．根據分步乘法計數原理，共有AC×1×1＝12種排列方法． 4．將9個相同的小球放入3個不同的盒子，要求每個盒子中至少有1個小球，且每個盒子中的小球個數都不同，則共有________種不同放法． 解析：對這3個盒子中所放的小球的個數情況進行分類計數：第1類，這3個盒子中所放的小球的個數分別是1,2,6，此類有A＝6種放法；第2類，這3個盒子中所放的小球的個數分別是1,3,5，此類有A＝6種放法；第3類，這3個盒子中所放的小球的個數分別是2,3,4，此類有A＝6種放法．因此共有6＋6＋6＝18種滿足題意的放法． 答案：18 5. 如圖M，N，P，Q為海上四個小島，現要建造三座橋，將這四個小島連接起來，則共有________種不同的建橋方法. 解析：M，N，P，Q兩兩之間共有6條線段(橋抽象為線段)，任取3條有C＝20種方法，其中不合題意的有4種方法．則共有20－4＝16種不同的建橋方法． 答案：16 考點一 排 列 問 題 　 [例1]　3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數： (1)選其中5人排成一排； (2)排成前后兩排，前排3人，后排4人； (3)全體站成一排，男、女各站在一起； (4)全體站成一排，男生不能站在一起； (5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾． [自主解答]　(1)問題即為從7個元素中選出5個全排列，有A＝2 520種排法． (2)前排3人，后排4人，相當于排成一排，共有A＝5 040種排法． (3)相鄰問題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有A種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有A種排法；全體男生、女生各視為一個元素，有A種排法，根據分步乘法計數原理， 共有A·A·A＝288種排法． (4)不相鄰問題(插空法)：先安排女生共有A種排法，男生在4個女生隔成的5個空中安排共有A種排法，故共有A·A＝1 440種排法． (5)先安排甲，從除去排頭和排尾的5個位中安排甲，有A＝5種排法；再安排其他人，有A＝720種排法．所以共有A·A＝3 600種排法． 【互動探究】 本例中若全體站成一排，男生必須站在一起，有多少種排法？ 解：(捆綁法)即把所有男生視為一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，故有A·A＝720種排法．　　　　　 【方法規(guī)律】 1．解決排列問題的主要方法 直接法 把符合條件的排列數直接列式計算 捆綁法 相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看成一個整體參與其他元素排列，同時注意捆綁元素的內部排列 插空法 不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中 除法法 定序問題除法處理的方法，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列 2．解決排列類應用題的策略 (1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置． (2)分排問題直排法處理． (3)“小集團”排列問題中先集中后局部的處理方法． 1．(20xx·遼寧高考)一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數為(　　) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! 解析：選C　把一家三口看成一個排列，然后再排列這3家，所以滿足題意的坐法種數為A(A)3＝(3！)4. 2．(20xx·南充模擬)將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有(　　) A．30種 B．90種 C．180種 D．270種 解析：選B　選分組，再排列．分組方法共有，因此共有·A＝90. 考點二 組 合 問 題 　 　[例2]　(1)若從1,2,3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法的種數是(　　) A．60 B．63 C．65 D．66 (2)(20xx·重慶高考)從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數是________(用數字作答)． [自主解答]　(1)因為從1,2,3，…，9中共有4個不同的偶數和5個不同的奇數，要使和為偶數，則4個數全為奇數，或全為偶數，或2個奇數和2個偶數，故有C＋C＋CC＝66種不同的取法． (2)按每科選派人數分為3,1,1和2,2,1兩類． 當選派人數為3,1,1時，有3類，共有CCC＋CCC＋CCC＝200種選派方法． 當選派人數為2,2,1時，有3類，共有CCC＋CCC＋CCC＝390種選派方法． 故共有590種選派方法． [答案]　(1)D　(2)590 【方法規(guī)律】 1．解決組合應用題的一般思路 首先整體分類，要注意分類時，不重復不遺漏，用到分類加法計數原理；然后局部分步，用到分步乘法計數原理． 2．組合問題的常見題型及解題思路 常見題型有選派問題，抽樣問題，圖形問題，集合問題，分組問題．解答組合應用題時，要在仔細審題的基礎上，分清問題是否為組合問題，對較復雜的組合問題，要搞清是“分類”還是“分步”解決，將復雜問題通過兩個原理化歸為簡單問題． 3．含有附加條件的組合問題的常用方法 通常用直接法或間接法，應注意“至少”“最多”“恰好”等詞的含義的理解，對于涉及“至少”“至多”等詞的組合問題，既可考慮反面情形即間接求解，也可以分類研究進行直接求解． 1．某校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法的種數為(　　) A．30 B．35 C．42 D．48 解析：選A　法一：分兩種情況：(1)2門A,1門B，有CC＝12種選法；(2)1門A,2門B，有CC＝3×6＝18種選法．所以共有12＋18＝30種選法． 法二：排除法：A類3門，B類4門，共7門，選3門，A，B各至少選1門，有C－C－C＝35－1－4＝30種選法． 2．兩人進行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)種數為(　　) A．10 B．15 C．20 D．30 解析：選C　分三種情況：恰好打3局，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2C＝6種情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2C＝12種情形．所有可能出現的情形種數為2＋6＋12＝20. 高頻考點 考點三 排列與組合的綜合應用　　 1．排列與組合是高中數學中的重要內容，也是高考命題的一個熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現，試題難度不大，多為容易題或中檔題． 2．高考對排列與組合綜合應用題的考查主要有以下幾個命題角度： (1)相鄰問題； (2)相間問題； (3)特殊元素(位置)問題； (4)多元問題等． [例3]　(1)(20xx·煙臺模擬)有4張分別標有數字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標有數字1,2,3,4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行，如果取出的4張卡片所標的數字之和等于10，則不同的排法共有______種(用數字作答)． (2)(20xx·西安模擬)某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產生，則不同的傳遞方法共有________種(用數字作答)． [自主解答]　(1)取出的4張卡片所標數字之和等于10，共有三種情況：1144,2233,1234. 所取卡片是1144的共有A種排法．所取卡片是2233的共有A種排法． 所取卡片是1234，則其中卡片顏色可為無紅色，1張紅色，2張紅色，3張紅色，全是紅色，共有A＋CA＋CA＋CA＋A＝16A種排法， 所以共有18A＝18×4×3×2×1＝432種排法． (2)甲傳第一棒，乙傳最后一棒，共有A種方法． 乙傳第一棒，甲傳最后一棒，共有A種方法． 丙傳第一棒，共有C·A種方法． 由分類加法計數原理得，共有A＋A＋C·A＝96種方法． [答案]　(1)432　(2)96 排列與組合綜合問題的常見類型及解題策略 (1)相鄰問題捆綁法．在特定條件下，將幾個相關元素視為一個元素來考慮，待整個問題排好之后，再考慮它們“內部”的排列． (2)相間問題插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當中，它與捆綁法有同等作用． (3)特殊元素(位置)優(yōu)先安排法．優(yōu)先考慮問題中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置． (4)多元問題分類法．將符合條件的排列分為幾類，而每一類的排列數較易求出，然后根據分類計數原理求出排列總數． 1．8名學生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數為(　　) A．AA B．AC C．AA D．AC 解析：選A　相間問題用插空法，8名學生先排，有A種排法，產生9個空，2位老師插空，有A種排法，所以最終有AA種排法． 2．3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數為(　　) A．360 B．288 C．216 D．96 解析：選B　先保證3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則有C·A·A·A種排法，再從中排除甲站兩端的排法，所以所求排法種數為C·A·A·A－2C·A·A·A＝6×(6×12－24)＝288. 3．將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種(用數字作答)． 解析：選出兩人看成一個整體，再全排列．共有C·A＝36種分配方案． 答案：36 ———————————[課堂歸納——通法領悟]——————————— 1個識別——排列問題與組合問題的識別方法 識別方法 排列 若交換某兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素順序有關 組合 若交換某兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取元素順序無關 3個注意點——求解排列與組合問題的三個注意點 (1)解排列與組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質進行分類、分步，再利用兩個原理作最后處理． (2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決．分類標準應統一，避免出現重復或遺漏． (3)對于選擇題要謹慎處理，注意等價答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析選項，錯誤的答案都有重復或遺漏的問題． 易誤警示(十二) 排列與組合中的易錯問題 [典例]　將6名教師分到3所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法． [解題指導]　將6名教師分到3所中學，相當于將6名教師分成3組，相當于3個不同元素． [解析]　將6名教師分組，分三步完成： 第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種取法； 第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C種取法； 第3步，余下的3名教師作為一組，有C種取法． 根據分步乘法計數原理，共有CCC＝60種取法． 再將這3組教師分配到3所中學，有A＝6種分法， 故共有60×6＝360種不同的分法． [答案]　360 [名師點評]　1.如果審題不仔細，極易認為有CCC＝60種分法．因為本題中并沒有明確指出哪一所學校1名、2名、3名． 2．解決排列與組合應用題應重點注意以下幾點： (1)首先要分清楚是排列問題還是組合問題，不能將兩者混淆． (2)在解決問題時，一定要注意方法的明確性，不能造成重復計數． (3)分類討論時，要注意分類標準的確定，應做到不重不漏． 在小語種提前招生考試中，某學校獲得5個推薦名額，其中俄語2名，日語2名，西班牙語1名，并且日語和俄語都要求必須有男生參加．學校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法的種數為(　　) A．20 B．22 C．24 D．36 解析：選C　3個男生每個語種各推薦1個，共有AA種推薦方法；將3個男生分為兩組，其中一組2個人，則共有CAA種推薦方法．所以共有AA＋CAA＝24種不同的推薦方法． [全盤鞏固] 1．(20xx·四川高考)從1,3,5,7,9這五個數中，每次取出兩個不同的數分別記為a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的個數是(　　) 　A．9 B．10 C．18 D．20 解析：選C　lg a－lg b＝lg ，從1,3,5,7,9中任取兩個數分別記為a，b. 共有A＝20種結果，其中l(wèi)g＝lg，lg＝lg，故共可得到不同值的個數為20－2＝18. 2．某中學從4名男生和3名女生中推薦4人參加某高校自主招生考試，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同選法的種數為(　　) A．140 B．120 C．35 D．34 解析：選D　從7人中選4人，共有C＝35種方法． 又4名全是男生，共有C＝1種方法． 故選4人既有男生又有女生的選法種數為35－1＝34. 3．在某種信息傳輸過程中，用4個數字的一個排列(數字允許重復)表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應位置上的數字相同的信息個數為(　　) A．10 B．11 C．12 D．15 解析：選B　用間接法.4個數字的所有排列有24個，3個位置對應相同的有C＝4個，4個位置對應相同的有1個，故至多有2個位置對應數字相同的信息個數為24－4－1＝11. 4．現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加某志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加．甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是(　　) A．54 B．90 C．126 D．152 解析：選C　由于五個人從事四項工作，而每項工作至少一人，那么每項工作至多兩人，因為甲、乙不會開車，所以只能先安排司機，分兩類：(1)先從丙、丁、戊三人中任選一人開車；再從其余四人中任選兩人作為一個元素同其他兩人從事其他三項工作，共有CCA種方案．(2)先從丙、丁、戊三人中任選兩人開車；其余三人從事其他三項工作，共有CA種方案．所以，不同安排方案的種數是CCA＋CA＝126. 5．(20xx·山東高考)現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數為(　　) A．232 B．252 C．472 D．484 解析：選C　分兩種情況： ①不取紅色卡片，有C－3C或CCC＋CCCC種取法． ②取紅色卡片1張，有CC或C(3C＋CCC)種取法． 所以不同的取法的種數為C－3C＋CC＝472. 6．(20xx·北京模擬)用5,6,7,8,9組成沒有重復數字的五位數，其中恰好有一個奇數夾在兩個偶數之間的五位數的個數為(　　) A．120 B．72 C．48 D．36 6 5,7,9 8 解析：選D　如圖所示：從5,7,9三個奇數中任選一個放在6與8之間，可用C種選法，而6與8可以變換位置有A種方法，把6與8之間的一個奇數共3個數看作一個整體與剩下的兩個數全排列共有A種方法，共有CAA＝36. 7．(20xx·北京高考)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同分法的種數是________． 解析：5張參觀券分成4份，1份2張，另外3份各1張，且2張參觀券連號，則有4種分法，把這4份參觀券分給4人，則不同的分法種數是4A＝96. 答案：96 8．(20xx·杭州模擬)從0,1,2,3中任取三個數字，組成無重復數字的三位數中，偶數的個數是________(用數字回答)． 解析：0為特殊元素，當三位數的個位數字為0時，偶數共有A個；當個位數字不為0時，若為偶數，個位數字只能為2，此時三位偶數有2＋A個，故滿足條件的偶數共有A＋2＋A＝10個． 答案：10 9．(20xx·浙江高考)將A，B，C，D，E，F六個字母排成一排，且A，B均在C的同側，則不同的排法共有________種(用數字作答)． 解析：從左往右看，若C排在第1位，共有A＝120種排法；若C排在第2位，共有A·A＝72種排法；若C排在第3位，則A、B可排C的左側或右側，共有A·A＋A·A＝48種排法；若C排在第4,5,6位時，其排法數與排在第3,2,1位相同，故共有2×(120＋72＋48)＝480種排法． 答案：480 10．已知10件不同的產品中有4件是次品，現對它們進行一一測試，直至找出所有次品為止． (1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數是多少？ (2)若恰在第5次測試后，就找出了所有次品，則這樣的不同測試方法數是多少？ 解：(1)先排前4次測試，只能取正品，有A種不同測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測試，有C·A＝A種測試方法，再排余下4件的測試位置，有A種測試方法．所以共有A·A·A＝103 680種不同的測試方法． (2)第5次測試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現，從而前4次有一件正品出現，所以共有A·C·A＝576種不同的測試方法． 11．將7個相同的小球放入4個不同的盒子中． (1)不出現空盒時的放入方式共有多少種？ (2)可出現空盒時的放入方式共有多少種？ 解：(1)將7個相同的小球排成一排，在中間形成的6個空當中插入無區(qū)別的3個“隔板”將球分成4份，每一種插入隔板的方式對應一種球的放入方式，則共有C＝20種不同的放入方式． (2)每種放入方式對應于將7個相同的小球與3個相同的“隔板”進行一次排列，即從10個位置中選3個位置安排隔板，故共有C＝120種放入方式． 12．用0,1,2,3,4這五個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數字的五位數？ (1)比21 034大的偶數； (2)左起第二、四位是奇數的偶數． 解：(1)法一：可分五類，當末位數字是0，而首位數字是2時，有6個五位數； 當末位數字是0，而首位數字是3或4時，有AA＝12個五位數； 當末位數字是2，而首位數字是3或4時，有AA＝12個五位數； 當末位數字是4，而首位數字是2時，有3個五位數； 當末位數字是4，而首位數字是3時，有A＝6個五位數； 故有39個滿足條件的五位數． 法二：不大于21 034的偶數可分為三類：萬位數字是1的偶數，有A·A＝18個五位數；萬位數字是2，而千位數字是0的偶數，有A個五位數；還有一個為21 034本身． 而由0,1,2,3,4組成的五位偶數個數有A＋A·A·A＝60個，故滿足條件的五位偶數的個數為60－18－2－1＝39. (2)法一：可分為兩類： 末位數是0，個數有A·A＝4； 末位數是2或4，個數有A·A＝4； 故共有A·A＋A·A＝8個滿足條件的五位數． 法二：第二、四位從奇數1,3中取，有A個；首位從2,4中取，有A個；余下的排在剩下的兩位，有A個，故共有AAA＝8個滿足條件的五位數． [沖擊名校] 1. 如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法的種數為(　　) A．288 B．264 C．240 D．168 解析：選B　按所用顏色分兩類： 第1類，三色涂完．必然兩兩同色，即AC，BE，DF或AF，BD，CE，有2A＝48種涂法． 第2類，四色涂完．A，D，E肯定不同色，有A種涂法，再從B，F，C中選一位置涂第四色有三種． 若所選是B，則F，C共三種涂法，所以有A·C·3＝216種涂法． 故共有48＋216＝264種不同的涂色方法． 2．有限集合P中元素的個數記作card(P)．已知card(M)＝10，A?M，B?M，A∩B＝?，且card(A)＝2，card(B)＝3.若集合X滿足A?X?M，則集合X的個數是________；若集合Y滿足Y?M，且A?Y，B?Y，則集合Y的個數是________(用數字作答)． 解析：顯然card(M)＝10表示集合M中有10個元素，card(A)＝2表示集合A中有2個元素，而A?X?M，所以集合X中可以只含A中的2個元素，也可以除了A中的2個元素外，在剩下的8個元素中任取1個、2個、3個、…、8個，共有C＋C＋C＋…＋C＝28＝256種情況，即符合要求的集合X有256個．滿足Y?M的集合Y的個數是210，其中不滿足條件A?Y的集合Y的個數是28，不滿足條件B?Y的集合Y的個數是27，同時不滿足條件A?Y與B?Y的集合Y的個數是25，因此滿足題意的集合Y的個數是210－28－27＋25＝672. 答案：256　672